混合型应力强度因子的光弹性多参数测定

工程科学学报，第39卷.第8期：1288-1294,2017年8月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.8:1288-1294,August 2017 D0L:10.13374/j.issn2095-9389.2017.08.020;htp:/journals..usth.edu.cn 混合型应力强度因子的光弹性多参数测定 赵 熙12)，鞠杨34)四，郑泽民) 1)中国矿业大学（北京）力学与建筑工程学院，北京1000832)苏州电器科学研究院股份有限公司，苏州215104 3)中国矿业大学（北京）煤炭资源与安全开采国家重点实验室，北京100083 4)中国矿业大学深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，徐州221116 ☒通信作者，E-mail:juy@cumtb.eu.cn 摘要提高裂纹尖端应力强度因子值的计算精度，对于准确分析受力结构的起裂条件和破坏模式具有重要意义.本文采 用3D打印技术获得了不含残余应力的平板模型，高精度打印预置裂纹避免了传统加工过程产生残余应力的缺点：综合考虑 奇异场和非奇异场对裂纹尖端区域应力场的影响，引人远场边界控制的三个常数项应力，提出了光弹性多参数法：采用三点 弯曲试验，运用最小二乘法计算了不同载荷下纯I型和-Ⅱ混合型应力强度因子值，并与理论解对比分析.结果表明：对于纯 I型应力强度因子，计算结果的平均误差为6.1%，对于I-Ⅱ混合型应力强度因子，计算结果的平均误差分别为6.4%和 5.5%,多参数法与理论解相比较小的计算误差验证了该方法的可靠性和准确性，可为精确计算应力强度因子的光弹性实验 研究提供借鉴 关键词光弹性法；3D打印：混合型应力强度因子；非奇异应力；最小二乘法 分类号0348.1 Multiple parameter measurement of mixed-mode stress intensity factors using the photoelastic method ZHAO Xi2),JU Yang ZHENG Ze-min) 1)School of Mechanics&Civil Engineering.China University of Mining Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Suzhou Electrical Apparatus Science Research Institute Co.Ltd.,Suzhou 215104,China 3)State Key Laboratory of Coal Resources and Safe Mining,China University of Mining Technology Beijing,Beijing 100083,China 4)State Key Laboratory for Geomechanics Deep Underground Engineering,China University of Mining Technology,Xuzhou 221116,China Corresponding author,E-mail:juy@cumtb.edu.cn ABSTRACT Precise calculation of the stress intensity factors at crack tips is of great significance in accurate analysis of a structure' s crack initiation and fracture mode.In this research,a three-dimensional printing technique was adopted to manufacture a non-residu- al stress plate model,where high-precision printed pre-cracks avoid the occurrence of residual stress compared to traditional manufac- turing processes.By comprehensively considering the singular and non-singular stresses at the near-crack-tip region,three constant stresses controlled by the far field were adopted.Multiple parameters of the photoelastic method combined with the least-squares meth- od were applied to analyze the stress intensity factors of mode I and mixed modes in three-point bending tests under different loads,and a theoretical solution comparison was conducted.Results show that compared with the theoretical solution,the average calculation error for the mode I stress intensity factor is 6.1%and those for I-II mixed modes are 6.4%and 5.5%,respectively.This slight calcu- lation error verifies the reliability and accuracy of the multiple-parameter method and provides a reference for further precise calcula- tions of the stress intensity factors using the photoelastic method. KEY WORDS photoelastic method;three-dimensional printing;mixed-mode stress intensity factor;non-singular stress;least- 收稿日期：2016-08-10 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51374213)：国家杰出青年科学基金资助项目(51125017)：江苏省创新团队资助项目(2014-27)

