B8开.16.1S87.1ss1U01053x.I956.01.0T 論展佈在無限域上具弱奇性 核積分算子的全連續性 潘文熙 (数学教研組) 〔提要)本文證明了在無限域2上，具條件（)的核：(s,1)在2×2上可 测，且 ()(,)=(是)，=i-1,心， 5=(54,5,…5w）,1=（1,1…1m）, (a)）(e,)=w(。a),p=√1-i+ia8,心， 所確定的稍分算子是由1”(2)映入，”(Q)的金速繽第子，遥裡2是稚厥氏空 間中的城，又證明在條件（人*）一一條件(K)加股R(s,)在s牛1處速續一的 條件下，則是由有界速箱两數空間*(Q)映入(*(？）的企連辕算子。糊於有限域 的情形是由M1X门HH氏〔1〕所推導的，現在對無鶸遠處的M熊假歌了在()的限 制下，就可以推到無限域情形，它的推演依靠着燥核K:(s,)=K(5,) K(t,4)d4的性態而穫得的，主要桔集是出定理1、2的證明起着重要的作用。 1,引言税分方程用退化核逼近核的解法，近年代道搂推廣到具有全连續性算子 (BnoAHe-HenpepLBHiie onepaTop）的方程中去，見〔1]、〔2]。所謂会速算子 是定義在希附柏特公間或赋范空閥（全空閻)上的線性算子，它把任-~行界集映成篇列 紧集，或者與此相當的，即算子是有限秩子的均匀收歙樾限（依算子范數的）。MHyH“ 〔2〕證明過由啡里得霍偷(redholm)氏核，即个乎條件|K(s,)|lr<o∞ 0×0 的核(，1)所確定的戳分算子是全速锻第子，此外，還有-一無界核也確定-·個全 速箱算子，也MHXAHH氏所證出。避顧核便是有限域上的弱奇性：核(apo co CA16oH oco6 eHOCT6o),即K(s,t)在有限域2上說，是可测的，而且它在2中的不含s=t 的衢的任-一布界图域上是打界的，且存在常数，>，使 )=(是) (1) 远裡r=一11，雙割符號表示“中矢量的模（范救）。這時算子 (t)=jK(s,1)(t)t (2)
偷 展 沛 在 典 限 域 一 上 具 弱 奇 性 核 债 分 算 子 的 全 速 崎 性 潘 文 熙 数拿教研 组 〔提要 〕 本 文蹬明 了在熟限域 夕 上 ， 具 修件 左 的 核 厂 ， 功 在 夕 夕 上可 测 ， 且 左 ， 、 ， ，， ‘ 、 ‘ ’ 又万不万犷夕 ， 厂 一 ‘ 一 ‘ 分 ‘ ， ‘， 口 ， ， 么 式 、 ，‘ … … ，， ， ， 一 ‘， 乒专 一 、 ， … …八 ， ， 一 如 · 八丽价一 、 一 所碳 定 的稍分 算子 是 由 尸 夕 映入 夕 的全速擅 算 子 ， 道挫 夕 是 推欧氏空 简刀 ” 中的域 ， 又橙明 在 倏件 人 一一修 件 加 毅 兀 ， ，约 在 ‘ 粉才庭速糟— 的 倏件下 ， 则 是 由 有界座箱画数空简 叮 夕 映入 叮 夕 少的全连擅算 子 。 阴 朴有 限域 的情形 是 由 只试月 月 日 氏 〔 〕 所推尊的 ， 现在 到骊舅速庭 的钊 一 憨 假毅 了在 约 的限 制 下 ， 就 可 以推 到 燕 限 域 情 形 ， 它 的 推 演 依 靠 着 操 核 尤 ， 约 一 ， 二 户 召 兀 ， 时 。 的性熊 而楼 得 的 ， 主要桔果 是 由 定理 工 、 的蹬明 起着 重要 的作 用 。 引言 核分 方程 用退化 核逼近核 的解法 ， 近年 代道接推魔到具有全速擅性算子 日 “ 一 ‘ ‘日 乙‘ ‘ 几 三，夕的 方程 中 去 ， 兑 〔 〕 、 〔 〕 。 