式中，G,和(，为实数。G()的幅值wG十G,G(s)的角度6为arctan(G,/G,)。角度是从i正 实轴开始，沿逆时针方向计算的。(G(s)的共轭复数为G(s)=G,一G。 在线性控制系统分析中，通常通到的复变函数是5的单值函数，因此对于一·个给定的； 值，它被惟一确定。 如果在某·域内复变函数(G(s)及其所有导数均存在，则称该复变函数在该域内是解析 的。解析函数(G(s)的导数可由下式确定： 8c(s)=g6+a-6-m △G &+0 △s 5-0△s 因为△s=△a十j△w,i△s可以沿无穷多个不同的路径趋于零，下述事实可以证明（但在这里 不予证明)，即当沿者两条特殊的途径，即沿着△s一△d和△s=j△w求得的导数相等时，对于任 何其他路径△s二△0|j△w求得的宁数是惟一的，因而导数是存在的。 对于特殊的路径△s=△a(这意昧着该路径位于实轴上)，则 | c=细(g+书S）-品+$ 对于另外一条特殊路径△s=j△（这意味着该路径位于虚轴上），则 -m(8+8）-恶+恶 如果这两个导数值是相等的，则 器-恶-恶 +j加=m- 或者说如果满足下面两个条件： 恶-恶和恶恶 Ow 则导数dG(s)/ds可以被惟-一确定。这两个条件就是众所周知的柯西-黎曼(Cauchy-Rie- mann)条件。如果这两个条件得到满足，函数G(s)就是解析的。 作为一个例子，我们来研究下列函数G(s): G(s)=s+1 于是 G(o+jw)=- +jw+1=G,+G, 从式中 G.=o叶+0和G,=o+1+a 0十1 可以看出，除了s=一1（即=一1，ω一0）外，G(s)满足柯西-黎曼条件： a℃=3G=w-(+1)2. ad3u-[(a+1)+w了 S-恶o9 2u(a+1) 因此，除了=一】以外，在整个s平面上，G(s)=1/(s十1)都是解析的。导数dG(s)/ds除了 s=-1外，可以解得为： 9
Ba ,℃-a-j3w dG(s)=+j aoao 1 应当指出，解析函数的导数可以通过G(s)对s微分简单地求得。在这个例子中， (1） 1 在s平面上，使函数G(s)解析的点叫做普通点，在s平面上使函数C(s)为作解析的点叫 做奇点，使函数((s)或其导数趋于无穷大的奇点叫做极点。在前面的例子中，一一1是-个 奇点，并且还是函数G()的一个极点。 如果当s趋于一p时，((s)趋于尤穷大，并且函数 G(s)(s十p)”(n=1,2,3,…) 在s=一卫处具有…个有限的非零值，则s=一叫做？阶极点。如果1=】，则该极点叫做简 单极点。如果=2,3，…，则这些极点分别叫做二阶极点、三阶极点，等等。使函数G(s)等于 零的点叫做零点。 为了说明问题，我们来讨论下列复变函数： 6ds-gi5 K(s+2)(s十10) G(s)在s=一2,5=一10处具有零点：在s=0,9=一1,5=一5处具有简单极点；在5=一15处 具有双重极点（二阶多重极点）。应当指出，当s一o时，G(s)为零，因为当s的值很大时 c 所以在3=时，G(s)具有三重零点（三阶多重零点）。如果将无穷远处的点包括在内，则G(s) 具有的极点数与零点数相同。总之，(G(s)具有5个零点(=一2，s=一10，s=∞，s=∞，5=∞) 和5个极点(s=0,s=一1,5=一5,3=-15,5=-15)。 2.2.3尤拉定理 cus8和sin9的幂级数展开式分别为： cos0=1-分+ 2I十4161+… sin0-0-+年 3十研“7十… 因此 a+n=i+g0+梁+++ 4十… 因为 =1++++… 所以我们得到 cos9+jsin8-e° (2.1) 这就是众所周知的尤拉定理。 ·10·
利用尤拉定理，可以把正弦和余弦表示成指数函数形式。注意到e是e严的共轭复数，并 且 e=cos0+jsine e=cos0-jsin 通过把这两个方程柑加和相减，可以求得 cos0=号p+ey (2.2) sing-:(e-e-) (2.3) 2.3拉普拉斯变换 本节首先介绍拉普拉斯变换的定义，并且简要地讨论其存在的条件；然后举例说明几种常 用函数的拉普拉斯变换推导过程。 我们规定 (1)f()=时间t的函数，并且当t<0时f()=0; (2)s一复变量： (3)=运算符号，放在某个量之前，表示该量用拉普拉斯积分e业进行变换： (4)F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。 于是，f(t)的拉普拉斯变换为： [fw]=Fs)=ed[fe]-feed址 从拉普拉斯变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程称为拉普拉斯反变换。拉普拉斯反 变换的符号是？1，可以通过下列反演积分，从F(s)求得拉普拉斯反变换： tFo】==rr, 对t>0 (2.4) 式中，收敛横坐标c为实常量，它选择的实部比(s)所有奇点的实部都大。