双金属复合板矫直过程的弯曲及弹复解析

工程科学学报，第38卷，第9期：1317-1326,2016年9月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.9:1317-1326,September 2016 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2016.09.018;http://journals.ustb.edu.cn 双金属复合板矫直过程的弯曲及弹复解析 张 超，臧勇，管奔，秦 勤 北京科技大学机械工程学院，北京100083 区通信作者，E-mail:yzang(@ustb.edu.cn 摘要基于工程弹塑性力学建立了不同组坯方式下双金属复合板弯曲矫直过程截面弹塑性状态演变路径的解析模型.基 于该模型分析不锈钢复合板矫直过程中的弯曲回弹特性，解释复合板弯曲回弹过程中截面的反向屈服现象，并将不锈钢复合 板与单一材料板材弯曲过程进行对比，研究结果表明：双金属复合板在弯曲过程中截面会经历五种弹塑性状态，并伴随者不 同的中性层偏移规律，弯曲回弹后的残余应力分布与单一材料板相比更加不均匀且可能进入反向屈服状态：复合板与单一材 料板材的弯矩相对差值随着屈服强度比的增大而增大，其绝对值随着弯曲曲率先增大后减小. 关键词双金属板：弯曲：回弹；矫直；残余应力 分类号TG333.2 Bending and springback analysis of bimetal composite plates during leveling ZHANG Chao,ZANG Yong,GUAN Ben,QIN Qin School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:yzang@ustb.edu.cn ABSTRACT An analytical model of section elastoplastic state evolution paths was built for bimetal composite plates under different assemble patterns during bending and leveling based on engineering elastoplastic mechanics.Based on this model,the bending and re- bounding process of stainless steel clad plates was analyzed,the section reverse yield phenomenon during rebounding was explained, and the bending process of stainless steel clad plates was contrasted to that of single material sheets.The results show that five elasto- plastic states of the bimetal composite plate section occurs along with different neutral layer offset laws,and the residual stress distribu- tion is more uneven and may enter the reverse yield state after bending.The relative difference of bending moment between the bimetal composite plate and the single sheet increases with increasing yield strength ratio,and the absolute value first increases then decreases with increasing curvature. KEY WORDS bimetal sheet;bending;springback;leveling;residual stress 金属复合板是使用各种复合技术使金属板材在界统单一材料板材，在制备及冷却等过程中更普遍地出 面上实现冶金结合的一种复合材料，相比于传统单一现大尺度几何变形缺陷，往往需要运用弯曲矫直工艺 材料板材，它具有优异的服役性能与高性价比的特点. 进行矫正.同时，作为功能材料的复合板覆层结构由 石油、化工、海洋工程及造船等领域对高品质大规格金 于相对较薄且处于截面的外侧，导致其在矫直等工艺 属复合板具有广泛的市场需求2].双金属复合板由 流程中承受较大的变形并使其内部产生较大的残余应 于其层间材料物理性能及力学性能的差异，使得其板 力甚至处于塑性屈服状态，严重影响复合板整体服役 坯截面呈现非对称结构.因此其相较于对称结构的传 能力：矫直作为板材成形中的弹塑性工艺流程，其弯曲 收稿日期：2016-01-05 基金项目：国家高技术研究发展计划资助项日(2013AA031302):中国博土后科学基金资助项日(2014M550611):北京市自然科学基金青年科 学基金资助项目(3154036)