工程科学学报,第 39 卷,第 8 期:1288鄄鄄1294,2017 年 8 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 39, No. 8: 1288鄄鄄1294, August 2017 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2017. 08. 020; http: / / journals. ustb. edu. cn 混合型应力强度因子的光弹性多参数测定 赵 熙1,2) , 鞠 杨3,4) 苣 , 郑泽民1) 1) 中国矿业大学(北京)力学与建筑工程学院, 北京 100083 2) 苏州电器科学研究院股份有限公司, 苏州 215104 3) 中国矿业大学(北京)煤炭资源与安全开采国家重点实验室, 北京 100083 4) 中国矿业大学深部岩土力学与地下工程国家重点实验室, 徐州 221116 苣 通信作者, E鄄mail: juy@ cumtb. edu. cn 收稿日期: 2016鄄鄄08鄄鄄10 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(51374213);国家杰出青年科学基金资助项目(51125017);江苏省创新团队资助项目(2014鄄鄄27) 摘 要 提高裂纹尖端应力强度因子值的计算精度,对于准确分析受力结构的起裂条件和破坏模式具有重要意义. 本文采 用 3D 打印技术获得了不含残余应力的平板模型,高精度打印预置裂纹避免了传统加工过程产生残余应力的缺点;综合考虑 奇异场和非奇异场对裂纹尖端区域应力场的影响,引入远场边界控制的三个常数项应力,提出了光弹性多参数法;采用三点 弯曲试验,运用最小二乘法计算了不同载荷下纯 I 型和 I鄄鄄II 混合型应力强度因子值,并与理论解对比分析. 结果表明:对于纯 I 型应力强度因子,计算结果的平均误差为 6郾 1% ,对于 I鄄鄄 II 混合型应力强度因子,计算结果的平均误差分别为 6郾 4% 和 5郾 5% ,多参数法与理论解相比较小的计算误差验证了该方法的可靠性和准确性,可为精确计算应力强度因子的光弹性实验 研究提供借鉴. 关键词 光弹性法; 3D 打印; 混合型应力强度因子; 非奇异应力; 最小二乘法 分类号 O348郾 1 Multiple parameter measurement of mixed鄄mode stress intensity factors using the photoelastic method ZHAO Xi 1,2) , JU Yang 3,4) 苣 , ZHENG Ze鄄min 1) 1) School of Mechanics & Civil Engineering, China University of Mining & Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) Suzhou Electrical Apparatus Science Research Institute Co. Ltd. , Suzhou 215104, China 3) State Key Laboratory of Coal Resources and Safe Mining, China University of Mining & Technology Beijing, Beijing 100083, China 4) State Key Laboratory for Geomechanics & Deep Underground Engineering, China University of Mining & Technology, Xuzhou 221116, China 苣 Corresponding author, E鄄mail: juy@ cumtb. edu. cn ABSTRACT Precise calculation of the stress intensity factors at crack tips is of great significance in accurate analysis of a structure爷 s crack initiation and fracture mode. In this research, a three鄄dimensional printing technique was adopted to manufacture a non鄄residu鄄 al stress plate model, where high鄄precision printed pre鄄cracks avoid the occurrence of residual stress compared to traditional manufac鄄 turing processes. By comprehensively considering the singular and non鄄singular stresses at the near鄄crack鄄tip region, three constant stresses controlled by the far