第十四章稳恒电流的磁场 P117 14.1通有电流/的导线形状如图所示,图中ACDO是边长 为b的正方形.求圆心O处的磁感应强度B=? [解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的根 据毕萨定律 圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直,在O点产生的磁感应强度 大小为 图141 1B=地 4π 由于 d/=ado 积分得 dB 0q3 O4和OD方向的直线在O点产生的磁感应强度为零.在AC段, 电流元在O点产生的磁感应强度为 Ho ld/sin 0 dB2=4汇 由于 /=bcot(I-a=-bcotB, 所以 d/= basin 8. 又由于 bsin(π-O=bsin, 可得 dB=Ho /sin 0de 积分得 3a/4 2 46J sindo=Ho/ =dB=“m COs 同理可得CD段在O点产生的磁感应强度B=B2.O点总磁感应强度为 B=B+B+B=3Ho/ v2uo/ [讨论](1)假设圆弧张角为g,电流在半径为a的圆心处产生的磁感应强度为 B
1 第十四章 稳恒电流的磁场 P117． 14．1 通有电流 I 的导线形状如图所示，图中 ACDO 是边长 为 b 的正方形．求圆心 O 处的磁感应强度 B = ？ [解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根 据毕-萨定律： ， 0 0 2 d d 4π I r µ × = l r B 圆弧上的电流元与到 O 点的矢径垂直，在 O 点产生的磁感应强度 大小为 1 0 2 ， d d 4π I l B a µ = 由于 dl = adφ， 积分得 1 1 d ． L B B = ∫ 3π / 2 0 0 d 4π I a µ ϕ = ∫ 0 3 8 I a µ = OA 和 OD 方向的直线在 O 点产生的磁感应强度为零．在 AC 段， 电流元在 O 点产生的磁感应强度为 2 0 2 ， d sin d 4π I l B r µ θ = 由于 l = bcot(π - θ) = -bcotθ， 所以 dl = bdθ/sin2θ； 又由于 r = b/sin(π - θ) = b/sinθ， 可得 2 0 ， sin d d 4π I B b µ θ θ = 积分得 3π/ 4 0 2 π/ 2 d sin d 4π L I B B b µ = = θ θ ∫ ∫ 3π/ 4 0 0 π/ 2 2 ( cos ) 4π 8π I I b b µ µ = − = θ 同理可得 CD 段在 O 点产生的磁感应强度 B3 = B2．O 点总磁感应强度为 1 2 3 0 0 ． 3 2 8 4π I I B B B B a b µ µ = + + = + [讨论]（1）假设圆弧张角为φ，电流在半径为 a 的圆心处产生的磁感应强度为 0 ， 4π I B a µ = ϕ I C O b a D A 图 14.1 l r θ Idl Idl C O b a D A
当q=:×2π时,可得 B (2)有限长直导线产生的磁感应大小为 B=r(cose-cos8) 对于我C段,B=π/2、B2=3m14;对于CD段,B1=m/4、B=2,都可得 B2=B3 8πb 如果不用毕-萨定律,可直接引用由毕-萨定律所得出的结果 14.2如图所示的载流导线,图中半圆的的半径为R,直线部分伸向无限远处.求圆 心O处的磁感应强度B=? [解答]在直线电流的磁感应强度公式中 B 4兀R 令=0、=m2,或者因=m、因=,就得半无限长导线∠7 在端点半径为R的圆心上产生的磁感应强度 图142 两无限长半直线在O点产生的磁场方向都向着-z方向,大小为B2=Am2R 半圆在O处产生的磁场方向沿着-方向,大小为 Br=0/4 O点的磁感应强度为 B=-BBk=-0/r-0 4R 场强大小为 +E=4 4πR 与轴的夹角为 arctan 14.3如图所示的正方形线圈ABCD,每边长为a,通有电流 1.求正方形中心O处的磁感应强度B=? 解答]正方形每一边到O点的距离都是a2,在O点产生的磁场大 小相等、方向相同.以AD边为例,利用直线电流的磁感应强度公式 4πR (cose, -cos0,) 图143 令B=丌4、B=3m14、R=m2,AD在O产生的场强为