所 稍全速摘算 一子 是 定羡在希雨柏 特盛周 或 破范圣阴 全空 阴 上 的腺性算子 ， 它把任 一有界集映成 拐列 紧集 ， 或者典 此相 富 的 ， 即 算子 是有 限秩子 的均 匀收放恤限 依算 一 子范数 的 。 、 人。 〔 〕 橙明 趟 山 弗里 得霍偷 卢肠 叻 氏 核 ， 的核 厅 ， 约 所雄 定 的秋 分算子 是今速袖 算 子 。 “ 口合乎 倏件 产 澎 又 ， ’ 流 夕 此 外 ， 越有 一颧煞界核 一 也雄定 述植 算 子 ， 也 由 二 人。 氏 所蹬 出 。 运顿 核便是有 限域 上 的 弱奇 性核 只 冲 。 一 于固 全 支 衍 ’ 二 ， 即 瓦 ， 劝 在有 限域 刀 上来视 ， 是可测 的 ， 而 且它在 夕 中的不含 的默 的任 一有 界阴 域 上是有 界的 ， 且存在常数 ， ‘， 。 ， 使 ’ 、 ， 才 一 吧 刀 一 八 夕 运和卫二 一 · 、 一 ， 坠 符既 表示 大儿 中矢量 的模 范数 而 才 一 少 ， ， 夕汉‘ 月 。 道 日李算 子 夕 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1956．01．011
第二期 一113一 的企速被性是果於州核(Tepnponan:o心np心)的华態（见i引理4)。因靄它使得 階數2”允分大的情况下，随算」了是趣被的，並根楼自軛算子A*A的企速敏性盔 含A的金速箱：道一事致，可以推1的企逆籟祉)淀使是xH〔1)所深用的證法 的精神。 對於度佈在無限城上的算子（。)说，它的定以及它的题核性熊期然就们苦成 到核在無弱遠虑的性您：如牡把遣方限制在：-一定除件下一一下面便見是條件（人）， 使得允分高的数的她核成像弗！金倫氏核，那水(！)在無限域上配，仍疏定一俏 全連箱算了，本女即作此推尊，下文期於有级城的各旅引理酚於MxH氏，定理1至 定理6是本文的新證。 2.预備定理 禽要建立以下事管，引用删於瑕币声分性質，以及行股域戳分算-子已打的一些钻 果作窩預備定理。以下都假散盟是〃厮C容間“中的點。城”是”中的域， 〔引理1)殷=‖4-4， 弘，。e”,R,i都是個正的常数，那求 言。其中n=.2六 （僑方便起兒，以下用單贺分號代恭〃甭乱了) 證：命 4,=(4:0,化°，…，nP),作坐標變换： 1=,0+ru.8, =.U十ri81阳 小“…。*””*“ 4n-1=0H-1十yn01ii82…78r-2C0s8-1 4#=n"+rsnd1.7u0…si2H,-2i8n-1 放日，4，，4) a(r,91,…,8=1） CUSB1 -5191 0*年"***0 91cut± r℃0s81C0502…0 sine sineacust rU581906g…0 sindsin3.sin9ncuxen-1 rC0.01sin0…cs0%-1…-rsiz61…sn9n-1 ！inB:si2ne…rld一2Hf-1 rt0r9,sin82…Siz0r-1…rs2n91…c0s0n-1 =r-t2n-gd5in-d2…i江9x-2 t d 形-i ‖u-ol<I