field were adopted. Multiple parameters of the photoelastic method combined with the least鄄squares meth鄄 od were applied to analyze the stress intensity factors of mode I and mixed modes in three鄄point bending tests under different loads, and a theoretical solution comparison was conducted. Results show that compared with the theoretical solution, the average calculation error for the mode I stress intensity factor is 6郾 1% and those for I – II mixed modes are 6郾 4% and 5郾 5% , respectively. This slight calcu鄄 lation error verifies the reliability and accuracy of the multiple鄄parameter method and provides a reference for further precise calcula鄄 tions of the stress intensity factors using the photoelastic method. KEY WORDS photoelastic method; three鄄dimensional printing; mixed鄄mode stress intensity factor; non鄄singular stress; least鄄

赵熙等：混合型应力强度因子的光弹性多参数测定 ·1289· squares method 材料的变形破坏和构件的失效断裂问题广泛存在 方向上的数据信息，从而简化了K的求解.1973年， 于航空航天、土木、地质、化工、机械、地下结构等工程 Schroedl等[]采用泰勒级数校正法计算应力强度因 领域[].例如，采矿工程中，通过合理的支护改善巷 子，并且运用到三维光弹性问题中.1975年，Theocaris 道围岩应力分布，提高巷道承载能力、抗变形能力和稳 和Gdoutos【]运用外推法得到了I-Ⅱ混合型问题裂 定性[)：机械工业中，航空发动机叶片疲劳断裂过程取 尖的应力强度因子.随后的1979年，Sanford和Dal- 决于传动装置在冲击载荷作用下其内部动态应力分布 y提出在光弹性条纹图上取多点信息，通过最小二 情况[).相关结构或构件的强度、刚度和稳定性的分 乘法求解混合型应力强度因子及远场应力.1999年， 析为设计和评价这些工程问题提供了依据.但是，固 Okada等[]给出了混合型裂纹尖端附近应力场的一般 体裂纹扩展行为受裂纹尖端附近区域应力场的影响和 方程式，采用四个参数为未知量，利用最小二乘法计算 控制]，带有初始裂纹的结构，不能再使用这些破坏准 了应力强度因子，与双参数法相比，该方法的优点是计 则，需要寻求新的断裂判据，即能反映裂纹尖端邻域内 算结果在裂纹尖端附近数据点和远场偏差不大.进入 应力场强度的参量一应力强度因子(stress intensity 21世纪，国内外学者不断提出新的光弹性法计算裂纹 factor,SF)作为含裂纹结构的断裂判据.确定含裂 尖端应力强度因子[6]，但是往往都缺少与理论解的对 纹结构的应力强度因子也成为了解决众多工程问题的 比证明，而且以往的研究中数据收集的区域往往限定 基础和关键所在. 在奇异区，或者只考虑了奇异场和一个沿裂纹方向的 理论分析方法求解应力强度因子对几何结构有特 远场应力，显然是不符合实际的，裂纹前缘区域的应力 定的要求，许多实际工程结构往往有着复杂的几何结 场是由奇异区和非奇异区共同控制的，应力场的非奇 构和载荷条件，求解这些问题时会遇到很大困难.数 异部分也不止沿裂纹的一个方向.因此，要考虑非 奇异区对应力场的影响，就需要通过多参数方程，将数 值分析方法是一种广泛应用的求解方法，但其对几何 结构或边界条件的简化，使得计算结果的准确性还有 据收集区域扩展到由奇异应力和边界共同控制的非奇 待进一步的检验和验证].光弹性法求解裂纹尖端应 异区，考虑非奇异应力的影响，求出更精确的裂纹尖端 应力强度因子值 力强度因子不受工程构件复杂的几何结构和边界条件 本文主要针对传统材料含有残余应力影响的裂纹 的约束，是一种有效计算具有复杂几何结构裂纹尖端 尖端应力强度因子的计算精度问题，通过3D打印技 应力强度因子的实验方法，与应力冻结法相结合更可 术制备了含初始裂缝的平板模型，避免了传统制造和 以求解三维结构中的应力强度因子，其优越性和准确 加工过程中产生残余应力的缺点，打印材料与传统的 性是其他方法无法比拟的.通过与理论解进行对比， 光弹性材料相比有相似的成分构成和光弹性性质[] 完善光弹性法中的计算参数，进而得到更加准确的应 保证了利用该材料进行光弹性实验的可行性：综合考 力强度因子实验测试方法是科学研究者追求的目标. 虑尖端区域的奇异场问题，引入了远场边界控制的常 自从Smith等[s]首次运用光弹性法研究裂纹尖端 数项应力，提出了光弹性多参数法，裂纹尖端附近区域 区域的应力场分布以来，许多研究者做了大量相关工 应力场是由表征奇异性的应力强度因子(SF)和表征 作.裂纹尖端应力集中区域为条纹密集区，会出现“钝 非奇异性的三个远场应力常量0、0o,和T（0、C 化”效应，而密集区条纹无法定量得到，但是表征裂纹 为平面正应力，T,为平面剪应力)组成；采用三点弯试 尖端应力场强度大小的应力强度因子，不受尖端密集 验，对纯I型和I一Ⅱ混合型裂纹尖端附近区域的应 条纹影响，通过将观测区域扩展到非奇异区，可以通过 力场进行计算和分析，结合断裂力学中平面问题的应 光弹性图形，精确计算得到裂纹尖端的应力强度因子. 