2 当 时，可得 3 2π 4 ϕ = × 1 0 ． 3 8 I B a µ = （2）有限长直导线产生的磁感应大小为 0 (cos cos ) 1 2 ． 4π I B b µ = − θ θ 对于 AC 段，θ1 = π/2、θ2 = 3π/4；对于 CD 段，θ1 = π/4、θ2 = π/2，都可得 2 3 0 ． 2 8π I B B b µ = = 如果不用毕-萨定律，可直接引用由毕-萨定律所得出的结果． 14．2 如图所示的载流导线，图中半圆的的半径为 R，直线部分伸向无限远处．求圆 心 O 处的磁感应强度 B = ？ [解答]在直线电流的磁感应强度公式中： 0 (cos cos ) 1 2 ， 4π I B R µ = − θ θ 令θ1 = 0、θ2 = π/2，或者θ1 = π/2、θ2 = π，就得半无限长导线 在端点半径为 R 的圆心上产生的磁感应强度 0 ． 4 π I B R µ = 两无限长半直线在 O 点产生的磁场方向都向着-Z 方向，大小为 Bz = μ0I/2πR． 半圆在 O 处产生的磁场方向沿着-X 方向，大小为 Bx = μ0I/4R． O 点的磁感应强度为 0 0 ． 4 2π x z I I B B R R µ µ B i k i k B i k i k B i k i k B i k i k = − − = − − 场强大小为 2 2 2 0 4 π ， 4π x z I B B B R µ = + = + 与 X 轴的夹角为 ．2 arctan arctan π z x B B θ = = 14．3 如图所示的正方形线圈 ABCD，每边长为 a，通有电流 I．求正方形中心 O 处的磁感应强度 B = ？ [解答]正方形每一边到 O 点的距离都是 a/2，在 O 点产生的磁场大 小相等、方向相同．以 AD 边为例，利用直线电流的磁感应强度公式： 0 (cos cos ) 1 2 ， 4π I B R µ = − θ θ 令θ1 = π/4、θ2 = 3π/4、R = a/2，AD 在 O 产生的场强为 B I θ1 b θ2 X Y R I Z O 图 14.2 I O D B C A 图 14.3
O点的磁感应强度为 2√2un 4BAD=-πa 方向垂直纸面向里 14.7两个共轴圆线圈,每个线圈中的电流强度都是/,半径为R,两个圆心间距离 OO2=R,试证:O1、O中点O处附近为均匀磁场 [证明]方法一:用二阶导数.一个半径为R的环电流在离圆心 为x的轴线上产生的磁感应强度大小为 2(F2+x)2 设两线圈相距为2a,以O点为原点建立坐标,两线圈在x点产 图14.7 生的场强分别为 B1 2[R2+(a+x)2 B 3个和 方向相同,总场强为B=B1+B2 个线圈产生的磁感应强度的曲线是凸状,两边各有一个2a=2B 拐点.两个线圈的磁场叠加之后,如果它们相距太近,其曲线 就是更高的凸状:如果它们相距太远,其曲线的中间部分就会 下凹,与两边的峰之间各有一个拐点.当它们由远而近到最适 当的位置时,两个拐点就会在中间重合,这时的磁场最均匀, 而拐点处的二阶导数为零 a=R/2 设k=AR/2,则 [F2+(a+x)2]2[R+(a-x)]2 B对x求一阶导数得 dB 3 [R2+(a+x)]2[R2+(a-x)2]f 求二阶导数得 d=-3R2-4(a+x) d B R2-4(a-x) R2+(a+x)y(R+(a-x)2 在x=0处dBdx2=0,得R=4a2,所以 2a=R x=0处的场强为
3 0 ， 2 2π AD I B a µ = O 点的磁感应强度为 0 ， 2 2 4 π AD I B B a µ = = 方向垂直纸面向里． 14．7 两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是 I，半径为 R，两个圆心间距离 O1O2 = R，试证：O1、O2中点 O 处附近为均匀磁场． [证明]方法一：用二阶导数．一个半径为 R 的环电流在离圆心 为 x 的轴线上产生的磁感应强度大小为： ． 2 0 2 2 3/2 2( ) IR B R x µ = + 设两线圈相距为 2a，以 O 点为原点建立坐标，两线圈在x 点产 生的场强分别为 ， 2 0 1 2 2 3 / 2 2[ ( ) ] IR B R a x µ = + + ． 2 0 2 2 2 3/ 2 2[ ( ) ] IR B R a x µ = + − 方向相同，总场强为 B = B1 + B2． 