第 二 期 一 一 的全连擅性是从价梅 核 二叩叩 。 、 。 。 只 即 。 的性憩 见 、 山 引理 。 囚 将它使 得 在 陆数 左 充 分大 的情 况 一 「， 才 礁 算 是速袖 的 。 业 权孩 自扼 算子 过 的介速袖 性藕 含 的蚕速植性适 一事 贫 ， 可 以寸纽知 、 ‘ 的全速袱 比 二 适使 是 际 。 ， 〔 〕 所探 用 的橙法 的精神 。 封 岭展怖在姆限域 上 的算 了 交 水改 ， 它 的摊 定以 及 它 的履核性想欺然就须者撇 到 核在舞舞速虑 的性慈 如 架把 址 方血 限制 在 一 定修件下一一 厂面便兑 是修件 ， 使得充 分高 的 附数 的处核成 挤 弗少 科雀偷氏 核 ， 那 长 在姆限域 上砒 ， 仍 摊 定一们 全速植算 子 ， 木 文只 作 此推琳 ， 厂文阶价 有限域 的扮位 引理 风朴 胡 氏 。 定理 至 定理 是本 文 的新橙 。 镇铺定理 焉耍建立以 下事育 ， 引 用朋价瑕 币右、分性竹 ， 以 及 有限域」私 分算 户已 有 的一些拮 果作焉预俪 定理 。 以 下都假 毁侮黔是 ，， 稚 队氏 赛 周 产 中的默 。 域 刃 是 丫 ‘ 的域 。 〔弓理 〕 毅 一 ， 户一 诀 一、 ， 一 二侧 ， 、 ， 、 。 了 ， 人 ， 。 都是佃正 的常数 ， 那 宋 少 一尤 一喊 召 扩占 杯 — 一 一 一 “ ， 二二一 一 。 ” 。 。 其 中 左， 一 ，乙 一 二〔 一 方 得方便起兑 ， 以 下用 单称 分貌 代朴 、 市租 蹬 命 编 一 、 。 ， 、 。 ， … … ， ‘ 。 ， 作 秘 芍 一 芍 十 厂 口‘ 口 朴 一 “ 刃十 灯加夕 ‘ 哪九 仁镖讨换 忍 、 一 砂 ” 一 工十 产瓜无白 万 日犷 · · … 万九 口 ， 一 口 口、 一 一 ‘ 。 灯动 当 、 汀耐 了 · · …万则 ， 、 一 刀 耐 。 一 、 二 、 ， 、 ， … … ， “ 故 生毛兰 毕 一 兰 艺 ’ ， 户 手 介 ， 。 ， … … ， 九一 ， ‘ 口 。 ， 一 … · 、 。 ， 。 、 刀 日 厂儿 夕 万日只 一 ， ，龙 口 口 。 · · … “ … … 。 口 厂 口 己 ‘ 口 · · · · · · · · · · · · · · · · … … ’ ‘ ’ ‘ ” ’ ‘ ” · 口 厂阳川 万” 乡 川劝 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · … … 口 石尤 「少 对川 了 ， 爪 侧一 却巧 ，卜 万耐 万川 了 二 汀则 ， 一 功 日、 一 ， 叮’ 日’ 加口犷 二 ‘ 口， 一 ’ 一 尹’ ” 日’ 二 而尤 夕， 一 少 夕 艺龙 归 … 龙 。 一 ，… 犷 艺龙 夕 … 卜 一 产一 ‘ 动 ” 一 竺 口 ，’ 俨一 夕’ · 万耐 ， 一 ” 人 邵 一 邵口 产邓 艺 欲 、 一丫 」奋 故
-114- 钢院學報 [引理2) =.r0-, 一p一一，中”（藏鱂） <iu-1北 「引理3〕0是常數，其徐同上，则 at =hn工 形十C ala’ ‖n-。‖>B 證：同上所作礎换，得到 ta alpo ,證完。 l4-4ol>形 我們把K2(s,)一压(，)K(4,1)1稱鴛二階核。這裡横割表示共軛複 航。一般地，當n是大於1的奇數，Fm(s,)=(s,)Fm1(,),而常加是 偶数時，Km(s,)=(R(弘，)Km-1(u,1)l弘，稀篇n階0核(n=3,4,…)。