力场描述]和应力-光学定律[0]，运用多参数法和多 同时，Irwin提出了光弹性条纹数据的双参数法，通过 级条纹数据的最小二乘法[2)，最终得到了不同载荷下 测量某一级等差条纹图上的坐标，同时考虑远场应力 纯I型和I-Ⅱ混合型裂纹尖端应力强度因子值，并 的情况下，扩大了收集数据的区域，并对实验中条纹误 与理论解对比，相对于传统材料得到的计算结果精度 差进行了修正，计算了I型应力强度因子K值.但是， 更高，可为精确计算应力强度因子光弹性实验法的研 双参数法的不足是在裂纹尖端附近数据点计算结果较 究提供借鉴 好，而在远场时计算偏差较大.随后，1970年Bradley 和Kobayashito]对前述方法进行了完善和改进，通过两 1基本原理 级等差条纹信息并应用差分法得到了K,值.1972年， 1.1光弹性及断裂力学原理 Schroedl和Smih)又在这基础上分析了与裂纹垂直 断裂力学中将裂纹问题分为3种基本类型：即I

赵 熙等: 混合型应力强度因子的光弹性多参数测定 squares method 材料的变形破坏和构件的失效断裂问题广泛存在 于航空航天、土木、地质、化工、机械、地下结构等工程 领域[1鄄鄄2] . 例如,采矿工程中,通过合理的支护改善巷 道围岩应力分布,提高巷道承载能力、抗变形能力和稳 定性[3] ;机械工业中,航空发动机叶片疲劳断裂过程取 决于传动装置在冲击载荷作用下其内部动态应力分布 情况[4] . 相关结构或构件的强度、刚度和稳定性的分 析为设计和评价这些工程问题提供了依据. 但是,固 体裂纹扩展行为受裂纹尖端附近区域应力场的影响和 控制[5] ,带有初始裂纹的结构,不能再使用这些破坏准 则,需要寻求新的断裂判据,即能反映裂纹尖端邻域内 应力场强度的参量———应力强度因子( stress intensity factor,SIF)作为含裂纹结构的断裂判据[6] . 确定含裂 纹结构的应力强度因子也成为了解决众多工程问题的 基础和关键所在. 理论分析方法求解应力强度因子对几何结构有特 定的要求,许多实际工程结构往往有着复杂的几何结 构和载荷条件,求解这些问题时会遇到很大困难. 数 值分析方法是一种广泛应用的求解方法,但其对几何 结构或边界条件的简化,使得计算结果的准确性还有 待进一步的检验和验证[7] . 光弹性法求解裂纹尖端应 力强度因子不受工程构件复杂的几何结构和边界条件 的约束,是一种有效计算具有复杂几何结构裂纹尖端 应力强度因子的实验方法,与应力冻结法相结合更可 以求解三维结构中的应力强度因子,其优越性和准确 性是其他方法无法比拟的. 通过与理论解进行对比, 完善光弹性法中的计算参数,进而得到更加准确的应 力强度因子实验测试方法是科学研究者追求的目标. 自从 Smith 等[8]首次运用光弹性法研究裂纹尖端 区域的应力场分布以来,许多研究者做了大量相关工 作. 裂纹尖端应力集中区域为条纹密集区,会出现“钝 化冶效应,而密集区条纹无法定量得到,但是表征裂纹 尖端应力场强度大小的应力强度因子,不受尖端密集 条纹影响,通过将观测区域扩展到非奇异区,可以通过 光弹性图形,精确计算得到裂纹尖端的应力强度因子. 同时,Irwin [9]提出了光弹性条纹数据的双参数法,通过 测量某一级等差条纹图上的坐标,同时考虑远场应力 的情况下,扩大了收集数据的区域,并对实验中条纹误 差进行了修正,计算了 I 型应力强度因子 KI值. 但是, 双参数法的不足是在裂纹尖端附近数据点计算结果较 好,而在远场时计算偏差较大. 随后,1970 年 Bradley 和 Kobayashi [10]对前述方法进行了完善和改进,通过两 级等差条纹信息并应用差分法得到了 KI值. 1972 年, Schroedl 和 Smith [11]又在这基础上分析了与裂纹垂直 方向上的数据信息,从而简化了 KI 的求解. 1973 年, Schroedl 等[12]采用泰勒级数校正法计算应力强度因 子,并且运用到三维光弹性问题中. 1975 年,Theocaris 和 Gdoutos [13]运用外推法得到了玉鄄鄄 域混合型问题裂 尖的应力强度因子. 随后的 1979 年,Sanford 和 Dal鄄 ly [14]提出在光弹性条纹图上取多点信息,通过最小二 乘法求解混合型应力强度因子及远场应力. 1999 年, Okada 等[15]给出了混合型裂纹尖端附近应力场的一般 方程式,采用四个参数为未知量,利用最小二乘法计算 了应力强度因子,与双参数法相比,该方法的优点是计 算结果在裂纹尖端附近数据点和远场偏差不大. 进入 21 世纪,国内外学者不断提出新的光弹性法计算裂纹 尖端应力强度因子[16] ,但是往往都缺少与理论解的对 比证明,而且以往的研究中数据收集的区域往往限定 在奇异区,或者只考虑了奇异场和一个沿裂纹方向的 远场应力,显然是不符合实际的,裂纹前缘区域的应力 场是由奇异区和非奇异区共同控制的,应力场的非奇 异部分也不止沿裂纹的一个方向[17] . 因此,要考虑非 奇异区对应力场的影响,就需要通过多参数方程,将数 据收集区域扩展到由奇异应力和边界共同控制的非奇 异区,考虑非奇异应力的影响,求出更精确的裂纹尖端 应力强度因子值. 本文主要针对传统材料含有残余应力影响的裂纹 尖端应力强度因子的计算精度问题,通过 3D 打印技 术制备了含初始裂缝的平板模型,避免了传统制造和 加工过程中产生残余应力的缺点,打印材料与传统的 光弹性材料相比有相似的成分构成和光弹性性质[18] , 保证了利用该材料进行光弹性实验的可行性;综合考 虑尖端区域的奇异场问题,引入了远场边界控制的常 数项应力,提出了光弹性多参数法,裂纹尖端附近区域 应力场是由表征奇异性的应力强度因子( SIF)和表征 非奇异性的三个远场应力常量 滓0x、滓0y和 子0xy (滓0x、滓0y 为平面正应力,子0xy为平面剪应力)组成;采用三点弯试 验,对纯玉型和玉鄄鄄 域混合型裂纹尖端附近区域的应 力场进行计算和分析,结合断裂力学中平面问题的应 力场描述[19]和应力鄄鄄光学定律[20] ,运用多参数法和多 级条纹数据的最小二乘法[20] ,最终得到了不同载荷下 纯玉型和玉鄄鄄 域混合型裂纹尖端应力强度因子值,并 与理论解对比,相对于传统材料得到的计算结果精度 更高,可为精确计算应力强度因子光弹性实验法的研 究提供借鉴. 1 基本原理 1郾 1 光弹性及断裂力学原理 断裂力学中将裂纹问题分为 3 种基本类型:即玉 ·1289·

