§7.3阻尼振动和受迫振动 阻尼振动 1.阻尼力f=-x 2.振动的微分方程(以弹簧振子为例) 阻尼系数:2n=m m元=-kx-x x+2mx+6x=0 3.阻尼振动的振动方程、表达式和振动曲线 (1)小阻尼(n2<002) x= Ae n cos(a2-n2t+o 过阻尼 (2)过阻尼和临界阻尼 旋界院恳 临界阻尼:n2=2 过阻尼:n>00 在过阻尼和临界阻尼时,无振动
§7.3 阻尼振动和受迫振动 一. 阻尼振动 1. 阻尼力 f = −μ x 2. 振动的微分方程(以弹簧振子为例) m x = −kx −μ x 2 0 2 x + nx +ω0 x = 阻尼系数: 2 n = / m 3. 阻尼振动的振动方程、表达式和振动曲线 （2）过阻尼和临界阻尼 （1）小阻尼( n 2 < 0 2 ) cos( ) 2 2 = 0 − + − x Ae ω n t nt 2 0 2 n = 2 0 2 n 临界阻尼: 过 阻 尼: 在过阻尼和临界阻尼时,无振动
受迫振动(在外来策动力作用下的振动) 1.系统受力 00 弹性力 77 阻尼力 D 周期性策动力 F=-kx F= Fcos ot F2=-x 2.受迫振动的微分方程 -u x+ Fo coso t i+2nx+afx=f cos otl 其中o= 2m
二. 受迫振动（在外来策动力作用下的振动） 1. 系统受力 弹性力 阻尼力 − x 周期性策动力 mx kx μ x F cos t = − − + 0 − kx 2. 受迫振动的微分方程 x 2nx x f cost 2 0 + + = F F cost = 0 其中 m F f m n m k 0 0 2 = = = F F kx 1 = − F μ x 2 = −
3.受迫振动微分方程的稳态解为: x= Acos(at-) 下面用旋转矢量叠加的方法求稳态的解振幅和初相 将稳态解代入到振动微分方程中有): Q AcoS(Ot-)-20 Asin(at-) +02 Acos(ot-0)=coso t 令(同时画出t时刻对应的矢量图) y(t)=coso t ly(t) y(1)=02Acos(t-q+兀) 2(t 12()=2mcos(Ot-0+/2)2na4 U3(t) VI(t) V3(t)=0 Acos(ot-) 因而:y(1)=y1(1)+y2(1)+y()
3.受迫振动微分方程的稳态解为: x = Acos(ωt −) 下面用旋转矢量叠加的方法求稳态的解振幅和初相 (将稳态解代入到振动微分方程中有) : ω A ωt f ωt ω A ωt ω A ωt cos( ) cos cos( ) 2 sin( ) 2 0 2 + − = − − − − 令( 同时画出 t 时刻对应的矢量图)： y(t) = f cosωt [y ( t )] ( ) cos( π ) f 2 y1 t =ω A ωt − + [y1 ( t )] 2 Aω ( ) 2 cos( π / 2) y2 t = ω nA ωt − + [y2 ( t )] 2nA ( ) cos( ) 2 y3 t =ω0 A ωt − [y3 ( t )] 2 Aω 因而： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 y t = y t + y t + y t
根据t时刻的旋转矢量图,可得稳态时的振幅和初相: one cro y+4no v2 tang s [(o + 结论受迫振动的振幅A及受迫振动与驱动力的相位差c都 与起始条件无关。 + 讨论 A n=0 a (1)位移共振振幅取极值) =0.02 共振频率:O=02-2n =0.05 n =0.25 oo 共振振幅:A= 2n/ 00 (振幅共振曲线)
根据 t 时刻的旋转矢量图，可得稳态时的振幅和初相： 2 2 2 2 1/ 2 0 2 [(ω ω ) 4n ω ] f A − + = 2 2 0 2 tan ω ω nω − = （1）位移共振(振幅取极值) 讨论 （振幅共振曲线） 共振频率 : 2 2 0 2n r = − 共振振幅 : 2 2 2n 0 n f Ar − = 结论:受迫振动的振幅 A 及受迫振动与驱动力的相位差都 与起始条件无关
(2)速度共振 Vm 几=0 (速度振幅oA取极值) =0.02 (a2-o3)2+4n2o2 0.05 0.25 共振频率:O=00 0 共振速度振幅 f 2n (速度共振曲线) 速度共振时,速度与策动力同相,一周 T 期内策动力总作正功,此时向系统输入tang 的能量最大
（2）速度共振 (速度振幅A取极值) 速度共振时，速度与策动力同相，一周 期内策动力总作正功，此时向系统输入 的能量最大。 共振频率 : =0 共振速度振幅 : n f m 2 v = （速度共振曲线） 2 2 2 2 0 2 ( ) 4 n f m − + v = 2 π tan =