易 知K:(s,)湘應的算子是B=体A(注意此遮B是自軛的)，K:n(s,)相應的算了 是m-。在有限域Q上來花，已有MHXAHH氏洁果： 〔引理4〕骰是”中的行限域，K(s,)是2×2上的弱奇性核，滞足等式 (1),那末有 0(2) 當n一28>0 K2(s,)= 了0(1ogr) 常-28=0 常”-心0 )(1) 當-28<C, 暹裡r=ls一t川。 (见MHXAMH:精分方程論S10,1949) 〔引理5〕如果K(s,t)是有限城2×2上的弱奇性核，那未贝要正整數：合乎 n一2”d<c,則K2(s,)是有界核（上面引理立刻推出）。 〔引理6〕股2是有限域，K(s,)是2×2上的弱奇性核，那末（2)聯定了-· 倜由2(2)全空間映入2(2)中的全速續算子。（見〔〕(.80） 3.無限域上具有限制條件的弱奇性核的積分算子 现在討論到無限域2上的情形，核人(5，)無筹遠處的性態加上某些條件限 制。我們砣： K(5,)合條件(K)一就是說，K(s,1)在無限域Q×Q上可测。在不含s=1 的點的任-一有界阴城上有界。且存在正敷8，“，个乎 ⊙）窗=川，下面(1试孩立，(，)=0（)，>0，(1)
一 钢 院 祭粗 〔引 、 。 〕 一 多 一左 月 了产 一 尸一 几 ， 邓 一 尸 一 — 一 一 一 ， 尸铸 、 ， 萧略 夕 龙 一 尹 刃 、 一 执 ， 刀 「引理 〕 少 口 是常数 ， 其 除同 上 ， 了 汉形 ， ， 一— 邝 ” — ， 厂 忿 十 几 、 一 二。 刀 蹬 同上所作邂换 ， 得到 径 、 刀 牛 刀“ ‘ 孟 山 蹬完 。 卜 、 。 左 尤 我侧把 ， 才 一 位 。 一般地 ， 尤 “ 甜 、 厂 “ ， 才 赏 ，，， 是大 决 的奇 数 ， 厂州 ， ， ‘ 、 桥焉二陪叠 核 。 一行 一 ‘ 一 ’ 甜 退视横割表 示共扼校 、 ，约 、 ， 而 常叨 是 偶数晗 ， 兀嫩 扣 ， ‘ 一 厂了瓦两 州一 ， 、 ， ‘ 汉“ ， 桥将 叨 陪叠核 一 “ ， ， … … · 易 一 甜 女口尤 ， 才 是 方 欢一 ’ 。 相 瞧 的算 子 是 一 刀 刀 注意 此虚 刀是 自扼 的 ， 尤 脚 ， ， 约 相 瞧 的 算 在 有 限域 夕 上来 靛 ， 已 有 似 人 二 氏 拮果 〔弓 理 〕 敲 夕 是 几允 中的有 限域 ， 万 ， ， 劝 是 夕 丫 夕 上 的弱奇性核 ， 浦足等式 ， 那末有 犷 刀 一 澎 门 、 一 二 常” 一 口 常二 一 八一 常 、 一 占 。 ， 常 令 。 。 、 一 少、 、 了 、 定视 二 一 ， 一 引 。 觅 人。 狱分方程流 县 ， 〔弓 理 〕 如 果 尤 ， ， 约 是有 限域 夕 又 招 上 的弱奇 性核 ， 那末 只要 正整数 从 合乎 、 一 衅 。 口 ， 叨 ，约 是有界核 上面 引理立 刻推 出 。 〔弓 理 〕 理 。 是有 限域 ， ， 约 是 犯 火 卫 土 的弱奇 性 核 ， 那末 殊 定 了一 侗 由 石 夕 全空 简映入 夕 夕中的全速糟算 子 。 兑 〔 〕 ‘一 热限域上具有限制 睐件的弱奇性核的精分算子 现在 衬益到舞限域 夕 土 的情 形 ， 当核 厂 ， ， 约 在熟躺遗虑 的性熊 加 上某些低 件 限 制 。 我们 浅 ‘ ， 约 合倏件 左 — 就 是视 ， ， 在姗限域 犯 刀 上可测 。 在不含 “ 一 才 的默 的任 一有界 阴域 上有界 。 且存在正数 ， ， 合 一 乎 ， 留 一 一 ， 。 。 ， 下面 ， 式成立 ， 、 ，，夕一 。， 一 寻二 ， ， 。 。 ， 夕 内一肠 一
