§7.2简谐振动动力学 谐振子 1.受力特点: 000000M2 线性恢复力F=-k 2.动力学方程 d 2 F=-kx= ma= m= d-x k +-x=0 k>0 0 0+m2x=0 x(t)=Acos(ot+o) 其中为固有(圆)频率0=/h 动力学方程 由振动系统决定,与初条件无关固有频率,固有周期
End 一. 谐振子 1. 受力特点: 线性恢复力 F = −kx 2. 动力学方程 0 d d 2 2 2 + x = t x x(t) = Acos(ωt + ) 其中 为 固有(圆)频率 动力学方程 m k ω = §7.2 简谐振动动力学 2 2 dt d x F = −k x = ma = m 0 2 2 + x = m k dt d x k 0 m 0 0 m k 由振动系统决定，与初条件无关.固有频率，固有周期
例:竖直悬挂的弹簧振子(k4m静止形变δ3,讨论小球的运动 解:kS=mg 重力mg,向下 弹力F=-k(n+x) F mg-k(8 +x)=ma=m k 0 与水平摆放时相同 思考题:仅用一把直尺如何测量弹簧振子的固有频率?
End 0 例：竖直悬挂的弹簧振子 ( , , ) k l m F k( x) = − st + 2 2 ( ) dt d x mg − k st + x = ma = m 0 2 2 + x = m k dt d x m k = st g m k = st g = 重力mg ，向下 弹力 与水平摆放时相同 ， 0 l st F mgx O st k st = mg 静止形变 ，讨论小球的运动 解： 思考题：仅用一把直尺如何测量弹簧振子的固有频率？
单摆(l,m) 重力mg,张力T,取逆时针为正 mg sing=ma,=mlB=md d0.8 sin=0 通解:b= e cos(ot+) 0较小时,sn0≈ 角速度:s de dt o0m sin( at +) d 8 g a2+6=0 注意 初角位移与振动初位相的区别 T 2兀二2兀 角位移6与振动位相Φ的区别 振动角速度与振动圆频率的区别
End 2 2 sin 0 d g dt l + = sin 2 2 0 d g dt l + = l g = g l T 2 2 = = 较小时， 二、单摆 ( , ) l m 重力 mg ，张力 T ，取逆时针为正 2 2 sin t d mg ma ml ml dt − = = = = cos(t +) m sin( ) = = − t + dt d m 通解： 角速度: 振动角速度与振动圆频率 的区别 初角位移 0 与振动初位相 的区别 注意： 角位移 与振动位相 的区别
例物理摆 如图所示,设刚体对轴的转动惯量为J. 设t=0时摆角向右最大为6 求振动周期和振动方程 解M=- mohsin=JB 0+ mgh sin 0=0 m 0<5时,sin≈O 6⊥mgB=0口O T=2丌 单 振动方程0=O. coso t T=2 口摆
End 例 物理摆 如图所示, 设刚体对轴的转动惯量为J. 设 t = 0 时摆角向右最大为0. 求 振动周期和振动方程. 解 M = −mghsin = J sin 0 g + = J m h 5 时,sin 0 g + = J m h J mgh = m h J T g = 2 单 摆 g 2 l 振动方程 T = cosωt = 0
六.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例) 1.动能 E kA2 max E2=-m kA sin(ot+o) k min 0 t+T E e, dt=kA 2.势能 kx=kA cos(ot+o) 3.机械能 E=E+En=kA2(简谐振动系统机械能守恒)
End 六.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例) 1. 动能 2 2 1 Ek = mv sin ( ) 2 1 2 2 = kA t + 2 max 2 1 Ek = kA 2 4 1 d 1 E t kA T E t T t k = k = + 2. 势能 2 2 1 E kx p = cos ( ) 2 1 2 2 = kA t + 3. 机械能 2 2 1 E = Ek + Ep = kA （简谐振动系统机械能守恒） Ek min = 0