工程科学学报 ，第 38卷 ，第 9期 ：1317—1326，2016年 9月 ChineseJournalofEngineering，Vo1．38，No．9：1317—1326，September2016 DOI：10．13374／j．issn2095—9389．2016．09．018：http：／／journals．ustb．edu．en 双金属复合板矫直过程 的弯 曲及 弹复解析 张 超，臧 勇因，管 奔，秦 勤 北京科技大学机械工程学院 ．北京 100083 因 通 信作者 ，E-mail：yzang@ustb．edu．en 摘 要 基于T程弹塑性力学建立 了不同组坯方式下双金属复合板弯 曲矫直过 程截 面弹 塑性 状态演变路 径 的解析 模型．基 于该模型分析不锈钢复合板矫直过程中的弯曲回弹特性，解释复合板弯曲回弹过程中截面的反向屈服现象，并将不锈钢复合 板与单一材料板材弯 曲过程进行 对 比．研究结果 表明 ：双金属复合板在弯 曲过 程中截面会经 历五种 弹塑性状态 ，并伴随着不 同的中性层偏移规律 ，弯曲 回弹后的残余应力分布 与单一材料板 相比更加不均匀且可能进入反 向屈服状 态 ；复合 板与单一材 料板材的弯矩相对差值 随着屈服强度 比的增大而增大 ，其绝对值 随着 弯曲曲率先增大后减小． 关键词 双金属板：弯曲；回弹；矫直：残余应力 分 类号 TG333．2 Bendingand springback analysisofbimetalcompositeplatesduringleveling ZHANG Chao，ZANG Yong回， GUANBen，Q1NQin SchoolofMechanicalEngineering，UniversityofScienceandTechnologyBeijing，Beijing100083，China 园 Correspondingauthor，E—mail：yzang@ ustb．edu．an ABSTRACT Ananalyticalmodelofsection elastoplasticstateevolutionpathswasbuiltforbimetalcompositeplatesunderdifferent assemblepatternsduringbendingandlevelingbasedonengineeringelastoplasticmechanics．Basedonthismodel，thebendingandre— boundingprocessofstainlesssteelcladplateswasanalyzed，thesectionreverseyieldphenomenonduringreboundingwasexplained， andthebendingprocessofstainlesssteelcladplateswascontrastedtothatofsinglematerialsheets．Theresultsshow thatfiveelasto— plastic statesofthebimetalcompositeplatesectionoccursalongwithdifferentneutrallayeroffsetlaws，andtheresidualstressdistribu— tion ismoreunevenandmayenterthereverseyieldstateafterbending．Therelativedifiereneeofbendingmomentbetweenthebimetal compositeplateandthesinglesheetincreaseswithincreasingyieldstrengthratio，andtheabsolutevaluefirstincreasesthen decreases withincreasingcurvature． KEY W ORDS bimetalsheet；bending；springback；leveling；residualstress 金属复合板是使用各种复合技术使金属 板材在界 面上实现冶金结合 的一种 复合材 料 ，相 比于传 统单 一 材料板材 ，它具有优异 的服役性能 与高性价 比的特 点． 石油 、化工 、海洋工程及造船等领域对高 品质大规格 金 属复合板具 有广泛 的市场 需求 [i-2]．双金 属复合 板 由 于其层间材料物理性 能及力学 性 能的差异 ．使得 其板 坯 截面呈现非对称结构．因此其相 较于对称 结构 的传 统单一材料板材 ，在制 备及冷 却等过 程 中更 普遍 地 出 现大尺度几何变形缺 陷 ，往往需 要运 用弯 曲矫直 工艺 进行矫正．同时 ，作 为 功能材 料 的复合 板覆层 结 构 由 于相对 较薄且处于截 面的外侧 ，导致其 在矫 直等 工艺 流程中承受较大的变形并使其 内部产生较大 的残余应 力甚 至处 于塑性 屈服状 态 。严重 影响复 合板 整体服 役 能力 ：矫直作 为板材成 形中的弹塑性 工艺流程 ，其 弯 曲 收稿 日期 ：2016-01—05 基金项 目 ：国家高技术研究发展计划资助项 目(2013AA031302)；中国博士后科学基金资助项 目(2014M550611)；北京市 自然科学基金青年 科 学基金资助项 目(3154036)

·1318· 工程科学学报，第38卷，第9期 工艺参数对覆层结构矫后残余应力的影响与控制显得 1. 金属复合板截面弯曲特性分析 尤为重要.大多数板材矫直工艺的力学实质为一次或 多次的弹塑性弯曲，弯曲过程截面的形状基本不发生 1.1参数量纲一化处理及截面弹塑性状态 变化，且剪应力对弯曲过程影响甚小可以忽略.由于 根据双金属复合板截面特点及弹塑性力学相关理 弯曲曲率有限，弯曲过程的弹性效应与塑性效应均不 论，引入以下基本假设：弯曲过程截面应力为单向应力 可忽略.双金属复合板作为一种层间异性的非对称结 状态；复合板界面结合完好，层与层之间应变连续，变 构，弯曲过程截面弹塑性状态演变过程复杂，回弹过程 形过程不产生分层：金属复合板覆层作为功能性材料， 可能诱发截面的部分反向塑性屈服等现象，因此传统 厚度较薄，弯曲过程中应变中性层位于基层 的基于截面同性材料的弯曲理论并不能很好地解析金 双金属复合板截面如图1所示，将双金属复合板 属复合板的弯曲矫直过程，也难以完成对覆层应力状 截面划分为如图所示三部分进行研究.