第二期 一115- 问管=+2→e,下式度立，K(e,)=0（+。)，心0 (3) 首先見到，馀件(i)也當於乱，(”)嘗s‖-→+o∞， s”+a）均匀地威立，面管！2→+o©時，也有 K(5,)=0(1 0+。）均匀地政立。更隆切的藏，有在正戴北，及，M1, 不(5,1)=0(.1 (常數)，使常 s1,不論任何的1，都有 (s,)< M s+ 而管川1川么，不输任何的s,都有1K(s,)1<? (4) l+a 下面使用這倜條件导，只要(5,1)中有一倜自赞量的模大於，便能滿足上面的二個 做的估計式子。 〔定理1〕骰K(5,)在無限域Q×2上合乎條件(K),那末下式定的算子 A:()=K(s,)6(t)d (2) 是定義在2(。)全空間上派映入I2(2)中的線性算子。 證：鴛了要證明w()=K(s,)()t對乎處處的2中的默有定義（取 有限值)，可究 ok(s)()at=+o, 這裡g={4t1>R}12,放在e上，K(s,t)1<加 P=‖s+I11”,现在 {gxa,)=01w)gK,P叫gaK dt hM? (n+2a)+2e川13<oo。 式中‖：‖表示：()在L2(2)中的范數。此外 'a's ≤∫∫四 ItW<eIt‖<
第 二 期 一 一 节污。 住 一 甲 一干 才 舟的咔 ， 下式 成立 ， 尤 ，才 。 ， 又， 气— 一二 ， 一 移 十 夕 首先兑 到 ， 汀 ，才 倏件 也 于 常 朴砒 ， ‘ 常 ‘ 令 目寺 均 匀地成立 ， 而 常 州 分 二峙 ， 也有 兀 ，‘ 一 ‘ 一 门 ‘ 一 、 一 九 十 龙 十 夕均 匀地成立 。 更雄 切 的靛 ， 有在正数 ， 及邢 ， 乃了 ， 常数 ， 使 常 ‘厂、 了、， 一 一 一 ︸一刃才︷了 升 ， 不 湍任 何的 ‘ ， 都 有 而常 川 刀 ， 不 谕任何 的 ， 都有 厂 ，才 ， 才 忽 ” 。 下面使 用泣 佃慷 件 畴 ， 只 要 尤 ，约 中有 一佃 自砂量 的模大 朴 刀 ， 便能 满足 上面 的二 佃 植的估 补式子 。 〔定理 〕 毅厂 ， 在熟限域 夕 忍 上合乎 倏件 、 ‘ 一 ，， ， ， ， 产 甜 尤 ， 那末下式雄 定的 算 子 是 定羲在 石 刀 全空周上业映入 夕 中的腺性 算子 。 橙 铭 了要 澄明 有限值 ， 可 究 一 ‘ ， ，， ’ 甜 仍 约 心 封乎虚虚 的 夕 中的默 ‘ 有 定羡 取 了尤 ‘ ， ‘ ‘ ‘ 一 肠 尸 几 。 ， 是视 夕 ，， 才 刀 夕 故蒯 上 ， ，厂 一 ‘，‘心俏号 一 ” 一 刃 · ， 七 ，， “ 一 。 · ， 现在 · ‘ ‘汉‘ 斗毖 ，， ‘一 ‘，，“ ‘勺 ，· ‘ ，， ‘ 了 二 厂住 澄， 公 · 产 甜 才 雌 “ 左 ， 了 二 “ 才 “ 。 刀” “ 式 中 川 表示‘ 在 磨 中的范数 。 此外 ， 一 乏” 川 “ 撰争 “ 才 〕 ’ 三 夕 甜 才 咬城 址 ， — 一 ， 刀 二 刀 — 泌 才 ‘ “ 不 产 一 。 ‘ 才 左 才 左
