表2计算结果比较 出现国礅 时投掷次 安结 相对误差 数最大值 9.9499E-0 1.9671E-03 9.9213E-01 1.4132E-0 9946E-0 1.4611E-03 99326E 45678 23456789 1.00UTE+0 9.9827E-01 3.9995E-03 l.0000E+00 9.944E-01 6.709E-0 9.6970E-0 3.0540E-0 10138E+00 10307E-01 0505030500000 o5999999g999999 1.0109E+00 1.033TE-01 1.0022E+00 1.047E-0l 1.0036E+00 1.0411E-0 1.0138E+00 1.0015E+00 l.0372E-01 1.0109E+00 1.0337E-01 1.0022E+00 1.0427E-01 1.0036E+00 1.04llE-01 1.0I38E+00 1.007E-01 1.0075E+00 1.072E-01 1.0109E+D0 1.0337E-01 1.0109E+00 1.0337E-01 19 1.001E+O0 1.0438E-0 1.0109E+00 1.0337E-01 1.0132E+ L.0313E-01 因此若用E(1…)表示对于随机变量…,的数学期望则有 G= E(G Ix, y1, y2, mpx,,y1,y2,…,y(对日 (12) 其中 x,yt,y2,…,y [r3)+〕 计算积分G的原集团抽样方法就是,用G(x,y,y,ym)作为无偏估计。 分析上述计算积分G的集团抽样方法,很明显,实际上对随机变量x是按常规抽样方 法处理的,对随机变量y才是按集团抽样方法处理的。新的集团抽样方法是,对随机变量x 按集团抽样方法处理随机变量y的分布变成是与x的集团随机变量有关的条件分布,然后 再对随机变量y按常规抽样方法处理。 同样以计算积分(10)式为例,不难证明,也可以将积分(10)写成为另一种形式如下: f(rm) d(xm)(xm)a(x-xm)dx f(y I x)dy ixx) (14) 14
因此,有 G=E(C(x1,x2,…,xM,x,y)1x1,x2,…,xM,x,y) (15) 其中 M (16) x'1,x2,…,xM服从分布∫(x);x服从如下分布 δ(x-xm) (17) y服从分布八yx)。计算积分G的新的集团抽样方法就是用G(x1,x2,…,xM,x,y)作 为无偏估计。 比较原集团抽样方法与新的集团抽样方法,很明显,前者的优点是,不要像后者那样必 须保留全部的(xn),m=1,2,…,M;后者的优点则是其抽样只依赖于(x)随x变化的相 对值,而不像前者那样还依赖于I(x)的绝对值。 6在解小概率大贡献问题中的应用 为了进一步考查新集团抽样方法在解小概率大贡献问题中的作用,仍然以彼得堡赌博 为例,看新集团抽样方法是如何对其求解的,通过计算再看它的实际效果如何。 按照彼得堡赌博的规则,引入随机变量x,当x=0时,表示投掷金属币出现字;当x=1 时,表示出现国徽,则很明显,可以将赌客在每一局赌博中赢得的卢布的数学期望表示成如 下形式: f(x dxig(xu,x= 其中 x (19) 当 当 g(1 (20) xn=1时 其他情况 于是,若进一步对每次投掷均取l(x)=1,则有新集团抽样方法解彼得堡赌搏问题的步骤如 下 (1)准备 令m=0 (2)开始进行赌博 令
(3)投掷金属币 令n=n+1,对n局进行第m次投掷金属币,即产生随机数G,当<1/2时,未出现国 徽,进入下一步骤;否则,出现国徽,sn=Sn+1。 (4)总共N局赌博是否已经完成 当n<N时,N局赌博尚未完成转至步骤(3);否则,进下一步骤。 (5)投掷次数是否已到m“次 当m<m“时,投掷次数尚未到m'次,转至步骤(2);否则,赌博结束。 赌客应赢得的卢布为 同解彼得堡赌博问题的一般蒙特卡罗方法一样,模拟次数也取为100万局。用新集团 抽样方法计算的结果列入在表3中。从表3中清楚地看出,无论m取值多么大,其结果都 与真值符合得较好,一般蒙特卡罗方法所存在的m之值较大,计算结果偏低于真值越多的 现象已不再存在。