空间啮合理论中的包络法

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1980.03.013 北京钢铁学院学报 1980年第3期 空间啮合理论中的包络法 数学教研室容尔谦 摘 要 空间啮合理论主要用以空间啮合定理·V=0为基础的运动学法，一般包络法 很少直接应用，中.】.JIHTBHH在著作“齿轮啮合原管”中，就认为包络法“十分 麻烦”，並认为运动学法“研究弧面蜗杆啮合时，这个方法是唯一的计算工具” 其实一般包络法的某些缺点（如不便在母面上讨论），在ToxMaH法的基础上，适 当作一些改进，是完全可以避免的，並且包络法有几何意义明显的优点，不少情况 下计算由于很少使用向量和直接用直角坐标而显得较简使。 本文试用包络法讨论蜗杆传动的空间啮合问题。对一搬包络法，授据矛盾的特 殊性，作了两点改进：(1)从机构运动的特点出发，限制母面只有位置改变汉有形 状改变，並且母面一般只出现在包络面单侧，对这种简单的包络，利用XI.「oxMa 法可将运动学法某些优点用在包络法中来。(2)针对包络法的买际，引入和使用若 干算符，包括新定义的称为相似做分的算符，利用算符及其性质使推导表达简明使 用方使。 一、坐标系 设两构件转动轴交错，构件I的曲面∑，与构件I的曲面二：分别以角速度01、①，绕两 相错轴转动。两轴最短矩离及方向为a,过ω：、02分别作垂直a的平面(r1)、(2)。两轴正 向夹角为Y(0≤Y<π)。和∑，（∑2）固连的坐标系为S1(Sz),S,(S2)绕z1(z2)轴转动。 坐标变换是〔6)： x1 =x2(-cosop 2 cosop:sino2 sin p1co8Y) +y2 sin o2 coso:coso2 sinp CosY)-z2 sin pi 8in Y a cos y =x 2 coso2 Bin o:sino2 cos CosY) (1.1) +y2(-sin p2 Binp:coB p2co8 p CosY)-z2 cosopi sin Y-a sin: Z:=(-x 2 sinp:-y 2 cos:)8in Y +z2 CosY x 2 =x1(-cosop coBo2 sino Bin 2 CosY) +y Bin coso2 cosopi sin2 CosY)-zI Bin p:BinY +acosp2 y2=x 1 coso sin 2 sin oi coBo:CosY) (1.2) +y(-sinpi sino2 coso1 cosop2 Cosy )-z:coB p 2 Bin Y asin2 Z2=(-x 1 sinoi -y cos sinY zi CosY dopi=ina(di p1、p:是坐标变换参数，d甲1 (=i21)i传动比，也用t表示运动参数，可指定t 103

北 京 钢 铁 学 院 学 报 1 9 8 0年第 s 期 空 间 啮 合 理 论 中 的 包 络 法 数学教研 室 容尔 谦 摘 要 空间 啮合 理 论 主要 用 以空 间啮合 定理 n . v 二 。 为墓 础 的运 动学法 , 一 般包络法 很 少直 接应 用 , 中 . 几 . 几 , BT 川; 在著作 “ 齿轮 啮合 原 管 ” 中 , 就认为包络法 “ 十分 麻 烦 ” , 业认 为运 动学法 “ 研 究弧 面蜗杆啮合 时 , 这 个方法 是唯 一 的计算工 具” 。 其实一 般 包 络法 的 某些 缺 点 ( 如 不便 在 母 面上 讨论 ) , 在 r o x M a H 法的基 础 上 , 适 当作一 些 改进 , 是 完全 可 以进免 的 , 业且 包络法有几 何 意义 明显 的优点 , 不 少情况 下计 算由 于很 少 使用 向量 和 直接用直 角坐 标 而 显得 较简便 。 本文试 用包 络法 讨论 蜗杆传动 的空 间啮合 问题 。 对一 般包络法 , 权 据矛 盾的特 殊 性 , 作 了两 点改进 : ( 1) 从机 构运 动的特点 出发 , 限制母面 只 有位里 改变没 有形 状 改变 , 业 且母 面 一 般 只 出现在包络 面单侧 , 对这 种 简单的包 络 , 利 用X . H . r o x M a H 法可将运 动学法 某 些优 点用在 包 络法 中来 。 ( 2) 针对包络法 的买 际 , 引入和 使用若 干算符 , 包括新 定义的 称 为相似微分 的算符 , 利 用算符及 其性质使推导表达简明使 用 方便 。 一 、 坐 标 系 .叫卜 ~ 争 设 两 构件转 动轴 交错 , 构件 l 的 曲面 E , 与 构件 I 的 曲面 名 : 分 别 以 角速 度。 : 、 。 : 绕两 相错 轴转动 。 两 轴最 短 矩离及方向为了 , 过藏 、 武分别 作垂 爵 的平面 ( 二 : ) 、 ( 二 : ) 。 两轴正 向夹 角为 Y ( o 三 Y < 二 ) 。 和 习 : ( 习 2 ) 固连的坐 标系为 S : ( S : ) , S : ( S : ) 绕 z : ( 2 2 )轴转动 。 坐标 变 换是 ( 6〕 : r x , = x : ( 一 co s 甲 2 e o s 甲 , 一 is n 甲 : is n 甲 , co s 丫 ) { + y Z ( 。 , n 甲 Z e o。 甲 ! 一 。 o 。 甲 Z o i n , ! cos : )一 : 。 i n ; ! 。 , n 丫 + · cos 甲 1 { y , = x Z ( e os 甲: 苗n 甲: 一 ia n 印: e o , 甲: e o s 丫 ) ! + y Z ( 一 。 , n 甲 Z o n 、 二 一 cos , : 。 甲 ! cos 丫 ) 一 : co 。 甲! ` n 丫 一 , n 甲 ! L z : = ( 一 x : s i n 甲: 一 y : cos 甲: )幼 n 丫 + z : e o s 丫 f x : = x : ( 一 e o s 甲 : co s 甲: 一 ia n 甲 : 苗 n 甲 : e o s 丫 ) 1 + y ` ( ` n 甲 , co s 甲 2 一 co s 甲 : 咖甲 : co s y ) 一 Z , s i n 甲 : is n y 十 a eOS 甲: 谧y : = x : ( co s 印 : ia n 甲 : 一 碗n 甲 : cos 甲 : e o s 丫 ) } + y , ( 一 ` n 甲 : 吕i n 甲: 一 c o s 甲 : “ 叨甲 : “ o8 y ) 一 z : “ . 甲: is n y 一 a iB n 甲 2 L 2 2 = ( 一 x : is n 甲 ; 一 y : co s 甲: ) ia n 丫 + z , co s 丫 ( 1 . 1) ( 1 . 2 ) 甲: 、 甲: 是 坐标 变换 参数 , 兜、 ; , : (黔 二 i : , ) i 传 动比 , 也用 u 甲 l u 甲 l 表 示运动 参数 , 可指 定 1 0 3 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1980. 03. 013