因此，积分路径平 行于jw轴，且与jw轴之问的距离为c。这条积分路径位于所有奇点的右面。 计算反演积分看起来比较复杂，实际上我们很少采用这个积分去求f(t)。这里存在着一 些较简单的求f(t)的方法，2.5节和2.6节将讨论这些方法。 应当指出，在本书中，当时间为负值时，时间函数∫()总被假定等于零，即 f(t)=0,t0 2.3.1拉普拉斯变换的存在 如果拉普拉斯积分收敛，则函数f(t)的拉普拉斯变换存在。如果()在>0范围内的 每一个有限区间上.分段连续，并且当t趋于无穷大时，函数f(t)是指数级的，则拉普拉斯积分 将是收敛的。如果存在一个正实常数σ，使得函数 ef(t) 在t趋于无穷大时，其值趋近于零，则称函数f(t)为指数级的。如果o大于a,函数e|f()的 ·]1
极限趋近于零；而σ小于·时，该极限趋近于无穷大，则¤的值称为收敛横坐标。 对于数f(t)一Ae”,如宋>一a,则 limexAe 趋近于零。在这种情祝下.收敛横坐标a=a。只有当s的实部。大于收敛横坐标·，时，积分 f)。“d出才是收敛的。因此，必须将算子：选定为一个能使上述积分收敛的微数。 从函数P(s)的极点的规点来春，收敛横坐标相当于s平面内最石边的极点的实部。例 如，对于函数F(s) Fo-g本5 其收敛横坐标5等于-1。可以看出，对于t、sinot和t sinwt这样一些函数，其收敛横坐标等于 零。对于e口、e“、e“siwt等这样一些函数，其收敛横坐标等于-一t。但是，对于那些比指数 函数增加得更快的函数，不可能找到合适的收敛横坐标值。因此，像e和t这类函数，不能 进行拉普拉斯变换。 读者应当注意，虽然e(当0≤1≤∞时)不能进行拉普拉斯变换，但是对于具有下列定义 的时间函数： f(t)=e", 0stT<∞ 三0， <0,T<t 因为f()=仅仅定义在有限的时间间隔0≤t≤T内，而不是定义在0≤≤o内，所以它是 可以进行拉普拉斯变换的。这种信号在物理上可以实现。应当指出，在物理上可以实现的信 号，总是具有相应的拉普拉斯变换。 如果函数f(t)具有拉普拉斯变换，则当A为常数时，Af(t)的拉普拉斯变换为： [Af(t)]=A[f(t)] 这个结论可以从拉普拉斯变换的定义直接得到。因为拉普拉斯变换是线性运箅，所以如 果函数f1(t)和f(t)分别具有拉普拉斯变换F1(s)和F2(s),则函数af1(t)+Bf2(t)的拉普拉 斯变换为： sLafi(t)+Bf2(t)]=aF,(s)]+BF2(s) 下面，我们推导几个经常用到的函数的拉普拉斯变换。 2.3.2指数函数 考虑下列指数函数： f(t)=0, L<0 =Aem,t≥0 式中，A和a为常数。这个指数函数的拉普拉斯变换可以求得如下： [c门-e=A=A 十a 可以看出，指数函数在复平面内产生了一个极点。 在推导f(t)=Ae~的拉普拉斯变换时，我们要求s的实部大于一a(收敛横坐标)。这会 立刻产生一个问题，即在s平面内σ<一α的范围中，上面求得的拉普拉斯变换是否有效。为 ·12·
了回答这个问题，我们必须借助于复变量理论。在复变苴理论中，有-一个所谓的解析抄展定 理，该定理表明：如果两个解析函数在其都是解析的范围内，在沿着任意弧的有限长度上是相 等的，则这两个函数在：该域内处处相等。这个使两个函数相等的弧，通常是实轴或实轴的一部 分。利用该定理，由积分（积分中的s允许具有比收敛横坐标大的任意正实数）确定的(s)的 形式，对于F(s)解析的任何发变量s伯均保持成立。因此，尽管我们要求，的实部应大于收敛 横坐标，以保证积分心了)。山绝对收敛，但是-旦求出拉普拉斯变换F(),就可以认为除 了在F(x)的极点上之外，在整个s平面内F(s)都是成立的。 2.3.3阶跃函数 考虑下列阶跃函数： | f(t)=0, t<0 =A, t>0 式中，A为常数。应当指出，这个函数是指数函数A“在a=0时的特殊情祝。当1=0时，阶 跃函数是不定的。阶跃函数的拉普拉斯变换为： [a1-d=4 在进行上述积分时，我们假设s的实部大于零（收敛横坐标），因此lime为零。如前所 述，这样求得的拉普拉斯变换，除了在极点s=0之外，在整个s平面上都是正确的。 高度为1的阶跃函数称为单位阶跃函数。发生在t=。的单位阶跃函数通常写成 1(t-t)。高度为A的阶跃函数，当其发生在t=0时，可以写成f(t)=A1(t)。由下式 1(t)=0, <O =1, t>0 定义的单位阶跃函数，其拉普拉斯变换为1/，即 w]=是 实际上，发生于t=0时的阶跃函数，相当于在时间t等于零时，把一个定常信号突然加到系统 上。 2.3.4斜坡函数 考虑下列斜坡函数： f(t)=0, t<0 =At, t≥0 式中，A为常数。这个斜坡函数的拉普拉斯变换可以求得如下： []=e业=-e业 -Afe'd- ·13