§5磁场的能量和能量密度 、磁场能量及能量密度 1、电磁能定域于场中 (1)电能定域于电场中,即场具有能量、电能储于电场中:w=b,E (2)同样,磁能也储于磁场中,场能密度为:wn=B·H 2、公式推导 出发点:自感线圈储能W=L2。 特例:螺绕环 真空下—Bn=Hn,V=NBS=Mun,Ln=y0=An B=Hou n 1=uBo, H=n 1; 充满介质时-所以:U=HV,L=0=m1V, HB=404n212 另一方面看:Wn=-L2=4n2V2=HBV, HB(因螺绕环内场能均匀分布)。 [讨论 (1)考虑到方向,有磁能密度公式:m (2)W∝V表明能量分布于磁场中; ()上述虽然特例导出,但可推广至一般:W=J5B,月d,F遍及场全部空间 (4)真空下wn=p0H B 、两线圈之总磁能公式 如图7-18中1、2两回路,空间任一场点p之磁场为两回路电流激发场的叠加 H=H1+H2,B=B1+B2
7－5－1 §5 磁场的能量和能量密度 一、磁场能量及能量密度 1、电磁能定域于场中 (1) 电能定域于电场中，即场具有能量、电能储于电场中： we D E = 2 1 ； (2) 同样，磁能也储于磁场中，场能密度为： wm B H = 2 1 2、公式推导 出发点：自感线圈储能 2 2 1 W LI m = 。 特 例：螺绕环. 真空下--- n V I B nI NB S N nIS L 2 0 0 0 0 0 0 0 0 , , = = = = = 充满 介质时--- = = = = = = = 。 所以： ， ； 2 2 0 2 0 0 0 0 0 , , HB n I L L n V B n I B H n I 另一方面看： Wm LI n VI HBV 2 1 2 1 2 1 2 2 0 2 = = = ， HB V W w m m 2 1 = = (因螺绕环内场能均匀分布)。 [讨论] (1) 考虑到方向，有磁能密度公式： wm B H = 2 1 ； (2) Wm V 表明能量分布于磁场中； (3) 上述虽然特例导出，但可推广至一般： W B HdV V 遍及场全部空间 V m , 2 1 = ； (4) 真空下 2 0 2 0 2 1 2 1 wm H B = = 。 二、两线圈之总磁能公式 如图 7-18 中 1、2 两回路，空间任一场点 p 之磁场为两回路电流激发场的叠加 1 2 1 2 H H H , B B B = + = +
总磁能W (B1+B2)(H1+H2)dl SHoal H?+h2)dV+ Ho u H, H2dv=Wa+Wa P 图7-18 [讨论] 1、上述公式本身表明,系统总磁能W只与最后所处状态有关,而与建立电流的过 程(次序)无关。 2、第一项为L1,L2两线圈各自的自感磁能之和,第二项则为互感磁能。 3、第一项恒正,但第二项可正(H1,H2夹锐角)、可负(H1,H2夹钝角)。 、由磁能公式计算自感、互感系数——磁能法 求自感L 若空间仅由某一载流回路激发,则因 LB Hdl 2、求互感M 若空间场由多回路载流激发,则因 WE=M /2=Hou H, Hdy 04.H1H2
7－5－2 自 互 互 自 总磁能 H H dV H H dV W W W B HdV B B H H dV V V V m = + + = + = = + + 0 1 2 2 2 2 0 1 1 2 1 2 ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 图 7-18 [讨论] 1、上述公式本身表明，系统总磁能 Wm 只与最后所处状态有关，而与建立电流的过 程（次序）无关。 2、第一项为 1 2 L ,L 两线圈各自的自感磁能之和，第二项则为互感磁能。 3、第一项恒正，但第二项可正（ H1 ,H2夹锐角 ）、可负（ H1 ,H2夹钝角 ）。 三、由磁能公式计算自感、互感系数——磁能法 1、求自感 L 若空间仅由某一载流回路激发，则因 = = V Wm LI B HdV 2 1 2 1 2 有 = V B HdV I L 2 1 2、求互感 M 若空间场由多回路载流激发，则因 W MI I H H dV V 1 2 0 1 2 = = 互 有 H H dV I I M V 0 1 2 1 2 1 = P L1 μ L2 B