一个线圈产生的磁感应强度的曲线是凸状，两边各有一个 拐点．两个线圈的磁场叠加之后，如果它们相距太近，其曲线 就是更高的凸状；如果它们相距太远，其曲线的中间部分就会 下凹，与两边的峰之间各有一个拐点．当它们由远而近到最适 当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀， 而拐点处的二阶导数为零． 设 k = μ0IR2 /2，则 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 1 1 { } [ ( ) ] [ ( ) ] B k R a x R a x = + + + + − B 对 x 求一阶导数得 2 2 5 / 2 ， d 3 { d [ ( ) ] B a x k x R a x + = − + + 2 2 5 / 2 } [ ( ) ] a x R a x − − + − 求二阶导数得 ， 2 2 2 2 2 2 7 / 2 d 4( ) 3 { d [ ( ) ] B R a x k x R a x − + = − + + 2 2 2 2 7 / 2 4( ) } [ ( ) ] R a x R a x − − + + − 在 x = 0 处 d2B/dx2 = 0，得 R2 = 4a2，所以 2a = R． x = 0 处的场强为 x O2 C I O x R B O1 C 2a I R 图14.7 B
B=k [R2+(R/2)2 9V5R' 方法二:用二项式展开.将B展开得 B1 2[R2 2(R+a)[1+(2ax+x)/(R+a)] k B,=k(1+ 当x很小时,二项式展开公式为 (n-1) (1+x)=1+mr 将B和B按二项式展开,保留二次项,总场强为 B+B,=h 3.=5(-2ar 354a2x2 2A1 2H1 2(R2+a2) 令F 得 o √5山 25R 可知:O点附近为均强磁场 14.5将半径为R的无限长导体圆柱面,沿轴向割去一宽为从k<R 的无限长缝后,沿轴向均匀地通有电流,面密度为,求轴线上的磁感应 强度B=? 解答]方法一:补缺法.导体圆柱面可看作由很多无限长直导线组 成,如果补上长缝,由于对称的缘故,电流在轴线上产生的磁感应强度 为零.割去长缝,等效于同时加上两个大小相等,方向相反的电流,其 中,与相同的电流补上了长缝,与相反的电流大小为/= 在轴线上产生的磁感应强度为 图145
4 2 2 3/ 2 ． 2 [ ( / 2) ] B k R R = + 0 3 16 8 5 5 5 5 I k R R µ = = 方法二：用二项式展开．将 B1展开得 ． 2 0 1 2 2 2 3/ 2 2[ 2 ] IR B R a ax x µ = + + + 2 0 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2( ) [1 (2 ) /( )] IR R a ax x R a µ = + + + + 设 ，则 2 0 2 2 3/ 2 2( ) IR k R a µ = + ． 2 3 / 2 1 2 2 2 (1 ) ax x B k R a + − = + + 同理可得 ． 2 3 / 2 2 2 2 2 (1 ) ax x B k R a − + − = + + 当 x 很小时，二项式展开公式为 ． 2 ( 1) (1 ) 1 ... 1 2 n n n x nx x − + = + + + ⋅ 将 B1和 B2按二项式展开，保留二次项，总场强为 2 1 2 2 2 3 2 [1 2 ax x B B B k R a − + = + = + ⋅ + + 2 2 2 2 1 3 5 2 ( ) ...] 1 2 2 2 ax x R a − − + ⋅ ⋅ + ⋅ + 2 2 2 3 2 [1 2 ax x k R a − − + + + ⋅ + + 2 2 2 2 1 3 5 2 ( ) ...] 1 2 2 2 ax x R a − − − + ⋅ ⋅ + ⋅ + 2 2 2 3 2 [1 2 x k R a − = + ⋅ + + 2 2 2 2 2 3 5 4 ...] 2 4 ( ) a x R a − − ⋅ ⋅ + + 2 2 2 2 2 2 3 4 2 [1 ...] 2 ( ) R a k x R a − − = + ⋅ + + 令 R2 - 4a2 = 0，即 a = R/2，得 ， 2 0 0 2 2 3/ 2 8 5 2 ( ) 25 IR I B k R a R µ µ = = = + 可知：O 点附近为均强磁场． 