-116-· 钢院學报 r=!-1目.對每一似s们，存套'，使被含於一新的域 2.=111-sit, 遥時，第一個甙分能換成 -*o0。、其大，了欲明 川1-s‖ 」-~(0野於中機乎定遮的：路是行限的，贝要蔽明敌分 ‖t-s非< ·=/ ,,01: 2s×2、 篇有限，但被穦式非负，依篇比尼(ii)定理，只要證明 2=()1dn 2.-0j 存在（有限)，但通是背定劉的（見引理1），逾樣燕證明了算小小：定在 2(2)全空間上。 其炙究 【4:f2={,K(,1)r(t)|s。 仍分僑2=Q+2”，,2”如上所速，术闪需 〔1K(,)m()0as=j++jj=1+L+1, o'o"o'o"2" 其中，1有限，這是因鴛2'×僑有限城，根據引理6便知道。其次 I2=s目K(s,1)m(t))≤ds1F(s,)1“w》< A ds dt '0g"月t12m+2:· 這裡A是僩常數，據引理3， g°8712m+2c= (u+2a)a,s=mg.0, 表示中的里别御度。所以I。是有限的。再其次， l-可g可g（)(）sgl(,)1 ' B dt ds p2+2a 2"×2 运經B是個常数，P=、s?+I1I:。命”×”茶間中经點俗 u=(5,1）=（51,…,5n,11,…,n）, 故Iu‖=P。但1s‖·，故在2”×2中4【∥，放 1<B 2+2a20.h20, <R
钢 院 举权 尹 一 ‘ 一科 ， 封征 一 侗 佃 ‘ ， 存在， 。 ， 使 穿 被含朴一新 的域 夕 一 川 ‘ 一 一 二汽‘ 口 才 一 〔 六 ， 症 畴 ， 第一 封司袱 分能 换 成 厂 ‘ 厂 刀 一 八 一 ， 方 ， ‘下 《 仁 。 入 共 次 ， 几 了淤明 ，一 丈刀‘ 一 〔丫 、 约 。 封朴‘ 中怨乎虑虑 的 ‘ 黔是有 限 的 ， 一 尹 只 要蔽 明 植分 少口 才一 】 允 ‘ 了 一 厂 甜 、 义 夕 ， 工一 二 ， 汉，厅 护 一 · 篇有 限 ， 但被横式非负 ， 依 富此 尼 尸赫 、 定理 ， 只 要斋明 ， ，心 一之 。 ‘ 卫 尹 那 夕夕 存在 有 限 ， 但疽是 肯 定绷 的 兑引 理 ， 运 株就 蹬 刚 丁 ‘ 林丁 一 刀 、 定莉 在 石 刀 个本 简 上 。 其次先 二 刀少‘ 仍 分 得 夕 ， 〔 了 夕 夕 一 穿 夕 ” ， 尤 、 ， 才 火 ，， 夕 ‘ ， 二 才 厂 ， ‘ 二 ‘ 。 夕 夕 ‘’ 如 上所 述 ， 那 末因 几 ，〕 二 少 十 夕‘ 刀 ‘， 川 一 ， 刀 ” 刃 其 中 ， 。 。 有 限 ， 根楼 弓 理 便知道 。 其次 七 · 吸 运 是 因 得夕 尤 ， 夕产 才 厂 引 甜叼’ 甜 尤 ， 汉， 忍， 厂召 “ 才 才 陀 尸、 运视 月 是 了阶常数 ， 德 引理 比才 子 一 雌 仪 日 子 别 人邓 十 ， 是有 限 的 。 之的 ， 且 汉 一 刀，夕‘ ， 。 、 一 几 ， 夕 、 十 夕 川表 示 刀” 中的 里别 测度 。 所以 ‘ 只 一 弓 〔 一、 ， ， 另 习 ’ 夕 才 〕 气 再其次 ， 泌资 左 ， ‘ 口“ ‘ · 刀 ’ 州 丫 一 。 刃 ’ 又 夕 荡 视 刀 是 惆 ‘ 常 敷 ， 己才 汉 刀 ’ 尸 一 画 一 万 一 画万一、 ” 刀 ” 空 阴 中妙默几 、 ，才 一 ， … … ， 、 ， 才 ， … … ， 才， ， 故 ，， 。 但 夕 中 、 了 ， 故 八 “ 故在夕“ 那 声 龙 十 亢 儿 一 ￡ 二卯