·1290· 工程科学学报，第39卷，第8期 型张开型(opening mode),其裂纹面位移相反，方向垂 纹较密，采集数据和分析处理过程通常采用该区域的 直于裂纹扩展方向，是工程中常见的裂纹形式：Ⅱ型滑 信息，而且公式(1)和(3)也可简化为： 开型(sliding mode),裂纹面位移也相反，一个沿着裂 纹扩展方向，另一个背离扩展方向：和Ⅲ型撕开型(an- i-plane shear mode),裂纹产生方向相反的离面位移. 在断裂过程中，裂纹尖端附近的应力场和应变场足够 _3KL+…,(0=m/2), 0,=4r (4) 大，才能发生断裂，对于二维I型断裂问题，其应力场 的解析解由Westergaard应力函数2表示如下： K… Ty=- 4√πr 0=- √2r 2(1-sin9n31 2 +…, K,_3KL+…, g,4后4 K 636 0y= cos号1+sin7sin)+…,(1) -3K,-K+,(0=m2),(5) 0,=4√mr4√r K 0.638 2m0s2sin2os+ =- =- K1+K+… 4√Tr4√/mr 如图1所示，x为裂纹扩展方向，y为裂纹面法线 裂纹尖端区域应力场的非奇异项用σ(r,)、 方向，”和0为裂纹尖端附近的极坐标，K为I型应力 0o(r,)和T(r,)表示，则公式(4)和(5)可表示为： 强度因子，0，、0，和T,为平面条件下三个应力分量， 省略项为公式中的高阶项，对计算精度影响不大 K↓+0 0= 4√r 极坐标与平面直角坐标关系如下式，其中T和 T为平面应力分量，其值相等，T,=Tx _3K上+0o,(0=m/D), ，=4r (6) r=√R+y,0=&arctan y (2) 7y=- +Tory" 4√ K1 3 K 0x= +00x, 4m4√m示 3 K1 KI 0,= 4√r4√r +00,(0=T/2),(7) K1+T0 T=-44√ 图1平面问题中裂纹尖端区域的应力单元 光弹性法中，同一级等差条纹处以同一亮度显示， Fig.I Stress components in plane stress near crack tip 因此，根据应力-光学定律]，可以测得裂纹尖端附近 对于I-Ⅱ混合型裂纹，可以给出其裂纹尖端附 应力场的次主应力差： 近的应力场如下式[20)： fo ai-oi=d (8) 其中，σ和σ？为光弹性平面表征的次主应力，o1和 √2πr σ2为主应力，主应力和次主应力的区别是：前者的大 人2+m2）+， 小和方向是由该点上六个应力分量唯一确定的，不随 √2 2 入射光方向的不同而改变，而后者则随入射光方向的 0,=- 不同而异，对于平面问题，可将其等价，n为光弹性条 2Tr (3) 纹级数，。为应力条纹值(。=33.8N·mm),d为模 Asin 8cos 0cos30 型厚度，次主应力与平面应力分量的关系为： √2Tr K1.630 }”±o,-,+4 cos 2 sin 2 cos 2 2 (9) √2r 因此，平面应力分量与等差条纹之间的关系为： -m号婴）+… @,-0+4学 (10) 由于裂纹垂直方向，即y方向(6=T/2)的等差条 将公式(6)、(7)代入式(10)，可分别得到纯I型

工程科学学报,第 39 卷,第 8 期 型张开型(opening mode),其裂纹面位移相反,方向垂 直于裂纹扩展方向,是工程中常见的裂纹形式;域型滑 开型(sliding mode),裂纹面位移也相反,一个沿着裂 纹扩展方向,另一个背离扩展方向;和芋型撕开型( an鄄 ti鄄plane shear mode),裂纹产生方向相反的离面位移. 在断裂过程中,裂纹尖端附近的应力场和应变场足够 大,才能发生断裂,对于二维玉型断裂问题,其应力场 的解析解由 Westergaard 应力函数[21]表示如下: 滓x = KI 2仔r cos 兹 ( 2 1 - sin 兹 2 sin 3兹 ) 2 + …, 滓y = KI 2仔r cos 兹 ( 2 1 + sin 兹 2 sin 3兹 ) 2 + …, 子xy = KI 2仔r cos 兹 2 sin 兹 2 cos 3兹 2 + … ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï . (1) 如图 1 所示,x 为裂纹扩展方向,y 为裂纹面法线 方向,r 和 兹 为裂纹尖端附近的极坐标,KI为玉型应力 强度因子,滓x、滓y 和 子xy为平面条件下三个应力分量, 省略项为公式中的高阶项,对计算精度影响不大. 极坐标与平面直角坐标关系如下式,其中 子xy 和 子yx为平面应力分量,其值相等,子xy = 子yx . r = x 2 + y 2 ,兹 = arctan y x . (2) 图 1 平面问题中裂纹尖端区域的应力单元 Fig. 1 Stress components in plane stress near crack tip 对于玉鄄鄄域混合型裂纹,可以给出其裂纹尖端附 近的应力场如下式[20] : 滓x = K玉 2仔r cos 兹 ( 2 1 - sin 兹 2 sin 3兹 ) 2 - K域 2仔r sin 兹 ( 2 2 + cos 兹 2 cos 3兹 ) 2 + …, 滓y = K玉 2仔r cos 兹 ( 2 1 + sin 兹 2 sin 3兹 ) 2 + K域 2仔r sin 兹 2 cos 兹 2 cos 3兹 2 + …, 子xy = K玉 2仔r cos 兹 2 sin 兹 2 cos 3兹 2 + K域 2仔r cos 兹 ( 2 1 - sin 兹 2 sin 3兹 ) 2 + … ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï . (3) 由于裂纹垂直方向,即 y 方向(兹 = 仔/ 2)的等差条 