2.3.5正弦函数 考虑下列正弦函数： f(t)=0, K<0 =Asinct,t≥0 式中，A和仙为常数。该正弦函数的拉普拉斯变换可依下列方法求得。 参考方程(2.3)，sinot可以写成 sinwt= (ee如) t 因此 [Asinat]= (-e)ed Aw -0一方十网=2十w 类似地，Acosat的拉普拉斯变换可以导出如下： As [Acost]=,2千 2.3.6说明 任何拉普拉斯变换函数f(t)的拉普拉斯变换，可以通过用e~乘以f(t),再对其乘积从 t=0到t=∞求积分得到。当然，在掌握了求拉普拉斯变换的方法之后，并不需要每次都去推 导f(:)的拉普拉斯变换，通常可以方便地利用拉普拉斯变换表得到给定函数f(t)的拉普拉斯 变换。表2-1给出了一些时间函数的拉普拉斯变换，这些时间函数经常出现在线性控制系统 分析中。 表2-】拉普拉斯变换对骊表 f() F(s) 单位脉冲(t) 1 单位阶氏1(c) 是 (m1)万页 (n=1,2,3,…) (n=1,2,3,…) 品 ·14· /
(综表】 f() F(s) 6 e-u 品 le w 1 (sa 8 a2e(a=1,2.3,) Gi 9 e-（n=1,2,3,…) Gfo 10 sincot 2 cosat 12 sinh at 13 cosh ot 14 1-e) 1 Ks+a) 15 ae-y） 1 (sFa)(s+B) 16 w*- (sFa)(s+b) 17 1+。w-ae-y] 1 3(sFa)(s+b) 18 1-e-e） 1 3(sFa)7 19 (al-1+r) 1 子(s+a 20 e-4 sinan (Fo 21 e-sco3城 (+a)2+a 22 产家w加-项<》 2+25n3+ 后sa,F-有 23 5 arcten交 (0<<1,0<<x/2) g2+25a,5+ad 24 n(a+约 -arctan-交 (0<5<1,0<K/2) s(r+25,3+a) 25 1-coSut 2 i(#+a) 26 at-sinat 2(+w 27 sintet-wtcosot 平n ·15·
(综表) fn F() 28 云n (2+w27 29 tcos址 sm (2+2)2 30 c1-cost) 1 (u≠uf) (21a)(g2+) 31 2(sinct wicost) (3+)江 | 下面，我们将介绍函数的拉普拉斯变换和有关拉普拉斯变换的定理，这些定理在研究线性 | 控制系统时是很有用的。 2.3.7平移函数 我们来求平移函数f(t一a)1(t-a)的拉普拉斯变换，式中a≥0。当t<a时，该函数等于 零。在图2-1上，表示了函数f(t)1(t)和函数f(t一a)1(t一a)。 fu)1) ft-a)1(t-) 图2-1函数f()1(t)和平移函数f(t-a)1(t一a) 根据定义，f(t-a)1(t一a)的拉普拉斯变换为： f(I-1(-]-f(i-(-)e+dt 将自变量由t改变为x,其中t=t一a,我们得到 f-e-aed业=∫rel()eds 因为在本书中我们总是假设在t<0的条件下，f(t)=0:在t<0的条件下，f(x)1(x)一0， 所以可以将积分下限从一口改变为0。于是 fri(e dr=f1(red址 -(ee-te"dr -KDede-R) 式中 ·16·
F(s)=(]=f(r)e"dr 所以 [f(t-a)1(t-a)门-eF(s),a≥0 最店这个方程式说明，用a对函数f(t)1(t)进行平移，相当于用e®乘以拉普拉斯变换 F(s)。 2.3.8脉动函数 考虑下列脉动函数： f(t)=A. 0<tto 三0， 1<0,<t 式中，A和te为常数。 这里的脉动函数可以看做是一个从t=0开始的高度为A/。的阶跃函数，与另一个从 t=t开始的高度为A/t的负阶跃函数叠加而成，即 fe)=A1(e)-A1u-6) to 于是，f(t)的拉普拉斯变换可以求得为： [few]=[1o]-[A1-)] AA e los tos =A(1-eo) (2.5) tos 2.3.9脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。考虑下列脉冲函数： g(t)=limA. 0<t< 60t。 =0、 t<0,<t 因为这种脉冲函数的高度为A/6,持续时间为，所以脉冲下的面积等于A。当持续时间t趋 近于零时，高度A/趋近于无穷大，但是脉冲下的面积仍然等于A。应当指出，脉冲的大小是 用它的面积来度量的。 参考方程(2.5)可以证明这个脉冲函数的拉普拉斯变换为： [go]=[A1-。)] [A1-e门 =lim- =AS-A -0 di (tos) d 因此，脉冲函数的拉普拉斯拉变换等于该脉冲下的面积。 面积等于1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Dirac)8函数。发生在t=t处 。17·
的单位脉冲函数通常用(t·t)表示。(t·t)满足下列条件： 6(t-t)=0, ≠t6 8Mt-to）=0, t=tc edr1 应当说明，量值为无穷大且持续时间为零的脉冲纯属数学上的一种假设，而不可能在物理 系统中发生。似是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常 小时，可以用脉冲函数去近似表示脉动输入。例如，当力或者力矩输入量∫()在很短的持续 时间内(0<心，)作用到系统上，并且f)的最值充分大，致使积分”f0)d不能忽视时，这 个输人量就可以看做是一个脉冲输人（应当指出，当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常 重要的，面脉神的精确形状通常并不重要)。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能 量。 脉冲函数的概念在微分不连续函数中非常有用。单位脉冲函数（一，）可以看做是单位 阶跃函数1(t一o)在间断点t=6上的导数，即 -w)=1-6) 反之，如果对单位脉冲函数(t一to)进行积分，积分结果就是单位阶跃函数1(t一)。利用脉 神函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量 值等于每一个相应的不连续点上的量值。 2.3.10f（t)与e-m相乘 如果f(t)是可拉普拉斯变换的，且其拉普拉斯变换为F(s),则ef(t)的拉普拉斯变换 可以求得如下： %[e-f(t)]=e"f(D)e'dt F(s+a) (2.6) 我们看到，用e“乘以f(t)的效果，是在拉普拉斯变换中用(s+a)取代's。反之，将s变成 (s十a)就相当于用e“乘以f(t)(注意，a可以为实数或者复数)。 在求像e~“sinwt和e~“coswt这样一些函数的拉普拉斯变换时，方程(2.6)给出的关系式 是很有用的。例如，因为 9[sinont]--F(s)coso]-G(s) 所以，根据方程式(2.6)，可以得到esinwt和e-"coswt的拉普拉斯变换分别为： [e-*sinwt]=F(s+a)-(sFa) yLe-*cos@tJ-G(s+a)-(sFa)+o 2.3.11时间比例尺的改变 在分析物理系统时，有时需要改变时间比例尺，或把给定的时间函数标准化。以标准化时 间得出的结果是很有用的，因为它可以直接应用到具有类似数学方程的不同系统中。 ·18·