其中P,为复合 态的预测与分析. 板截面覆层部分，P,为截面应变中性层以上基层部分， 在金属复合板弯曲等力学行为方面，Yilamu等] P,为截面应变中性层以下基层部分.图中复合板总厚 对钢-铝复合板的V型弯曲弹复进行研究，分析内外 度为H,覆层厚度为h,基层厚度为h2,中性层偏移量 弯时回弹比的不同；Hino等4对钢-铝复合板的拉弯 为九，应变中性层位于几何中性层以上时九为正，反 弹复进行了试验及理论研究，发现复合板弹复后的残 之为负.设复合板弯曲曲率为A,弯矩为M,当覆层受 留曲率主要由组元材料的强度差决定：Choi等s)对双 拉时A和M为正，受压时A和M为负，弹复曲率为A, 金属复合板在单轴拉伸时宽度方向上的翘曲进行数值 残留曲率为A.覆层和基层的弹性模量分别为E,和 计算和有限元分析：王效岗等6采用数值方法，对不锈 E2,强化模量分别为E:和E,覆层和基层的屈服极限 钢复合板截面分层建立了一·个双金属复合板辊式矫直 分别为σ，和σa·为方便后续研究工作，定义如下量 数值模型.现有理论的研究对象往往是针对具体材料 纲一的参数：弹性模量比入s=E,/E2,屈服强度比入。= 的金属复合板而不能对金属复合板的弯曲特性给出基 σ/o2,覆层强化模量比入，=E/E,基层强化模量比 于弹塑性力学的普适性结论.在板材的矫直理论方 入，=E5/E2,覆层量纲一的厚度入=2h,/H,量纲一的中 面，国内外学者进行了大量的探索？-.雀甫1运用 性层偏移量e=2h,/H,弯曲曲率比C=A/A,弹复曲率 经典弹塑性力学对矫直过程进行了详细的力学分析： 比C,=A,/A,残留曲率比C,=A/A,弯矩比M=M/ Li山等四和薛军安[]运用曲率积分法对矫直过程的 M这里的A,和M,分别为厚度为H的单位宽度基层 板形曲线进行预测同时对矫直过程的截面应力和力能 材料板材的弹性极限曲率和弹性极限弯矩，其计算公 参数进行计算，成功应用于矫直机离线控制系统：管奔 式分别为A,=2σe/E,H、M,=2/6.经量纲一化处 等3在经典矫直理论的基础上，考虑截面连续反弯 理后，后续研究均在截面厚度为±1的截面上进行 的应力遗传效应，提出更为精确的矫直过程解析模型. 演算 周存龙等5)根据梁弹塑性弯曲理论，通过建立板材在 应变巾心层 宽度上不同的弯曲模型，得到矫直辊弯辊量.可以看 覆层 出，现有的矫直理论多是针对截面同性材料的板材弯 H 曲过程，不足以准确描述层间材料力学性能不同的金 属复合板弯曲矫直过程. 几何中性层 本文针对现有对双金属复合板矫直过程的弯曲及 基层 H/2 弹复解析的不足，根据工程弹塑性力学的相关理论，通 过对双金属复合板截面的合理划分，建立了双金属复 图1双金属复合板截面示意图 合板截面弹塑性状态演变路径的判定模型，对双金属 Fig.I Schematic diagram of bimetal composite plate section 复合板弯曲过程弯曲曲率、中性层偏移量及截面应力 分布之间的耦合关系进行解析，并在其此基础上总结 双金属复合板层间材料力学性能不同，弯曲过程 双金属复合板弯曲过程截面弹塑性状态演变规律，给 中应变中性层必然会偏离几何中性层，且偏移量是随 出其基于弹塑性力学的普适性结论.继而以不锈钢复 弯曲曲率变化的.应变中性层的偏移量需要根据截面 合板为例，研究不锈钢复合板弯曲过程的截面弹塑性 应力分布计算，而截面应力分布需要根据应变中性层 状态演变路径与中性层偏移规律，对其弯矩-曲率关 的偏移量与弯曲曲率确定，即弯曲曲率、中性层偏移量 系的分段函数与回弹过程的反向屈服进行解析，并在 及截面应力分布之间是相互耦合的.要完成三者关系 此基础上对比双金属复合板和单一材料板材的弯曲 的解耦，需要假定截面弹塑性状态，根据截面应力平衡 过程. 方程，建立关于截面应力分布、弯曲曲率和中性层偏移

· 1318· 丁程科学学报 ，第 38卷 ．第 9期 工艺 参数对覆层结构矫后 残余应 力的影 响与控 制显得 尤为重要 ．大多数板材矫直工艺 的力学 实质为一次 或 多次的弹塑性弯曲 ，弯 曲过 程截 面的形状 基本 不发 生 变化 ，且剪应力对 弯 曲过 程影 响甚 小可 以忽 略．由于 弯 曲曲率有限 ，弯曲过程 的弹性 效应 与塑性效 应均 不 可忽略．双金属复合板作为一种层 间异性 的非 对称结 构 ，弯 曲过程截面弹塑性状态演变过程复杂 。回弹过程 可能诱发截面 的部分 反 向塑 性屈 服等现 象 ，因此 传统 的基于截面 同性材料 的弯 曲理论并不能很好地解析金 属复合板 的弯 曲矫 直过程 ，也 难 以完成对 覆层 应力状 态的预测 与分 析． 在金属复合板 弯 曲等力学 行为方 面 。Yilamu等 ] 对钢一铝复合板 的 v型弯 曲 弹复进行 研 究 ，分 析 内外 弯时 回弹 比的不 同 ；Hino等 对 钢一铝复合 板 的拉 弯 弹复进行 了试验及理论 研究 ，发 现复合 板 弹复后 的残 留曲率主要 由组元材 料的强度 差决定 ；Choi等 对 双 金属复合板在单轴拉伸时宽度方 向上 的翘 曲进行数值 计算和有 限元分析 ；王效 岗等 采用数值方法 ，对不锈 钢复合板截面分层建立 了一个双金属复合板辊式矫直 数值模 型．现有理论 的研究对象 往往是针对具 体材料 的金属 复合板而不能对金属复合板 的弯 曲特性给 出基 于弹塑性 力 学 的普 适性 结 论．在板 材 的矫 直 理论 方 面 ，国内外 学者 进行 了大量 的探 索 j．崔 甫¨叫运用 经典弹塑性力学对矫直过 程进 行 了详 细 的力 学分 析 ： Liu等 [】¨和薛 军安 ¨ 运 用 曲率 积分 法对 矫 直过 程 的 板形曲线进行 预测同时对矫直过程 的截面应力和力能 参数进行计算 ，成功应 用于矫 直机离 线控制 系统 ：管奔 等¨卜 在 经典矫直理论 的基础上 ，考 虑截面连续 反弯 的应力遗传效应 ，提出更为精确的矫直过程解析模 型． 