纹较密,采集数据和分析处理过程通常采用该区域的 信息,而且公式(1)和(3)也可简化为: 滓x = K玉 4 仔r + …, 滓y = 3 4 K玉 仔r + …, 子xy = - K玉 4 仔r + … ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï . (兹 = 仔/ 2), (4) 滓x = K玉 4 仔r - 3 4 K域 仔r + …, 滓y = 3 4 K玉 仔r - K域 4 仔r + …, 子xy = - K玉 4 仔r + K域 4 仔r + … ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï . (兹 = 仔/ 2), (5) 裂纹尖端区域应力场的非奇异项用 滓0x ( r,兹)、 滓0y(r,兹)和 子0xy(r,兹)表示,则公式(4)和(5)可表示为: 滓x = K玉 4 仔r + 滓0x, 滓y = 3 4 K玉 仔r + 滓0y, 子xy = - K玉 4 仔r + 子0xy ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï . (兹 = 仔/ 2), (6) 滓x = K玉 4 仔r - 3 4 K域 仔r + 滓0x, 滓y = 3 4 K玉 仔r - K域 4 仔r + 滓0y, 子xy = - K玉 4 仔r + K域 4 仔r + 子0xy ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï . (兹 = 仔/ 2), (7) 光弹性法中,同一级等差条纹处以同一亮度显示, 因此,根据应力鄄鄄光学定律[22] ,可以测得裂纹尖端附近 应力场的次主应力差: 滓忆1 - 滓忆2 = n·f 0 d . (8) 其中,滓忆1 和 滓忆2 为光弹性平面表征的次主应力,滓1 和 滓2 为主应力,主应力和次主应力的区别是:前者的大 小和方向是由该点上六个应力分量唯一确定的,不随 入射光方向的不同而改变,而后者则随入射光方向的 不同而异,对于平面问题,可将其等价,n 为光弹性条 纹级数,f 0 为应力条纹值( f 0 = 33郾 8 N·mm - 1 ),d 为模 型厚度,次主应力与平面应力分量的关系为: 滓忆1 滓忆}2 = 滓x + 滓y 2 依 1 2 (滓x - 滓y) 2 + 4子 2 xy . (9) 因此,平面应力分量与等差条纹之间的关系为: (滓x - 滓y) 2 + 4子 2 xy = n·f 0 d . (10) 将公式(6)、(7)代入式(10),可分别得到纯玉型 ·1290·

赵熙等：混合型应力强度因子的光弹性多参数测定 ·1291· 和I-Ⅱ混合型应力强度因子和非奇异应力项与等差 K,、0、0o和Ta,四个参数，取裂纹垂直方向上的若干 条纹之间的关系： 组条纹级数n和离裂尖的距离r为已知值(n,r), 2后-+4（后 (n2,2),…,(n。,),采用最小二乘法]求解不相容 方程组，即可求得K· n'fo 同理，对于I-Ⅱ混合型问题，式(12)中有K,、 d (11) KⅡ、0s0o,和Ta五个参数，采用若干组条纹级数n和 r,结合最小二乘法，也可求得K,和K,· 2光弹性实验及结果分析 (12) 2.1光弹性三点弯曲测试 求K,还需知道x方向(0=0)处的等差条纹信息， 试件制备采用3D打印技术完成，模型为带有预 公式(3)可简化为： 置裂缝（宽度为0.5mm)的平板模型，如图2(a)所示. 制备过程成型快，打印精度高，精度可达0.01mm,能 0=- 2Tr L+00x, 很好的满足预置裂缝的生成：并且，打印过程不会产生 K1o' 残余应力，也避免了传统加工过程对裂缝进行切削时 0,= (13) √2Tr 产生的加工残余应力：打印材料为聚酯类光弹性材料， K 与传统的光弹性材料环氧树脂相比，具有相似的成分 7=2m +T0y 构成和光弹性性质，从而满足光弹性测试的要求). 同理，将式(13)代入式(10)，可得0=0时I-Ⅱ 图2(b)为三点弯曲试验示意图，纯I型与I-Ⅱ 混合型应力强度因子和非奇异应力项与等差条纹之间 混合型的应力强度因子测定采用相同的几何模型和材 的关系： 料，分别在模型中部和距离中部1处施加载荷，1=7.5 mm,P和P'为载荷大小，a为裂纹长度，a=12mm,s为 (0a-00)2+4 n'Jo (14) 底部两支座间距，s=120mm,w为试件高度，0=30 1.2多参数法计算应力强度因子 mm,d为试件厚度，d=5mm,为了保证裂纹尖端的尖 得到应力强度因子、非奇异项应力和光弹性等差 锐性，试件裂纹尖端设有一尖倒角，尖倒角为边长0.5 条纹之间的关系之后，对于纯I型问题，式(11)中有 mm的等边三角形 (b) 图23D打印模型(a)及三点弯曲测试示意图(b) Fig.2 Three-dimensional (3D)printed model (a)and a diagram (b)of the three-point bending test 采用光弹性测试与三点弯曲试验相结合，光源通 过正交圆偏振光场（图3），即起偏镜、第一个1/4波 K1 =oF ma,d=3Ps du (16) 片、具有双折射效应的受力试件、第二个1/4波片和分 其中，F和F为手册中系数 析镜，最终在带有滤波片的成像相机上形成整数级等 对于纯I型问题，当l/=0时，手册中F'= 差条纹图像 0.5447,则F=1.1720.对于1-Ⅱ混合型，当l/w= 为了与光弹性试验得到的应力强度因子进行对比 0.25时，手册中F'=0.5124,则F=1.1025:手册中 并验证其准确性，引用文献[22]，三点弯曲测试下的 Fm=0.05808(Fm为手册中系数).因此，可求得三点 裂纹尖端的型Ⅱ型应力强度因子如下(a/和=0.4)： 弯曲对称加载和偏心加载条件下，不同载荷作用下的 KFF (),(15) 纯I型和I-Ⅱ混合型应力强度因子的理论解，如表1 和2所示

