仅需11分钟不到。从计箅结果及其误差看,比如有精确结果的M=2情况,精确结果为 Q=0.7l1蒙特卡罗方法的结果为Q=0.7140,符合得相当好。至于其他3种情况,蒙特卡 罗方法计算结果的误差也都达到了千分之几的水平,应该认为是相当满意的了。结论是,对 于不公平博弈问题,蒙特卡罗方法不仅很好地克服了其他确定性方法所遇到的困难,而且 还是一种非常好的方法。 5结束语 随着科学技术的迅速发展,所提出来的随机性问题变得越来越复杂,从而使得蒙特卡罗 方法作为一种特殊的数值方法,必将发挥其更大的作用解决越来越多的确定性方法所难以 解决的问题。 参考文献 〔1)裴鹿成,张孝泽蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用.北京:科学出版社,1980 2〕徐钟济蒙特卡罗方法上海:上海科学技术出版社,1 3〕·裴鹿成蒙特卡罗法中国大百科全书数学卷,471,1988 4〕裴鹿成等计算机随机模拟长沙:湖南科学技术出版社,1989 〔5)裴鹿成蒙特卡罗方法发展的回与展望蒙特卡罗方法及其应用(-)郑州:河南科学技术出版杜, [6]G,B.格涅坚科丁寿田译.概率论教程.北京:人民教育出版社,1956 〔7〕G. polya,Mth.An.,84,149,1921 〔8〕WH. McCrea and F.JW. Whipple Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 60, 281, 1940 [9]H Robbing and S Monro Ann. Math. Statist.22.1. 1951
彼得堡悖论与小概率大贡献问题 裴鹿成 中国原子能科学研究院) 摘要彼得堡饽论的产生始于如何使彼得堡赌博公平问题,其所以能成为悖论,是由于 它利用了彼得堡赌博中的这样一个要害问题:赌客获胜概率越小的事件其所赢得的卢布越 多,即本文所讲的“小概率大贡献”问題。本文的目的是想通过对彼得堡赌博问題的分析与 计算看蒙特卡罗方法在解小概率大贡献问题时的困惑,介绍一种析的集团抽样方法,通过计 算证实这种方法对解决小概率大贡献问题是非常有前途的 1彼得堡黯博问题 赌客与赌主二人进行赌博。赌博的规则是,投掷一个金属币直至出现国徽时为止,如果 在第一次掷出国徽,则赌主给赌客一个卢布;如果在第二次掷出国徽,则赌主给赌客两个卢 布;如果在第三次掷出国徽,则赌主给赌客4个卢布,等等。所谓彼得堡赌博问题走向,在每 局赌博开始以前赌客应交付给赌主多少赌金,赌博才算是公平的? 彼得堡赌博问题是于18世纪提出来的,在科学发展史中不仅非常著名,而且,对概率论 的产生与发展有过重要影响。 所谓赌博是公平的,很明显,对于彼得堡赌博而言,比较合适的定义应该是,每局赌博开 始前赌客交付给赌主的赌金应等于,在多局赌博中赌客所赢卢布的平均值。按照这种定义 方法,有蒙特卡罗方法解彼得堡赌博问题的一般步骤如下 (1)开始进行赌博 (2)投掷金属币 产生随机数,当安<1/2时,未出现国徽,转至步骤(3);否则,出现国徽,此局赌博终 止,赌主支付给赌客r个卢布。 (3)下次出现国徽时应支付的卢布 令 r〓Er (4)进入下一次投掷 转至步骤(2) 用N表示按上述过程进行模拟的总次数;rn表示其中对第n局赌博进行模拟时赌主支 付给赌客的卢布,当N足够大时,用 Rn 作为使每局赌博公平赌客应交付给赌主的赌金的近似估计。 2彼得堡悖论 按照彼得堡赌博的规则,很明显,在一局赌博中,赌主支付给赌客卢布的理论平均值应为
因此,为了使赌博是公平的,在每局赌博前赌客必须交付给赌主无限多的卢布作为赌金。显 然,这一结果是极其荒诞的,任何大脑正常的人都不会作为赌客去参加这种赌博。彼得堡悖 论就是,现实中应该存在的公平赌博但从理论方面分析却无法实现。 为了解决上述彼得堡悖论中所提出来的问题,许多著名学者,如D. Bermoulli、 D' Lambert、 Buffon和 Conderset等人,都曾先后研究过。直至19世纪,乃至20世纪,仍然有 些数学家回过头来研究这一问题 比较值得注意的是 Poisson(1781~1840)所发表的见解。他提出来的解法的大意是,赌 主支付给赌客的卢布到不超过赌主的赌本为度,超过时将支付其全部赌本。可是,由于 poissonη的这种办法改变了彼得堡赌博中的原规则,因此,实际上并没有真正解决彼得堡悖论 中所提出来的问题。 人公平赌博的新定义如下:用Rn表示在n局赌博中赌主支付给赌客的卢布;en表示 在n局赌博中赌客交付给赌主的赌金;P(“)表示其中事件*发生的概率,如果对于任意的 e>0,满足 limP( R l1>ε)=0 则说这种赌博是公平的。根据这一新的定义, Fewer曾给出了关于en的结果如下 nInn 21n2 en的实际意义是什么呢?我们对彼得堡赌博作如下限定:每局赌博赌主支付给赌客的 卢布不得超过n。于是,当n=2时,每局赌博客交付给赌主卢布的理论平均值为 n局赌博中赌客交付给赌主的卢布总共为 Inn 2In2 同 Feller的结果(4)式完全一样。这一结果表明,如果在n局赌博前赌客按en交付给赌主赌 金,至少对于n=2的情况,对赌主总是极其不利的,除非赌主拒绝支付每局赌博中超过n 卢布的那部分。 3解彼得堡赌博问题的蒙特卡罗方法 根据Feer的结果(4)式,某赌客去参加一次100局的赌博需要交付给赌主的赌金应该 为e10=50·ln100/n2≈332.2卢布。在此情况下,赌博是否是公平的?为了能够比较肯定 地回答这一问题,很显然,最好的办法是让赌客去实践(蒙特卡罗方法计算)。每次100局共 实践了30万次,结果是从赌主手中共贏得了76509万卢布,同交付给赌主的赌金9966万 (30万×332.2)卢布相比,超过了所交赌金的6677倍,因此,按照 Feller原则参加赌博,难说 是公平的