周存龙等 根据梁 弹塑性 弯 曲理论 ，通过 建立板 材在 宽度上不 同的弯 曲模 型 ，得 到矫直 辊 弯辊量 ．可 以看 出 ，现有 的矫直理论多 是针对截 面 同性材料 的板 材弯 曲过程 ，不足 以准确描 述层 间材料力 学性 能不 同的金 属 复合板 弯曲矫直过程 ． 本文针对现有对双金属复合板矫直过程 的弯 曲及 弹复解析 的不 足 ．根据工程 弹塑性力学 的相关理论 ．通 过对 双金属 复合板 截面 的合 理划 分 ，建立 了双金 属 复 合 板截面弹塑性 状态演 变路径 的判定模 型 ，对 双金 属 复合板弯曲过程 弯 曲曲率 、中性层 偏移量 及截 面应 力 分布之间的耦合关系进 行解析 ，并在其 此基 础上总 结 双金属复合板弯 曲过程 截面 弹塑性状 态演 变规律 ．给 出其基于弹塑性力学的普适性结论．继而 以不锈 钢复 合板为例 ，研究不锈钢复 合板弯 曲过程 的截 面弹塑 性 状态演变路径 与 中性 层偏 移规 律 ，对其 弯矩一曲率 关 系 的分段 函数与 回弹过程 的反 向屈 服进行 解析 ，并 在 此基础上对 比双 金属 复合 板 和单 一材 料 板材 的弯 曲 过 程 ． 1 金属复合板截面弯 曲特性分析 1．1 参数量纲一化处理 及截面弹塑性状态 根据双金属复合板截面特点及弹塑性力学相关理 论 ，引入 以下基本 假设 ：弯曲过程截面应力为单 向应 力 状态 ：复合板界面结合 完好 ，层 与层 之 间应 变连续 ，变 形过程不产生分层 ：金属复合板覆层作为功能性材料 ． 厚度较薄 。弯 曲过程 中应变 中性层位于基层． 双金属复合板截 面如 图 1所示 ，将双金 属 复合板 截面划分为如 图所示 三部分进行研究．其中 P，为复合 板截 面覆层部分 ，P，为截 面应变 中性层 以上基层部分 ， 为截面应变中性层以下基层部分．图 中复合 板总厚 度 为 ，覆 层厚度 为 h．，基层厚 度为 h，。中性 层偏移量 为 h，应变中性层 位于 几何 中性 层 以上时 h为正 ，反 之为负．设复合板弯 曲曲率 为 ，弯 矩为 ，当覆层 受 拉时 A和 为正 ，受压时 A和 为负 ，弹复曲率为 A，， 残 留曲率为 A．覆层 和基层 的弹性 模量 分别 为 E．和 E ，强化模 量分别为 E 和 E；，覆层 和基层 的屈服 极限 分别为 和 0- 为方便 后续 研究 工作 ，定 义如下 量 纲一 的参数 ：弹性模量 比 A =E／E，，屈服强度 比 A，： 17"／tr 覆层强化模量 比 A =E'JE ，基层 强化模 量 比 A；= ／E ，覆层量纲一的厚度 A=2h／H，量纲 一 的中 性层偏移量 e=2h／H，弯 曲曲率 比 C=A ．，弹复 曲率 比 C =A／A ，残 留 曲率 比 C =A／A．，弯矩 比 M = ． 这里 的 和 ．分别为 厚度为 H的单位宽 度基层 材料板材的弹性极 限 曲率和弹 性极 限弯矩 ，其 计算 公 式分别为 A．=20 ／E，H、M = ， ／6．经量纲 一化 处 理后 ，后 续研 究 均 在 截 面 厚 度 为 ±1的截 面 上 进 行 演算． 中性层 图 1 双金属复合板截面示意 图 Fig．1 Schematicdiagram ofbimetalcompositeplatesection 双金属复合板层 间材料力 学性 能不 同 ，弯 曲过程 中应变 中性层 必然会偏 离几何 中性层 ．且偏 移量是 随 弯 曲曲率变化的．应变 中性层 的偏 移量 需要根 据截面 应力分布计算 。而截面应 力分 布需要 根据应 变 中性层 的偏移量与弯 曲曲率确定 ，即弯 曲曲率 、中性层偏移量 及截面应力分布之间是相互耦合 的．要完成 三者关 系 的解耦 ，需要假定截面弹塑性状态 ，根据截面应力平衡 方程 ，建立关于截面应力分布 、弯 曲曲率和 中性层偏移

张超等：双金属复合板矫直过程的弯曲及弹复解析 ·1319. 量的方程，对其耦合关系进行求解.所以，对于双金属 式中：，为截面纯弹性变形时量纲一的中性层偏移量. 复合板确定截面弹塑性状态演变路径是进行后续计算 将式(5)中积分展开并化简，可得 的基础.如图1所示，截面的弹塑性状态是P、P,和P 4+(入E-1)A2 三部分弹塑性状态的组合.一般情况下，P,可能的弹 e1=1-4+2(X-1)入 (6) 塑性状态有三种：弹性变形、弹塑性变形和完全塑性变 将e,代入式(4)可求得G4、0a、Gc和G,等于1时 形.P2、P,可能的弹塑性状态有两种：弹性变形和弹塑 A、B、C和D四点处分别对应的弯曲曲率比C4、CB、Cc 性变形.双金属复合板弯曲过程中截面可能的弹塑性 和C。,它们中最小值即为截面的弹性变形极限曲率比 状态理论上有3×2×2，即12种情况，它们对应的中 C,:最小值对应的位置在弯曲曲率比达到C,时，最先发 性层偏移量计算公式和弯矩-曲率关系(M-C关系)表 生塑性变形.至此，复合板截面在弹性变形时的极限 达式各不相同，下面将对其关系进行研究. 曲率比和随着弯曲曲率比增大最先发生塑性变形的位 1.2截面弹塑性状态演变路径判定方法 置就确定了，将上述步骤称为截面弹塑性状态演变过 双金属复合板弯曲过程截面的弹塑性状态可以根 程判定第1步 据图1中A,B、C和D四点的应力值进行判断，A和B 1.2.2截面弹塑性变形状态 点分别对应覆层上侧和下侧，C和D点分别对应基层 假设在第1步中是A处率先发生塑性变形，即此 上侧和下侧.覆层受拉（后续分析均以此种弯曲方式 时的C,的值为上一步求得的C4,当弯曲曲率比稍大 为例)，弯曲曲率为A时，双金属复合板沿厚度截面的 于C,时，截面P,弹塑性变形，P,和P,弹性变形（覆层弹 应变分布为 塑性变形，基层弹性变形).