赵 熙等: 混合型应力强度因子的光弹性多参数测定 和玉鄄鄄域混合型应力强度因子和非奇异应力项与等差 条纹之间的关系 ( : - K玉 2 仔r + 滓0x - 滓0y ) 2 + 4 ( - K玉 4 仔r + 子0xy ) 2 = n·f 0 d , (11 ( ) - K玉 + K域 2 仔r + 滓0x - 滓0y ) 2 +4 ( - K玉 + K域 4 仔r + 子0xy ) 2 = n·f 0 d . (12) 求 K域 还需知道 x 方向(兹 = 0)处的等差条纹信息, 公式(3)可简化为: 滓x = K玉 2仔r + 滓0x, 滓y = K玉 2仔r + 滓0y, 子xy = K域 2仔r + 子0xy ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï . (13) 同理,将式(13)代入式(10),可得 兹 = 0 时玉鄄鄄 域 混合型应力强度因子和非奇异应力项与等差条纹之间 的关系: (滓0x - 滓0y) 2 + 4 ( K域 2仔r + 子0xy ) 2 = n·f 0 d . (14) 1郾 2 多参数法计算应力强度因子 得到应力强度因子、非奇异项应力和光弹性等差 条纹之间的关系之后,对于纯玉型问题,式(11) 中有 K玉 、滓0x、滓0y和 子0xy四个参数,取裂纹垂直方向上的若干 组条纹级数 n 和离裂尖的距离 r 为已知值( n1 ,r1 ), (n2 ,r2 ),…,( nn ,rn ),采用最小二乘法[22] 求解不相容 方程组,即可求得 K玉 . 同理,对于玉鄄鄄 域混合型问题,式(12) 中有 K玉 、 K域 、滓0x、滓0y和 子0xy五个参数,采用若干组条纹级数 n 和 r,结合最小二乘法,也可求得 K玉 和 K域 . 2 光弹性实验及结果分析 2郾 1 光弹性三点弯曲测试 试件制备采用 3D 打印技术完成,模型为带有预 置裂缝(宽度为 0郾 5 mm)的平板模型,如图 2( a)所示. 制备过程成型快,打印精度高,精度可达 0郾 01 mm,能 很好的满足预置裂缝的生成;并且,打印过程不会产生 残余应力,也避免了传统加工过程对裂缝进行切削时 产生的加工残余应力;打印材料为聚酯类光弹性材料, 与传统的光弹性材料环氧树脂相比,具有相似的成分 构成和光弹性性质,从而满足光弹性测试的要求[17] . 图 2(b)为三点弯曲试验示意图,纯玉型与玉鄄鄄 域 混合型的应力强度因子测定采用相同的几何模型和材 料,分别在模型中部和距离中部 l 处施加载荷,l = 7郾 5 mm,P 和 P忆为载荷大小,a 为裂纹长度,a = 12 mm,s 为 底部两支座间距,s = 120 mm,w 为试件高度,w = 30 mm,d 为试件厚度,d = 5 mm,为了保证裂纹尖端的尖 锐性,试件裂纹尖端设有一尖倒角,尖倒角为边长 0郾 5 mm 的等边三角形. 图 2 3D 打印模型(a)及三点弯曲测试示意图(b) Fig. 2 Three鄄dimensional (3D) printed model (a) and a diagram (b) of the three鄄point bending test 采用光弹性测试与三点弯曲试验相结合,光源通 过正交圆偏振光场(图 3),即起偏镜、第一个 1 / 4 波 片、具有双折射效应的受力试件、第二个 1 / 4 波片和分 析镜,最终在带有滤波片的成像相机上形成整数级等 差条纹图像. 为了与光弹性试验得到的应力强度因子进行对比 并验证其准确性,引用文献[22],三点弯曲测试下的 裂纹尖端的玉型、域型应力强度因子如下(a / w = 0郾 4): K玉 = 滓F 仔a,滓 = 3Ps dw 2 ,F忆 = F (1 - a / w) 3 / 2 ,(15) K域 = 滓F域 仔a,滓 = 3Ps dw 2 . (16) 其中,F 和 F忆为手册中系数. 对于 纯 玉 型 问 题, 当 l / w = 0 时, 手 册 中 F忆 = 0郾 5447,则 F = 1郾 1720. 对于玉鄄鄄 域混合型,当 l / w = 0郾 25 时,手册中 F忆 = 0郾 5124,则 F = 1郾 1025;手册中 F域 = 0郾 05808(F域 为手册中系数). 因此,可求得三点 弯曲对称加载和偏心加载条件下,不同载荷作用下的 纯玉型和玉鄄鄄域混合型应力强度因子的理论解,如表 1 和 2 所示. ·1291·

·1292· 工程科学学报，第39卷，第8期 表2I-Ⅱ混合型K1K,理论解 π/4 快轴 分析镜 Table 2 Theoretical solution of mixed-modes K and K 载荷，P/N K,值/(MPa-mm?)K,值/(MPa-mm) →第二14波片 150 81.2111 4.2782 快轴π4 →受力试件 200 108.2814 5.7043 250 135.3518 7.1304 x个π2 0第一14波片 300 162.4222 8.5564 文起偏镜 350 189.4925 9.9825 光湖 图3正交圆偏振光场 2.2实验结果分析 Fig.3 Orthogonal circular polarization optical field 对于纯I型应力强度因子K,的求解，以图4(a) 表1纯I型K,理论解 为例，载荷为300N作用下，以裂纹尖端附近条纹密集 Table 1 Theoretical solution of K 处为分析对象，其中，条纹级数用1、2、3和4标记表 载荷，P/N 示，以坐标(n=5,r;=1.8926),(n4=4,4=3.7047), K,值/(MPa.mm立) 150 350.0000 (n3=3,13=8.0940),(n2=2,r2=17.1946)为已知量， 200 115.1073 其中r的单位为mm,采用最小二乘法求解不相容方程 250 143.8842 组，即可求得K,=164.2798 MPa-mm之. 300 172.6610 对于I-Ⅱ混合型应力强度因子K,和K,的求解， 350 201.4379 如图4(b)所示，以0=T/2方向上坐标(n=5,r5= a b 图4三点弯曲测试裂纹尖端光弹性条纹图.