14．5 将半径为 R 的无限长导体圆柱面，沿轴向割去一宽为 h(h<<R) 的无限长缝后，沿轴向均匀地通有电流，面密度为 i，求轴线上的磁感应 强度 B = ？ [解答]方法一：补缺法．导体圆柱面可看作由很多无限长直导线组 成，如果补上长缝，由于对称的缘故，电流在轴线上产生的磁感应强度 为零．割去长缝，等效于同时加上两个大小相等，方向相反的电流，其 中，与 i 相同的电流补上了长缝，与 i 相反的电流大小为 I = ih． 在轴线上产生的磁感应强度为 O' O R i h 图 14.5
B=1= 2ITR 2IR 方法二:积分法.在导体的截面上建立坐标,x坐标轴平分角a,a=hR. 电流垂直纸面向外,在圆弧上取一线元 ds rde, 无限长直线电流为 d/= dds= iRda 在轴线产生的磁感应强度大小为 dB μod/μ 2R2 两个分量分别为 db=dEsing=Lo'sinede db=-dBcos0=-Aolcosed0 积分得 2r-a/2 B sin ede cose Icos(2Ia/2)-cos(a/2)=0 B ° cased0=-ino|2xa12in(2π-a12)-sin(a/2) 2sina≈地a=H 22π B的方向沿着y方向.B,的大小和方向正是无限长直线电流历产生的磁感应强度 14.6在半径为R=10cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通 有电流上50A,如图所示,求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B= [解答]取导体面的横截面,电流方向垂直纸面向外 半圆的周长为 面电流线密度为 i=l/C=hR 在半圆上取一线元d/=a代表无限长直导线的截面,电流元为 图146 在轴线上产生的磁感应强度为 od/μ0ld 2R2兀2 方向与径向垂直.dB的两个分量为 dB 积分得
5 0 0 ． 2π 2π I ih B R R µ µ = = 方法二：积分法．在导体的截面上建立坐标，x 坐标轴平分角α，α = h/R． 电流垂直纸面向外，在圆弧上取一线元 ds = Rdθ， 无限长直线电流为 dI = ids = iRdθ， 在轴线产生的磁感应强度大小为 0 0 ， d d d 2π 2π I i B R µ µ = = θ 两个分量分别为 d d sin sin d 0 ， 2π x i B B µ = = θ θ θ d d cos cos d 0 ． 2π y i B B µ = − = − θ θ θ 积分得 ； 2π / 2 2π / 2 0 0 / 2 / 2 sin d cos 2π 2π x i i B α α α α µ µ θ θ θ − − = = − ∫ 0 [cos(2π / 2) cos( / 2)] 0 2π µ i = − − − = α α 2π /2 2π /2 0 0 /2 /2 cos d sin 2π 2π y i i B α α α α µ µ θ θ θ − − = − = − ∫ 0 [sin(2π / 2) sin( / 2)] 2π µ i = − − − α α 0 0 0 2 sin ． 2π 2 2π 2π i i ih R µ µ µ α = ≈ = α By的方向沿着 y 方向．By的大小和方向正是无限长直线电流 ih 产生的磁感应强度． 14．6 在半径为 R = 1.0cm 的无限长半圆柱形导体面中均匀地通 有电流 I=5.0A，如图所示．求圆柱轴线上任一点的磁感应强度 B = ？ [解答]取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外． 半圆的周长为 C = πR， 面电流线密度为 i = I/C = IπR． 在半圆上取一线元 dl = Rdφ代表无限长直导线的截面，电流元为 dI = idl = Idφ/π， 在轴线上产生的磁感应强度为 d 0 0 d d 2 ， 2π 2π I I B R R µ µ ϕ = = 方向与径向垂直．dB 的两个分量为 dBx = dBcosφ，dBy = dBsinφ． 积分得 x dBy dBx dB y R O 1 φ x y O R θ ds α dB dBy dBx I R 图 14.6