3、计算示例 例1:如图7-19同轴电缆,R2〉R1,其间充满均匀介质μ,求自感L。(柱面电极) 解:过介质中场点,取安培环路为圆回路,则 H2m=l (R<r<R H= 考虑一段长为l同轴电缆储能 R2 A mrdr HoulI rR dr Houl-IR2 4 4 R R27 柱面电极 图7-19 另一方面:Wn=L2,与上场能方法计算比较之得, HollIn r2 R 与以前用L=所得相同。 例2:承上题,若内柱极电流I沿内柱截面均匀分布,再求自感L 解:由安培环路定理求出场分布:
7－5－3 3、计算示例 例 1：如图 7-19 同轴电缆， R2 R1 ，其间充满均匀介质 ，求自感 L。（柱面电极） 解：过介质中场点,取安培环路为圆回路，则 2 ( ) 1 R2 H r = I R r r I B r I H 2 , 2 0 = = 2 2 2 0 2 8 1 r I wm BH = = 考虑一段长为 l 同轴电缆储能： 1 2 2 0 2 0 2 2 2 0 ln 4 4 2 8 2 2 1 2 1 R I l R r I l dr rdrl r I W w rdrl R R R R m m = = = = 图 7-19 另一方面： 2 2 1 W LI m = ，与上场能方法计算比较之得， 1 0 2 ln 2 R l R L = 与以前用 I L = 所得相同。 例 2：承上题，若内柱极电流 I 沿内柱截面均匀分布，再求自感 L。 解：由安培环路定理求出场分布： R1 R2 Z I μ I I I μI ι 柱面电极
R) (R,<r<R 设内导体柱的相对磁导率为',则 B=Hou'H'=o? 2 故总磁能变成:W"=Wn+△Wn,此△n乃内柱体内有场所致。 △W wdv 式中 H B 8丌2R △W 8z242mh=27 16丌 自感系数为 L W.W+△WW△ Aoul R, Wou't 2丌R18 R, In -+ R14 可见:磁能法计算自感L等可用于计及载流导体有一定横截面积情况,磁通匝链更明确 所指。 「拓展] 计算有横截面积的导体回路的自感系数之方法 磁能法 [B Hdv, L=JB 平均磁链法:
7－5－4 ( ) ( ) = = 1 2 2 1 1 2 0 2 R r R r I H I r R R r H 设内导体柱的相对磁导率为 ，则 I R r B H 2 1 0 0 2 = = 故总磁能变成： Wm = Wm + Wm ，此 Wm 乃内柱体内有场所致。 W w dv R m m = 1 0 式中 4 1 2 2 2 0 2 8 1 R I r wm H B = = 16 2 8 2 0 0 4 1 2 2 2 1 0 I l rdrl R r I W R m = = 自感系数为 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 I W I W I W W I W L m m m m m = + + = = 8 ln 2 0 1 0 2 l R l R = + = + 4 ln 2 1 0 2 R l R 可见：磁能法计算自感 L 等可用于计及载流导体有一定横截面积情况，磁通匝链更明确 所指。 [拓展] 计算有横截面积的导体回路的自感系数之方法： 磁能法： = = v Wm LI B Hdv 2 2 1 ， = v B Hdv I L 2 1 平均磁链法：
()L=y,式中=7Jdp,对磁通积分 p--某元磁力管L内之磁通; i--与上磁力管链结的电流。 2)L=2,式中=d,对电流积分 d--某元电流管L内之电流 i--与上管链结的磁通 7-5-5
7－5－5 (1) I L = ，式中 = id I 1 ，对磁通积分。 − − − − 与上磁力管链结的电流。. 某元磁力管 内之磁通； i d L (2) I L = ，式中 = di I 1 ，对电流积分。 − − − − 与上管链结的磁通。 某元电流管 内之电流； i di L