在上面论述 Feller的原则并不公平时,实际上是认为,每次100局赌博赌客交付给赌主 2550.3(76509万/30万)卢布的赌金是公平的。是不是如此呢?我们回到公平赌博的现实意 义上来。很明显,公平的内涵只能是,赌客参加一次赌博他从赌主手中得到的卢布可能比 交付给赌主的赌金多,也可能少,但平均起来应正好等于交付给赌主的赌金。由于上述的 2550.3卢布正是赌客参加30万次赌博中从赌主手中所得卢布的平均值,因此,赌客交付给 赌主2550.3卢布的赌金,应该说大致上是公平的。如果还说是不公平的,那只能是由于蒙 特卡罗计算得到的平均卢布值,还有统计涨落,或者是公平赌博根本不存在。 赌客参加一次100局的赌博,按照彼得堡悖论交付给赌主无限多的赌金,当然是荒诞 的。按照 Feller的原则,交付32.2卢布的赌金也不合适。那么,为什么用蒙特卡罗计算出 来的结果应该相对合理一些呢?关键在于,理论的结果是无限状态的极限情况,是期望值, 而现实是有限的,蒙特卡罗计箅是根据客观实际对有限次赌博进行模拟的结果,因此,相对 要合理一些。 4小概率大贡献问题 由于本文的主要目的不是研究彼得堡悖论本身,而是想通过彼得堡赌博问题引伸出解 小概率大贡献问题时蒙特卡罗方法的困惑,为此,我们暂且抛开赌客在每一局赌博中应交付 给赌主的卢布的期望值为无限多的问题,即采用类似于 Poisson的办法:每局赌博投掷金属 币的次数不得超过m次,如果超过了m次仍未出现国徽,赌主支付给赌客的卢布一律为2m 个,即相当于pos∞m办法中规定赌主的赌本为2m个卢布。按照这一新的规则赌客在每一 局赌博开始前应交付给赌主卢布的期望值有限,正好等于: ∑21+∑2=m (7) 按照这一新的规则,对于不同的m取值,分别用蒙特卡罗方法进行了计算,其结果( 律模拟100万局)列人在表1中。分析表1中的计算结果,不难发现,从m=15开始蒙特卡 罗方法结果偏低于真值,m之值越大偏低得越多,偏低最多者多达25.97倍。 产生这一现象的根本原因是,对于m>15情况,赌客赢得赌主全部赌金的概率仅有 2-15≈3.052×10-以下,虽然这些情况赌客可以赢得卢布高达25=32768以上,但从表1中 所列“出现国徽时投掷次数最大值”看出,在总计100万局的赌博中,竞一次也未发生。因 此,用蒙特卡罗方法解彼得堡赌博问题,当m较大时计算结果偏低的根本原因是,其中的小 概率(1/2m)大贡献(2m-1)情况虽然对赌博的结局至关重要,但却往往不能发生。 用m·表示表1中出现国徽时投掷次数最大值,既然在此之后的率件根本未发生,那 么,在100万局的赌博中它的实际理论值应为 (8) 因此结果代替表1中的“理论值”后,有关结果列人在表2中。从表2中的结果看出,蒙特卡 罗方法的结果相对合理多了
表1计算结果比较 出现回徽 时投掷次 相对误差 数最大值 9.949E-01 1.%71E-03 9.9213E-OI 1.4132E-03 2345678 1.8611E-03 1.000TE+00 2.3880E-03 9.9494E-01 335E 1.0E+00 5.138E-0 9.947E 6.709E-03 089 9.690E-0 9.6309E-0l l.00E-01 9.6827E-01 1.033TE-0 6.3470E-0I 5.4484E-01 1.04l】E-01 4.8155E-01 4.2537E-0 l.0372E-ot 3.8413E-01 l.0337E-0l 00m890m 234567890599999999999999 2.7242E-01 1.0411E-01 2.4077E-01 1.03E-0l 2.1269E-01 1.0372E-0l l.907E-01 .0337E-0l 9.6034E-m2 I0337E-01 6,3402E-02 1.0438E-01 4,8017E-02 .0337E-0t 500 1.0313E-0 5新的集团抽样方法 集团抽样方法是由作者首先提出来的,并给出了有关集团随机变量的严格定义1,2 在这里我们将给出一种新的集团抽样方法,下面我们将会看到,它明显地优于原集团抽样方 法。 为了叙述简单,考虑如下二重积分计算问题 g(x, y)f(x, y)dxdy 其中f(x,y)为随机变量x,y的分布密度。用f(x)与f(g|x)分别表示分布f(x,y)的边缘 分布密度与条件分布密度,则积分G可以进一步表示成如下形式: G=f(x)dx(y I x)dyg(x, y) (10) 对于所有x,进一步引∧任意的正定函数I(x)。由于对于任意的(x),若用〔·)表示取 其中数的整数部分,则可以将积分(10)进一步写成 G= L(x)dx l(x)ode ∑f(ym1x)dyng(x,ym) (11)