五.采用面积坐标时的单元分析 1.面积坐标 MPik △Pjk 三角形单元中任一点P可用直角坐标(x,y表示。 连Pi、Pj、Pk,则可得三个小三角形。它们和 △Pii 大三角形△123的面积比,记作 L;=△Pjk/△ijk L=△Pik/△ijk 面积坐标 Lk=△Pij/△ijk 由于L1+L+Lk=1,只有两个是独立的。 三角形中任一点P的位置可用面积坐标L、L;确定。 当P点在结点时=k=0,L1=1。余类推。 L+;+Lk=1 可见面积坐标具有“形函数”的性质
五.采用面积坐标时的单元分析 j i k y x P 1 .面积坐标 三角形单元中任一点P 可用直角坐标 (x , y)表示。 连P i、 P j、 P k，则可得三个小三角形。它们和 大三角形123的面积比，记作 Pij Pik Pjk L i= P jk/ ijk L j= P ik/ ijk L k= P ij/ ijk 面积坐标 由于 L i+ L j + L k = 1，只有两个是独立的。 三角形中任一点P 的位置可用面积坐标Li、 L j 确定。 当P 点在i结点时Lj = L k= 0， L i= 1。余类推。 可见面积坐标具有“形函数”的性质。 L i+ L j + L k=1
五.采用面积坐标时的单元分析 2.位移模式 MPik △Pjk 由于面积坐标有形函数性质,因此根据 试凑法可得到形函数矩阵。 △Pii 形函数N=L;面积坐标 如果结点位移为l、吟(i=,j,k) 则单元位移模式(位移场)为 =ΣN;;vΣNv 面积坐标和直角坐标关系: x X J △Ppik1 2×△jk=1xy=22×△P=1x △k2△ k y k (a; +b,x+cy i,,k=1,2,3 2△ ai=x yk-yj* b=y,-yk ci x:+
五.采用面积坐标时的单元分析 j i k y x P 2 .位移模式 Pij Pik Pjk 由于面积坐标有形函数性质，因此根据 试凑法可得到形函数矩阵。 形函数 Ni=Li 面积坐标 如果结点 i 位移为ui、vi，（i=i，j，k） 则单元位移模式（位移场）为 u= Niui ； v= Nivi 面积坐标和直角坐标关系: = = 2 1 1 1 2 k k j j i i x y x y x y ijk k k i j j x y x y x y ijk Pjk L 1 1 1 2 1 = = ( y) 2 1 i i i i L a + b x + c = i j k j k a = x y − y x i j k b = y − y i j k c = −x + x i, j, k =1,2,3 k k j j x y x y x y Pjk 1 1 1 2 =
L=.(a,+bx+cy) 2△ (a; +b,x+cy) MPik △Pjk 2△ (ak+bx+cky) △Pii 2A 2△ k k k x Yk ill (a; +b,x+cy i,jk=1,2,3 2△ ai=x yk-yj* b=y,-yk ci x:+
j i k y x P Pij Pik Pjk ( y) 2 1 i i i i L a + b x + c = i j k j k a = x y − y x i j k b = y − y i j k c = −x + x i, j, k =1,2,3 ( y) 2 1 i i i i L a + b x + c = ( y) 2 1 j j j j L a + b x + c = ( y) 2 1 k k k k L a + b x + c = = y x a b c a b c a b c L L L k k k j j j i i i k j i 1 2 1 = k j i i j k i j k L L L y y y x x x y x 1 1 1 1
L=.(a,+bx+cy) 2△ (a; +b,x+cy) MPik △Pjk 2△ (ak+bx+cky) △Pii 2A C X 2△ k k k 后面的分析过程与结果与 前面广义坐标法一致 x x: x x,kL L;+L;+L=1 x=Lx:+;t L y=LiV:+ LiV;+ Lkk
j i k y x P Pij Pik Pjk ( y) 2 1 i i i i L a + b x + c = ( y) 2 1 j j j j L a + b x + c = ( y) 2 1 k k k k L a + b x + c = = y x a b c a b c a b c L L L k k k j j j i i i k j i 1 2 1 = k j i i j k i j k L L L y y y x x x y x 1 1 1 1 Li+ Lj + Lk=1 x=Lixi+ Ljxj + Lkxk y=Liyi+ Ljyj + Lkyk 后面的分析过程与结果与 前面广义坐标法一致
§3平面问题的有限元分析 531常应变三角形单元 532矩形双线性单元 离散化 水坝 i=12,3.4) 。。。。。2 F {}2 4(x4,y4) 3(x3,y3) F b 1(x1,y1) 2(x2,y2) 单元结点位移向量单元结点力向量 VI
§3.1 常应变三角形单元 §3 平面问题的有限元分析 一.离散化 ( =1,2,3,4) = i v u i i i = 4 3 2 1 e 单元结点位移向量 §3.2 矩形双线性单元 水坝 x y x y 1 2 3 4 (x1 , y1 ) a a b b (x2 , y2 ) (x3 , y3 ) (x4 , y4 ) u1 1 v = 4 3 2 1 F F F F F e 单元结点力向量