是p1或p2。 有时用一般的任两相对运动坐标系S,和S, x1=a1lx1+a12y+a13z1+d:（x1=a11x1+a21y1+a31z1+c1 yi=azixj+az2yj+a23z)+d2(y=a12xI+a22yi+as2z1+c2 (1.3) zI=a31x1+a32yj+a33z+d3(ZI=a13xi+a23yi+a33z1+Ca 二、算 符 定义和使用以下算符： 微分算行，D,=，D=即通借的微分算将，以下只对参数t用微分算行， 用到的函数都设二阶可微，注脚t一般省略。 转换坐标算符：设S1、S,是任两坐标系，坐标变换(1.3)简记作x1=x,(x1,y:,z1,t)3 y1=y(x1,y1,z1,t);z1=(x1,y1,z1,t),又设f是S!上的函数，定义转换坐标算符 A{11)为 A{1f(x1,y1,z1,t)=f(x1(x1,y1,z1,t),y(x1,y1,z1,t),z1(1,y,z1,t),t) 注脚t代表坐标变换参数，在不误解时省略。 按指定次序进行运算的两算符，称为两算符“相乘”，只有当它们进行运算是有意义时才 能相乘，算符相乘一般不满足交换律。 相似微分算符：对S:、S,两坐标系，定义以下两相似微分算符D(1),D(2),它们是： D(1)=A(12)DA(21) Dt2)=A(21)DA(12) 相似微分算符满足普通微分算符运算法则，例如D(2(f·g)=「D(2)g+gD(2)f。 以下列出算符有用的性质（证明从略），其中f、g、F代表S:或S,上可微函数，C、入、 常量。 (1)A11c=c。 (2)A)(入f+μg)=入A1J)f+μAI1g。 (3)A1(fg)=A11fAIg。 (4)A1)f(x,y1,z)=f(A1I)x,A1)y1,A11)z1。 (5)AIk)A(k1)f=A11f。 (6)A11)A(11)f=A1)f=f。 (7)f=0必要充分条件是A11)f=0。 (8)DA(11)f=A(1)Df+(A(11)fxjDA()x +A1)f1DA1)y,+A1)fz1D1)z1)。 比性质实际上是复合函数微分法。 (9)DA(21g=A(21)D1)g,A12Df=D1)A12f DA12)f=A12)D(2)f,A21)Dg=D2)A(21g 性质(8)可见D与A不满足交换律，(9)说明就S1、S2而言，例如DA(21,文交换次序，D变 成D1)。 但当算符D与A()是对不同参数的运算，这时是可以交换次序的，二次包络会遇到这 104