若材料模型满足理想弹塑 s=g4-e)=号-e)=2c-o以0 性模型，根据截面应力平衡方程可求得此时的量纲一 的中性层偏移量为 根据式(1)，弯曲曲率比为C时，在弹性范围内沿 厚度截面的应力分布为 |0:=AECO2(z-e),1-A≤z≤1； (2) (=Co2(2-e), -1≤≤1-入. 入2_2+入-入+1. (7) 入EC入E 式中，0，为覆层弯曲应力，σ为基层弯曲应力，入为覆 式中：e,为截面P弹塑性变形，P,和P,弹性变形时量纲 层量纲一的厚度 一的中性层偏移量. 此时，图1中A,B、C和D四处在弹性范围内的弯 将e,代入式(4)中可求得0a、c和云。值为1时 曲应力值为 B、C和D三点处分别对应的弯曲曲率比Cn、C和C。 c4=入k02C(1-e), 值，其中的最小值即为截面P,弹塑性变形，P,和P,弹 0g=Ae0,C(1-入-e), 性变形的弯曲曲率比上限C2,当弯曲曲率比略大于 (3) 0c=Coa(1-入-e), C,时，C,求解过程对应的位置将发生塑性变形.上述 (op=-Co2(1+e). 步骤称为截面弹塑性状态演变过程判定的第2步.如 将式(3)中A和B处的弯曲应力与覆层屈服极限 此反复，经过四步，即能确定随着弯曲曲率比C变化 σ做比值，C和D点的弯曲应力与基层屈服极限σ2 的截面弹塑性状态以及中性层偏移量. 做比值，取绝对值为 1.3双金属复合板截面弹塑性状态演变规律 a,=入sC(1-e)/A., 由上文分析可知双金属复合板截面弹塑性状态演 Gm=入EC(1-A-e)/A, 变路径的判定需要四步，意味着对于双金属复合板，随 (4) c=C(1-A-e), 着弯曲曲率的增大，截面将经历五种不同的截面弹塑 性状态.经过四步判定过程，理论上可求得双金属复 G。=C(1+e). 当式(4)中的G4、04、。和。值不小于1时，表 合板弯曲过程的载面弹塑性状态演变路径，但一般情 明此处发生塑性变形. 况下，中性层偏移量e与弯曲曲率比C存在着复杂的 1.2.1截面弹性变形状态 函数关系（如式(7）所示)，导致计算过程难以继续. 弯曲曲率比C较小时，此时复合板截面处于纯弹 若双金属复合板在弯曲曲率较大时，满足“截面 性变形状态，4、Ga、可。和G。的值均小于1，根据截面 P塑性变形，P,和P,弹塑性变形”的假设，演变过程计 应力平衡方程可得 算的第1步和第4步就分别是确定满足截面为纯弹性 变形的最大曲率比，即截面的弹性极限曲率比C,以及 Coa(:-e)d=+J ACo(:-e)d:=0. 使截面P,塑性变形和P,、P,弹塑性变形的最小弯曲曲 (5) 率比C,·截面纯弹性变形时中性层偏移量e,如式(6)

张 超 等 ：双金属复合板矫直 过程 的弯曲及弹复解析 ·1319· 量 的方程 ，对其耦合关系进行求 解．所 以 ，对于双金 属 复合板确定截面弹塑性状态演变路径是进行后续计算 的基础．如 图 1所示 ，截面的弹塑性状态是 P 、P，和 P 三部分弹塑性状 态 的组合．一 般情 况下 ，P可 能 的弹 塑性状态有三种 ：弹性变形 、弹塑性变形 和完全塑性变 形．P，、P可能的弹塑性状态有 两种 ：弹性变形 和弹塑 性 变形．双金属复合板弯 曲过程 中截 面可能 的弹塑性 状 态理论上 有 3×2X2，即 l2种 情况 ．它们 对应 的 中 性层偏移 量计算 公式和弯矩一曲率关 系( c关系 )表 达式各不 相同 ，下 面将对 其关系进行研 究． 1．2 截面弹塑性状态演变路径判定方 法 双金 属复合 板弯曲过程截面的弹塑性状态可 以根 据 图 1中 、B、C和 D 四点 的应 力值进行判 断 ，4和 B 点分别对应覆层上侧 和下侧 ．C和 D点分 别对 应基层 上侧和下侧．覆层 受拉 (后续 分析 均 以此 种弯 曲方 式 为例 )，弯曲 曲率为 A时 ，双金属 复合 板沿厚 度截面 的 应变分布为 ： (… )： (… )： c(… )．(1) - t 2 根据式 (1)，弯 曲曲率 比为 c时 ，在 弹性范 围内沿 厚度截 面的应力 分布为 Iff=： ACaE(：(s2(一ze—)e，)，1一一1A≤≤≤≤11一；A． ‘2 式 中 ，，为覆层 弯 曲应 力 ， 为基 层弯 曲应力 ，A为 覆 层量纲一 的厚度． 此时 ，图 1中 、B、C和 D四处 在弹性 范 围内的弯 曲应力值为 将式 (3)中 A和 B处 的弯 曲应 力与覆层 屈服极 限 。做 比值 ，C和 D点 的弯 曲应 力 与基层 屈 服极 限 做 比值 ，取绝对值 为 当式 (4)中的 、 。、 。和 值不 小于 1时 ，表 明此处发生塑性变形． I．2．1 截面 弹性变形状态 弯 曲曲率 比 c较小 时 ，此时 复合板截 面处 于纯 弹 性变形状态，I4、 、 和 的值均小于 1，根据截面 应力平衡方程可得 cl—A rl f一 l c s2(z—e1)dz+f1一^ AE 2(—e1)dz=0． (5) 式 中：e为截面纯弹性变形时量纲一的 中性层偏移量． 将 式 (5)中积 分展开并化简 ，可得 ． 一 4+(AE一1)A ，、 ‘ 0 将 e．代入式 (4)可求 得 、 、。和 等于 1时 、 曰、c和 D四点处 分别对 应 的弯曲 曲率 比 c 、C 、C 和 C ，它们 中最小值 即为截 面的弹性变形 极限 曲率 比 c．；最小值对应 的位置在弯 曲曲率 比达到 c．时 ，最先发 生塑性变形．至此 ．复 合板截 面在 弹性 变形 时 的极 限 曲率 比和随着弯 曲曲率 比增大最先发生塑性变形 的位 置就确定 了．将上述 步骤称 为截 面弹塑性状 态演变过 程判定第 1步． 1．2．2 截面弹塑性变形状态 假 设在第 1步中是 A处率 先发生 塑性 变形 ，即此 时的 C．的值 为上一 步求 得 的 C．当弯曲 曲率 比稍 大 于 C．时 ，截面 P弹塑性变形 ，P，和 P弹性 变形 (覆层 弹 塑性变形 ，基层 弹性变形 )．