第十章球函数(5+1) 基本要求: 1.掌握勒让得多项式概念,勒让得多项式的微分形式,正交关系,模 的计算,及其广义傅立叶展开理论及方法; 2.了解一般球函数和连带勒让得函数的概念。 教学内容: §10.1.轴对称球函数。勒让得多项式,洛德利格斯公式(施列夫利积 分),勒让得多项式的正交关系,勒让德多项式的模,广义傅立叶 级数,母函数与递推公式。 §10.2.连带勒让得函数。连带勒让得函数,本征值问题,洛德利格斯 公式,正交性,模,广义傅里叶级数(施列夫利积分,拉普拉斯 积分不作要求)。 §10.3.一般的球函数*。球函数,球函数的正交性,球函数的模,球 面上的函数的,拉普拉斯方程的非轴对称解。 本章重点: 勒让德多项式及其微分形式,勒让德多项式函数族的正交性、模和展 开理论。 习题: §10.1.(第296297页):1,2,4,6,11 §10.3.(第324页):1,2,3。 83
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轴对称问题和勒让德多项式 1、轴对称拉普拉斯方程的求解 l=n=f(0) △u=0 (Sin ee)+/(7+Isin 69=0 (rR)-(+1R=0 6(0),O(x)有界 r2R"+2rR-1( R=0101-x+(+)=0 O(±1)有界 +B O=P(x) ∑R()(s)u=∑8)(s 2、勒让德多项式 2.1定义 斯一刘间题-xT(+1)=0的本征函数 6(±1)有界 22一般表示 级数表示P()=22(-6)(=26x 微分表示P(x) 积分表示P(x)=11-止 23具体形式 A、代数表达式
P(x)=∑ (-1) 2k!(-k)!(-2k)! f(x)=1 P(x) P(x)=(3x2-1)=(3 P(x)=(5x2-3x)=3(5c0s30+3cos0 P(x)=k(35x-30x2+3)=在(3 B、图像 1-0.5 0.5 0.8 0.2 3、勒让德多项式的母函数和递推公式 3.1母函数 A、定义:ux,r=∑Pl B、形式:u(x,r)=(1-2rx+r2)-l/2 推导
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P(x)r u(x, r) D)r (1√1-2x+r2) d D、应用 n(x,r)=∑。P(x)y2= 1-2x+r2 n(L,)=∑P(1)r2=,=∑→P(1) n(-1)=∑P =∑(-r→P(-1=(-1) +r2 2k-1)135…(2k 3.2递推公式 形式 (k+1)P+(x)=(2k+1)xP(x)-kP-1(x) R4'(x)=(k+1)P(x)+xPk(x) kP(x)=xP(x)-P_'(x) (x2-1)P'(x)=kP2(x)-B-1(x) Pa0(x)=0 B、证明 n(x,r)=∑P(x)r 2rx+ u,(x,r)=∑P(x) (1-2rx+r2)2 (x-1)∑。(x、( x-r)(-2rx+r (1-2rx+r2)y +=(1-2x+)∑P ∑pr-Pr]=∑Pr2-2Pr+1r xB4-B-1=(k+1)B+1-2kR+(k-1)B=1
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xP-P-1=(k+1)Pk+1-2kxP+(k-1)B=1 (k+1)Pk+1-(2k+1)xB+kB=1=0 C、应用 (x)=xP0(x)-0 k=0→(x)=x0(x)-0=x k=1→2P(x)=3xP(x)-P(x)=3x2-1 k=2→3P(x)=5x2(x)-2P(x)=号x2-2x 4、勒让德多项式的性质 41奇偶性P(-x)=(-1)P(x) 4,2零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式,有L个零点 43正交性 正交性公式 P(x)P(x)dx=0, P(cosO)P(cos O)sin @d8=0,(k*D) 模 "P(P(==x2 模的计算 (x,r)=∑P(x)= √1-2mx+r ∫∑"P(x)∑(xydk= ∑“P(x(xk=-m(-2x+) ∑。∑r“6kN2=--[m(-)-m(+) (-1) n+1 n+1 2k+1 2k+1 正交性应用例题 P(x)dx= Po(x)P(x)dx=Si N3=2 (k=(P(=6N= ∫xP(=(+)P=2N+4N
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