由于m=500时,2≈10,早已是个天文学数字,概率小到10-1∞0,页献 大到100,但计算结果与真值符合得仍然较好,因此用新集团抽样方法解小概率大贡献问 题会有广阔前途的。 衰3计算结果比较 计算结果 理论值 相对误差 99970E-01 1.0002E+00 2.2838E-03 9.999E-01 2.8768E-03 1.0007E+0l 3.8769E-03 95 9936E-01 9.940E-0l .4363E-02 9.8245E-01 2.3755E-02 9.9115E-0 3.5808E-02 5.1664E-02 9.7294E 6.2973E-02 结束语 这里所讲的小概率大贡献问题在现实中普遍存在着,如著名的“深穿透计算问题与“管 道通量”计算问题都属于小概率大贡献计算问题。 深穿透问题属于小概率大贡献问题的理由是,粒子在远离开源处发生碰撞的概率很小, 可是,由于此时的粒子正好处于要穿透的地方,因此,对穿透概率的贡献却非常之大。蒙特 卡罗方法解深穿透问题的计算结果偏低问题早在蒙特卡罗方法开始出现的时候便被提了出 来3),可是,直至如今,除了少数简单情况解决得较好外,几乎没有什么大的进展2456 管道通量问题是指,粒子在一个很大的几何空间迁移与碰撞,计箅粒子通过细小管道离 开原所在几何空间的通量。很明显,管道通量问题同样属于小概率大贡献问题,即粒子通过 管道离开原所在几何空间的可能性极小,但它却是所要计算的管道通量的全部。目前,蒙特 卡罗方法通用软件甚多,但是,却没有一个提供了解管道通量问题的有效的蒙特卡罗技巧
本文讲的具体问题是彼得堡悖论,目的是想通过它引出解小概率大贡献问题时蒙特卡 罗方法的困惑,指出集团抽样方法在解小概率大贡献问题中有广阔的前途。 参考文献 〔1]裴鹿城原子能科学技术.1,89(1983) 〔2〕裴鹿城等著计算机随机模拟长沙:湖南科学技术出版社,1989 3〕H.Kahn. Nucleonics,6,27(1950);6,60(1950) [4)裴鹿成张孝泽著蒙特卡罗方法及其在粒子输送问题中的应用北京科学出版社,19 〔5〕裴鹿成计算物理4,563(1992 6装鹿成蒙特卡罗方法及其应用(一)长沙国防科技大学出版社,8(1993 17
二维随机几何模型的蒙特卡罗研究 王仲奇 (中国厚子能科学研究院) 摘要为了理解非规则摆放多体(⑩MB)问题和研究随机凡何模型,本文设计和选取了 凡个不同的二维随机几何模型,通过对这些模型的蒙特卡罗研究,有助于我们对MB问题 及其难度的理解。 利用蒙特卡罗方法处理mMB问题,是核工程中提出的实际问题,也是蒙特卡罗方法在 几何处理方面遇到的新的理论问题]。从方法研究的角度出发,我们首先考察下面的二维 问题 在边长为2的正方形中,有若干个半径为r(r=0.1,0.05,001)的圆(见[2]中图1)。圆 内和圆外分别为两种不同物质。粒子从正方形的一边平行入射,记录其在相对一边的穿透 几率。假设圆内物质为A物质圆外为B物质,对粒子的宏观总截面分别为∑A和ΣB粒子 发生碰撞后,出射方向为各图同性权重率分别为WA和Wn 可以看出这是一个很简单的屏蔽问题,与实际中所提出的临界问题相比较,存在相当大 的难度差距,然而我们不妨将其作为研究IMB题的出发点。 对上述二维mMB问题,我们设计如下模型对其进行处理: 经典模型(C模型) 前提:了解掌握正方形中每个圆的圆心位置(半径确定相等)121。 方法:按照常规蒙特卡罗方法进行对粒子输运历史的跟踪。在正方形中,若未进入圆, 按B物质的宏观总截面ΣB输运,进入圆后,按A物质的宏观总截面Σ输运粒子的权重输 运方向的改变,根据碰撞物质分别进行相应处理。 均匀模型(U模型) 前提:不知道每个圆的具体位置,只知道圆的个数n,有 VA VB=V-VA 其中V为正方形的面积,V=4。 方法将A物质和B物质“打碎并充分均匀混合”我们认为ΣA和ΣB混合法的A、B物质的 宏观截面为 VA 粒子∑M以输运,以分枝比 4=V+。和bB=V24+VB2BV 判断碰撞物质,由此进行相应的权重和输运方向的改变。 随机模型I(R模型)