若材料 模型满 足理想 弹塑 性模 型 ，根据截 面应 力平衡 方程 可求得 此时 的量纲一 的中性层偏移 量为 √ (4+A2 一 )+×一 A 一 一 A (7) E C AE ‘ 。 ’ 、 式 中：e，为截面 P．弹塑性变形 ，P，和 P弹性变形时量纲 一 的 中性层偏移量． 将 e，代人式 (4)中可求得 、 和 值为 1时 、 c和 D三点处 分别对 应 的弯 曲曲率 比 C 、C 和 C 值 ，其 中的最小值 即为截 面 P，弹塑性 变形 ，P，和 P弹 性变形 的弯 曲曲率 比上 限 C，．当弯 曲曲率 比略大 于 C，时 ， 求解过 程对应 的位 置将 发生 塑性 变形．上述 步骤称为截 面弹塑性状态演变过程 判定的第 2步．如 此反复 ，经过 四步 ，即能 确定 随着 弯 曲 曲率 比 C变化 的截面弹塑性状态 以及 中性层偏移量． 1．3 双金属 复合板截面弹塑性状态演变规律 由上文分析可知双金属复合板截面弹塑性状态演 变路径 的判定需要 四步 ，意味着对于双金属复合板 ，随 着弯 曲曲率 的增大 ，截 面将经 历五种 不 同的截 面弹塑 性状态．经过 四步 判定 过程 ，理论上 可求 得双 金属 复 合板弯曲过程的截面 弹塑性状 态演变 路径 ，但一般 情 况下 ．中性层 偏移量 e与弯 曲曲率 比 c存在着 复杂 的 函数 关系(如式 (7)所示 )，导致计算过程难 以继续． 若 双金 属复合 板 在 弯 曲曲率 较大 时 ，满 足 “截 面 P塑性变形 ，P，和 P弹塑性 变形 ”的假设 ，演 变过程计 算 的第 1步 和第 4步就分别是确定满足截面为纯 弹性 变形 的最大 曲率 比 ，即截 面 的弹性 极 限曲率 比 c+以及 使截面 P塑性变形和 P，、P弹 塑性 变形 的最小 弯 曲曲 率 比 C．截面纯弹性变形时 中性层 偏移量 e如式 (6) A 一 一 ^ + 1 l — l C C 1 ( 4 ^ ， ／ A e ， ／ 一 ) ． 一 一 A 1 l _一 +_ Ch G 1 1 = = = = 一 一 一

·1320· 工程科学学报，第38卷，第9期 所示.根据截面应力平衡方程，截面P塑性变形，P,和 的关系 P,弹塑性变形时中性层偏移量为 2双金属复合板弯曲回弹过程解析 es=1- 入，C(4-A2)+2(1-A)(2+A)-2(1-r)AA+A2入dεC 不锈钢复合板在工程上得到广泛应用且具有代表 4,C-2A,AC+2λ入NEC+4(1-入) 性，本文以不锈钢复合板为例具体分析双金属复合板 (8) 的弯曲回弹过程.不锈钢复合板以不锈钢作为覆层材 式中，e,为截面P,塑性变形，P,和P,弹塑性变形时量纲 料，碳钢作为基层材料，材料可以近似认为是理想弹塑 一的中性层偏移量 性材料，覆层材料不锈钢和基层材料碳钢的弹性模量 当上式中入和入都为0，即材料模型为理想弹塑 比An=1. 性模型时，式(8)中e,可表示为 2.1不锈钢复合板截面弹塑性状态演变路径和中性 6=分（入-0. 层偏移 (9) 不锈钢复合板的材料与结构参数主要为屈服强度 从上述分析可以看出，复合板在弯曲曲率较小截 比入和覆层量纲一的厚度入.当入和A不同时，截面 面纯弹性变形以及弯曲曲率较大截面P,塑性变形和 弹塑性状态随弯曲曲率比的变化情况如图2所示.从 P,、P,弹塑性变形时，弯曲过程的中性层偏移量e与弯 图中可以看出，不锈钢复合板截面弹塑性状态的演变 曲曲率比C无关或是容易求解的函数关系，此时能较 路径共有四条.不同屈服强度比入，和不同覆层厚度入 简单地确定截面弹塑性状态与弯曲曲率比C的关系. 下中性层偏移量随弯曲曲率比的变化如图3和图4所 同时双金属复合板弯曲过程截面弹塑性状态、中性层 示.由图3可以看出，当A。>1时，中性层偏移量e大 偏移量e和弯曲曲率比C具有以下特点： 于0：当入。<1时，中性层偏移量e小于0.即中性层向 (1)双金属复合板截面弹塑性状态演变路径的判 力学性能较强的一侧偏移.由图4可以看出，中性层 定需要分四步完成，对应五种不同的截面弹塑性状态； 偏移量的绝对值先是随着弯曲曲率比的增大而增大， (2)截面演变过程计算的第1步和第4步为计算 当增至最大值后中性层偏移量随着弯曲曲率比的增大 弹性极限曲率比C,以及使截面P塑性变形和P2、P弹 不再变化，这个最大值随着覆层所占的比例增大而增 塑性变形的最小曲率比C, 大.由后续分析可知，当截面P,发生塑性变形，P2和P, (3)每一步计算求得的某种截面弹塑性状态的弯 发生弹塑性变形时中性层偏移达到最大值 曲曲率比上限为弯曲曲率比继续增大的后一种截面弹 2.2不锈钢复合板弯曲过程的弯矩和回弹过程解析 塑性状态弯曲曲率比的下限，即弯曲曲率比C具有连 根据截面弹塑性状态的不同，可将不锈钢复合板 续性，中性层偏移量同样具有连续性 弯曲过程的弯矩比表述为曲率比的分段函数.以入。 根据双金属复合板截面弹塑性状态演变过程的特 =0.9和入=1/3的不锈钢复合板为例，不同弯曲曲率 点，可采用下述方法简化前一节的判定过程： 比对应的截面弹塑性状态、中性层偏移量e和M-C关 (1)将e,代人式(4)求得各式值为1时最小C值 系如表1所示. 和对应的位置，即确定截面弹性变形极限曲率比C,和 此时，弯矩比M与屈服强度比入，的关系如图5所 截面弹性变形之后的后一种截面弹塑性状态，将其称 示.入。=1的曲线表示同厚度由基层材料组成的碳钢 为第2种截面弹塑性状态，再根据截面应力平衡方程 板的弯矩比.在C为1时，入。>1的不锈钢复合板与 求得此截面状态对应的中性层偏移量e2； 碳钢板的弯矩比的值相同，在图中存在重合点，重合点 (2)将e,代入式(4)求得各式值为1时最大C值 弯矩比M值为1.这是因为对于入。>1的不锈钢复合 和对应的位置，可以求得截面P,塑性变形和P2、P,弹 板，在C为1时截面处于弹性变形状态，由于覆层和基 塑性变形最小曲率比C,和随着弯曲曲率比减小截面 层的弹性模量基本相同，弯矩比也相同；而对于入。