(a)I型：(b)I-Ⅱ型 Fig.4 Isochromatic fringe pattems near crack tip in three-point bending test:(a)type I;(b)type I-lI 1.8614),(n4=4,r4=4),(n3=3,r3=9.3861),和0= 表3纯I型K,光弹实验结果及其与理论解对比误差 0方向上坐标(n3=3,3=11.6040),(n:=4,r4= Table 3 Photoelastic solution of K and error values 14.3762),为已知值，可求得K,=151.9871MPa· K,值/ K,平均值/ 载荷.P/N 误差/% mm之，K,=8.1001 MPa-mm之 (MPa~mm交) (MPa·mm) 采用上述方法，通过多工况计算，利用Wolfram 83.0240 150 82.9561 83.1052 3.7 Mathematical计算软件，得到了不同载荷作用下纯I型 83.3354 和I-Ⅱ混合型应力强度因子值.表3和4为多参数 106.4282 200 106.2313 106.4450 7.5 计算结果和与理论解相比的误差，其中每组载荷下的 106.6754 分析分别进行了三组试验计算，误差计算分析为三组 134.7907 结果的平均值与理论解的对比 250 134.9134 134.7336 6.4 134.4967 从光弹性实验结果以及与理论值对比的误差来 164.2798 看，对于纯I型应力强度因子，计算结果的平均误差为 300 163.8836 164.2727 4.9 164.6547 6.2%,对于I-Ⅱ混合型应力强度因子，计算结果的 184.8394 平均误差分别为6.5%和5.8%. 350 184.2753 184.7631 8.3 185.1746 以往的研究中，在不考虑远场应力，而只考虑奇异

工程科学学报,第 39 卷,第 8 期 图 3 正交圆偏振光场 Fig. 3 Orthogonal circular polarization optical field 表 1 纯玉型 K玉 理论解 Table 1 Theoretical solution of K玉 载荷,P/ N K玉 值/ (MPa·mm 1 2 ) 150 350郾 0000 200 115郾 1073 250 143郾 8842 300 172郾 6610 350 201郾 4379 表 2 玉鄄鄄域混合型 K玉 、K域 理论解 Table 2 Theoretical solution of mixed鄄modes K玉 and K域 载荷,P/ N K玉 值/ (MPa·mm 1 2 ) K域 值/ (MPa·mm 1 2 ) 150 81郾 2111 4郾 2782 200 108郾 2814 5郾 7043 250 135郾 3518 7郾 1304 300 162郾 4222 8郾 5564 350 189郾 4925 9郾 9825 2郾 2 实验结果分析 对于纯玉型应力强度因子 K玉 的求解,以图 4( a) 为例,载荷为 300 N 作用下,以裂纹尖端附近条纹密集 处为分析对象,其中,条纹级数用 1、2、3 和 4 标记表 示,以坐标(n5 = 5,r5 = 1郾 8926),( n4 = 4,r4 = 3郾 7047), (n3 = 3,r3 = 8郾 0940),(n2 = 2,r2 = 17郾 1946)为已知量, 其中 r 的单位为 mm,采用最小二乘法求解不相容方程 组,即可求得 K玉 = 164郾 2798 MPa·mm 1 2 . 对于玉鄄鄄域混合型应力强度因子 K玉 和 K域 的求解, 如图 4 ( b) 所示,以 兹 = 仔/ 2 方向上坐标( n5 = 5,r5 = 图 4 三点弯曲测试裂纹尖端光弹性条纹图. (a)玉型;(b)玉鄄鄄域型 Fig. 4 Isochromatic fringe patterns near crack tip in three鄄point bending test: (a) type 玉; (b) type 玉鄄鄄域 1郾 8614),(n4 = 4,r4 = 4),( n3 = 3,r3 = 9郾 3861),和 兹 = 0 方向上坐标 ( n3 = 3, r3 = 11郾 6040 ), ( n4 = 4, r4 = 14郾 3762), 为 已 知 值, 可 求 得 K玉 = 151郾 9871 MPa· mm 1 2 ,K域 = 8郾 1001 MPa·mm 1 2 . 采用上述方法,通过多工况计算,利用 Wolfram Mathematical 计算软件,得到了不同载荷作用下纯玉型 和玉鄄鄄域混合型应力强度因子值. 表 3 和 4 为多参数 计算结果和与理论解相比的误差,其中每组载荷下的 分析分别进行了三组试验计算,误差计算分析为三组 结果的平均值与理论解的对比. 从光弹性实验结果以及与理论值对比的误差来 看,对于纯玉型应力强度因子,计算结果的平均误差为 6郾 2% ,对于玉鄄鄄 域混合型应力强度因子,计算结果的 平均误差分别为 6郾 5% 和 5郾 8% . 以往的研究中,在不考虑远场应力,而只考虑奇异 表 3 纯玉型 K玉 光弹实验结果及其与理论解对比误差 Table 3 Photoelastic solution of K玉 and error values 载荷,P/ N K玉 值/ (MPa·mm 1 2 ) K玉 平均值/ (MPa·mm 1 2 ) 误差/ % 150 83郾 0240 82郾 9561 83郾 3354 83郾 1052 3郾 7 200 106郾 4282 106郾 2313 106郾 6754 106郾 4450 7郾 5 250 134郾 7907 134郾 9134 134郾 4967 134郾 7336 6郾 4 300 164郾 2798 163郾 8836 164郾 6547 164郾 2727 4郾 9 350 184郾 8394 184郾 2753 185郾 1746 184郾 7631 8郾 3 ·1292·