<1 P,塑性变形，P,和P,弹塑性变形的前一种截面弹塑性 的复合板，由于覆层已经发生塑性变形，弯矩比会小于 状态，将其称为第4种截面弹塑性状态，并求得此截面 碳钢板弯矩比的值，在图中表现为在C为1时的弯矩 状态对应的中性层偏移量e4； 比在重合点下方.入。>1的不锈钢复合板弯曲过程的 (3)根据第2种截面弹塑性状态与第4种截面弹 弯矩比大于同厚度碳钢板的弯矩比，。<1的不锈钢 塑性状态确定其中间的截面弹塑性状态，并求得此截 复合板弯曲过程的弯矩比小于同厚度碳钢板的弯矩 面状态对应的中性层偏移量e, 比.弯矩比差值随着弯曲曲率比C的增大而增大，且 这样五种截面弹塑性状态及其先后顺序就确定 当不锈钢复合板截面P,塑性变形，P2、P,弹塑性变形 了.在确定截面弹塑性状态演变路径与中性层偏移量 时，弯矩比的差值达到固定的最大值 e后，不难确定每一种截面弹塑性状态与弯曲曲率比C 当不发生反向屈服时，不锈钢复合板回弹过程类

· 1320· 工 程科 学学 报 ，第 38卷 ，第 9期 所示 ．根据截面应力平衡方程 ，截面 P塑性变形 ，P，和 P弹塑性变形时 中性层偏移量为 85=l— AiC(4一A)+2(1一Ai)(2+A)-2(1一Af)AA+AAfjLEC 4AjC一2AAC+2AAfAEC+4(1一Aj) ‘ (8) 式 中 ，e为截面 P塑性 变形 ，P，和 P弹塑性变形时量纲 一 的中性层偏移量． 当上式中 A，和 A都 为 0，即材 料模 型为理 想 弹塑 性模 型时 ，式 (8)中 e可表示为 e =．-“g-(A 一1)． (9) 二 从上述分析可以看 出 ，复合 板在弯 曲曲率较小 截 面纯 弹性 变形 以及弯 曲曲率较 大截 面 P，塑 性变 形和 P，、P弹塑性 变形时 ，弯曲过程的 中性 层偏移量 e与弯 曲曲率 比 c无关或是 容易求解 的 函数关 系 。此 时能较 简单地确定截 面弹塑 性状态与 弯 曲曲率 比 C的关 系． 同时双金 属复合板 弯曲过程 截 面弹塑性 状态 、中性层 偏移量 e和弯 曲曲率 比 C具有 以下特点 ： (1)双金属复合板截面弹塑性 状态演 变路径 的判 定需要分 四步完成 ．对 应五种 不同的截面弹塑性状 态 ： (2)截面演变过程计算的第 1步和第 4步 为计算 弹性极限 曲率 比 c以及使截面 P塑性变形 和 P，、P弹 塑性变形 的最小 曲率 比 C4； (3)每一步计算求得 的某种截面弹塑性状态 的弯 曲曲率 比上 限为弯 曲曲率 比继续增大 的后一种截面弹 塑性状态弯 曲曲率 比的下 限，即弯 曲曲率 比 c具有连 续 性 ，中性层偏 移量 e同样具有连续性． 根据 双金属 复合板截 面弹塑性状态演变 过程 的特 点 ，可采 用下述方法简化前一节 的判定过程 ： (1)将 e，代入式(4)求得 各式值 为 1时最 小 c值 和对应的位置 ，即确定 截面 弹性 变形极 限 曲率 比 C．和 截面弹性变形之后 的后 一种截 面弹 塑性状 态 ，将其 称 为第 2种 截面弹塑性状 态 ，再根 据截 面应力 平衡方 程 求得此截面状态对应 的中性层偏移量 e，； (2)将 e代人式 (4)求得各式值 为 1时最大 C值 和对应 的位置 ，可 以求得 截 面 P塑 性变 形和 P，、P弹 塑性变形最小 曲率 比 cd和 随着弯 曲曲率 比减小 截 面 P塑性变形 ，P，和 P弹塑性 变形 的前 一种 截面 弹塑性 状态 ，将其称为第 4种截面弹塑性状态 ，并求得此截 面 状 态对应 的中性 层偏移 量 e； (3)根据第 2种截 面弹塑性状态 与第 4种截 面弹 塑性状态 确定其 中问 的截 面弹 塑性状 态 。并求 得此 截 面状态对应的中性层偏 移量 e． 这样 五种截 面 弹塑性 状 态及 其先 后 顺 序就 确 定 了．在确定截面弹塑性状态演变路径 与 中性层偏 移量 e后 ，不难确定 每一种截面 弹塑性状态 与弯曲曲率 比 c 的关系． 2 双金属复合板弯 曲回弹过程解 析 不锈钢复合板在工程上得到广泛应用且具有代表 性，本文以不锈钢复合板为例具体分析双金属复合板 的弯 曲回弹过程．不锈钢 复合板 以不锈钢作 为覆层材 料 ，碳钢作为基层材料 ，材料可 以近似认 为是理想弹塑 性材料 ．覆层材料不 锈钢和 基层材 料碳 钢的 弹性模量 比 A 一1． 2．1 不锈钢复合板 截面弹 塑性 状态演 变路 径和 中性 层偏移 不锈钢复合板 的材料与结构参数主要为屈服强度 比 A 和覆层量纲一的厚度 A．当 A 和 A不 同时 ，截面 弹塑性状态 随弯 曲曲率 比的变化情况如 图 2所示．从 图中可 以看 出 ，不锈 钢复合板 截面弹 塑性 状态 的演变 路径共有 四条．不同屈 服强度 比 A 和不同覆层厚度 A 下 中性层偏移量 随弯 曲曲率 比的变化如 图 3和 图 4所 示．由图 3可 以看 出 ，当 A >l时 ，中性 层偏移 量 e大 于 0；当 A <1时 ，中性层偏移 量 e小于 0．即中性层 向 力学 性能较 强的一侧 偏移．由图 4可 以看 出。中性 层 偏移 量的绝 对值先 是 随着 弯 曲曲率 比的增 大而增 大 ， 当增至最大值后 中性层偏移量随着弯 曲曲率 比的增大 不再变化 ，这个最大值 随着覆层 所 占的 比例 增大 而增 大．由后续分析可知 ，当截面 P．发生塑性变形 ，P，和 P 发生弹塑性变形时 中性层偏移达到最大值． 2．2 不锈钢 复合板弯 曲过程的弯矩和回弹过程解析 根据截面 弹塑性 状态 的不 同，可将不 锈钢 复合板 弯曲过程 的弯矩 比表 述为 曲率 比的分段 函数．以 A = 0．9和 A=1／3的不锈钢复合板 为例 ，不 同弯 曲曲率 比对应 的截 面弹塑性状态 、中性层偏移量 e和 —C关 系如表 1所示． 此 时 ，弯矩 比 与屈服强度 比 A 的关 系如 图 5所 示．A =1的 曲线表示 同厚度 由基层材料 组成 的碳 钢 板的弯矩 比．在 c为 1时 ，A >1的不 锈钢 复合 板与 碳钢板 的弯矩 比的值相 同，在 图中存在重合点 ，重合点 弯矩 比 值为 1．这是 因为对于 A >1的不锈 钢复合 板 ，在 c为 1时截面处于弹性变形状态 ，由于覆层和基 层 的弹性模量基本相 同 ，弯矩 比也相 同 ；而对 于 A <1 的复合板 ，由于覆层 已经发生塑性变形 ，弯矩 比会小 于 碳钢板 弯矩 比的值 ，在 图 中表现 为在 C为 1时 的弯 矩 比在重合点下方．A >1的不锈 钢复合板 弯 曲过 程 的 弯矩 比大于同厚度 碳钢 板 的弯 矩 比 ，A <1的不锈 钢 复合板 弯 曲过 程 的弯 矩 比小 于 同厚度 碳钢 板 的 弯矩 比．弯矩 比差值 随着 弯 曲曲率 比 c的增 大而增 大 ，且 当不锈 钢 复合板 截 面 P塑 性变 形 ，P，、P弹 塑性 变形 时 ，弯矩 比的差值达到 固定 的最大值． 当不发生反 向屈 服时 ，不 锈钢 复合板 回弹 过程类

张超等：双金属复合板矫直过程的弯曲及弹复解析 ·1321· 是 C入PPP,弹性变形 C<1,P,P,P,弹性变形 C>以，P弹塑性变形，P,P弹性变形 C1,PP弹性变形，P弹塑性变形 2-22 1+ 7J1-2+1 是 否 (1+ (1+2子 2 4 4-22-221 只+1 40。-12 4。 ,<C<4201+7 4-12-41 <C<4-4 1-+1-27<C 4 <CK42,+1 P弹塑性变形，P,弹性变形，P,弹塑性变形 1-d-2+√(02+2-2野+8队 P塑性变形P2、P弹性变形 P弹塑性变形，P,弹性变形P弹塑性变形 P弹性变形，P,P弹塑性变形 业 (1+22 4 4-21-2以1 4<421-元 4 4-0。-1P 4. 4+12-4M <CK4-22-2i 年2+顶4-2- P,塑性变形，P弹性变形，P,弹理性变形P,塑性变形，P,弹性变形，P,弹塑性变形 -1-2+√2+1-2+8 <C< P,弹塑性变形，P,弹性变形，P弹塑性变形 2 4 山 42以1-2万 4 G>42以-2元 P弹塑性变形，P,、P,弹塑性变形 P,塑性变形，P,P,弹塑性变形 4 42m1- P塑性变形，P,P,弹塑性变形 图2不锈钢复合板截面随弯曲曲率比变化过程 Fig.2 Section variation process of stainless steel clad plates with curvature 12 0.5 0 0-1=1/5 ■元=0.6 0 1=14 8 ◆。=0.9 ★-1=1/3 OL/ 6 =14 -0.5 字1=12 =1.8 4 -1.0- ● 0 上本 ★ -1.5 -2 -2.0 -4 -2.5 -6 -3 6.500.751.001.251.501.752.002.25250 0.75 1.00 1.251.50 1.75 2.00 弯曲曲率比C 弯曲曲率比，C 图3不同屈服强度比下中性层偏移量(A=1/3) 图4不同覆层厚度下中性层偏移量(A。=0.9) Fig.3 Values of neutral layer offset at different yield limit ratios (A Fig.4 Values of neutral layer offset at different cladding proportions =1/3) (入。=0.9) 似于单一材料板材，可看作是与加载弯矩M反向等值 由于不锈钢复合板弹性加载过程没有中性层偏 的弯矩-M所引起的弹性效应.结合表1中弹性加载 移，回弹过程同样不出现中性层偏移.回弹后残余应 时的M,弹复曲率比C,满足 力o为 G=成 (10) r(A。+Crz)02, 1-A<z≤1； 1 式中，M,为厚度为H的单位宽度基层材料板材的弹性 (1+Crz)0a, c+e<z≤1-A; 极限弯矩. 0。= 1 1 当弯曲曲率比为C时，回弹后的残留曲率比C,为 (C:-Ge+C)oa,-C+e<iC+ei C。=C+C (11) (-1+C2)02. -1≤：<-+e 将式(10)中C,代入式(11)，可得 C。=C-M. (12) (13)

张 超等 ：双金属复合板矫直过程 的弯 曲及 弹复解析 ·1321· 殳 删1 堡 噬 廿 图2 不锈钢复合板截面随弯曲曲率比变化过 程 Fig．2 Section variation processofstainlesssteelclad plateswith curvature 图 3 不同屈服强度 比下中性层偏移量 (A=1／3) Fig．3 Valuesofneutrallayeroffsetatdifferentyieldlimitratios(A = 1／31 似 于单一材料板材 ，可看作是与加 载弯矩 反 向等值 的弯矩 一 所引起 的弹性效应．结 合表 1中弹性 加载 时的 ，弹复曲率 比 c满足 c = = (10) 式 中 ， ．为厚度为 日的单 位宽度基 层材料 板材 的弹性 极 限弯矩． 当弯 曲曲率 比为 c时 ，回弹后的残 留曲率 比 c为 C。=C+Cr (11) 将式 (10)中 C代人式 (11)，可得 C =C—M． (12) 宝 ⅢIl 堡 嗵 廿 图 4 不 同覆层厚度下 中性层偏移量(A =0．9) Fig．4 Valuesofneutrallayeroffsetatdifferentcladdingproportions (A =0．9) 由于不锈 钢 复合板 弹 性加 载 过程 没 有 中性 层偏 移 。回弹过程 同样不 出现 中性层 偏移．回弹后残 余应 力 为 (A +C )or2， 1一A<。≤1； (1+Cfz) 吉+e<≤1一A； (一ce+) 一_1_+e<。≤吉+e； (一1+c ， 一1≤<一吉+e． (13)