是 甲 ; 或 印 : 。 有时用 一般的任两相 对运 动坐 标系 S : 和 S , = a 一 : x 一+ a l : y , + a ; 5 2 一+ d : y : = a : l x r + a : : v , + a : 。 z 一 + d : z ` = a 3 l x : + a 。 : y ! + a s 5 2 , + d s ! x ’ { ` , = “ ! l x ` + “ 2 : y ! + a 3 ! z ! + c ! { y ’ “ “ ” x ’ + “ , ’ y ’ + “ , ’ z ’ + c ’ L z 一 = a 一 3 x 一 + a : 3 y : + a a a z : + c a ( 1 . 3 ) 二 、 算 符 定义 和 使用 以下算符 : 微分算符 : D : f = 理红 一 , D , f 二 票 即通 常 的微 分算符 , 以 下只 对参数 t 用 微分 算符 , U L 口 L 用 到的函数都设二阶可微 , 注脚 t 一 般 省略 。 转换坐标算符 : 设 S , 、 s , 是任两坐 标系 , 坐 标变换 ( 1 . 3 ) 简记作 x , = x , ( x , , y : . , z : , t ) ; y , = y , ( x ` , y : , z , , t ) ; z , = ( x , , y : , z : , t ) , 又设 f 是 S : 上的 函数 , 定义 转换坐标算符 A I ” ) 为 A {川 f ( x , , y , , 2 . , t ) = f ( x , ( x , , y , , z , , t ) , y , ( x , , y , , 2 . , t ) , z ! ( 、 l , y . , z : , t ) , t ) 注脚 t 代表坐 标变换参数 , 在不误 解时省略 。 按指定 次序 进 行运算的 两算符 , 称 为两 算符 “ 相乘 ” , 只有当它 们进行 运算是 有意义 l付才 能相 乘 , 算符相 乘 一般不 满 足交换律 。 相 似微 分算符 : 对 S : 、 S : 两坐标系 , 定义 以 下 两相 似微 分算符 D 《 ’ ) 、 D ( “ ) , 它 们是 : D ( ’ ) = A ( 工 2 ) D A ( 2 二 ) D ( 2 ) = A ( “ ` ) D A ( 工 恶 ) 相 似微 分 算符 满足普通 微分 算符运 算法 则 , 例如 D ( ’ ) ( f · g ) = f · D ( “ ) g + g · D ( : ) f 。 以 下列 出算符 有用 的性质 ( 证 明从 略 ) , 其 中 f 、 g 、 F 代 表 S : 或 S , 上可微 函数 , C 、 入 、 卜 常量 。 ( 1 ) A ( . , ) e = e 。 ( 2 ) A ( 川 ( 入f + 林g ) = 入 A ( ’ I ) f + 林 A ( 川 g 。 ( 3 ) A ( 曰 ) ( f g ) = A (川 f A ( ” ) g 。 ( 4 ) A 川 ) f ( x , , y j , z 一 ) = f ( A ( 川 x J , A ( 川 y j , A ( 川 z j 、 。 ( 5 ) A ( I “ ) A ( “ , ) f = A ( , j ) f 。 ( 6 ) A ( 五 , ) A ( 川 f = A ( I ` ) f = f 。 ( 7 ) f “ 0 必要充 分条件 是 A ( ” ) f 二 o 。 ( s ) D A ( 川 f = A ( 川 D f + ( A ( 川 f , i · D A ( ” ) x , + A ( 川 f ; 一 D A ( 川 y j + A ( 川 f z , · D ( 川 z 一 ) 。 比性质实际上 是复 合 函数微分法 。 ( 9 ) D A ( 2 ` ) g = A ( 2 ’ ) D ( ` ) g , A ( ’ “ ) D f = D ( ’ ) A “ 2 ) f D A ( ’ 2 ) f = A ( ’ “ ) D ( 2 ) f , A ( 么 ` ) D g = D ( 2 ) A ( “ ’ 、 g 性质 ( 8) 可 见 D 与 A 不 满 足交换 律 , ( 9) 说 明就 S ; 、 S : 而言 , 例如 D A ( “ ` ) 交 换次 序 , D 变 成 D ( ’ ) 。 但 当算符 D 与 A ( ` ’ )是 对不 同 参数的运 算 , 这时是可 以交 换次序的 , 二次 包 络会 遇到 这 1 0 4

种情况，即Ag)Df=DpAg11)f。 (10)设S2上：f=f(x2,y2,z2,t,S:上：F=F(x1,y1,z1,t) 则 D(2f=fx2D(2)x:+fvD(2y2+f:2D(2)z:+Df, D(i)F=Fx:D()x:+FyD(i)y:+F:D()z+DF (11)若F=A12)f则 Df+fx:D(2)x,+fy:.D(2)y,+f.D(:)zz =A21)(D)F-(Fx1D)x1+Fy1D1)y:+Fz1D1)z1)。 (12) D1)x1=-A12)(a1:D2)x2+a1zD21y2+a1D2)z2), 'D1)y1=-A12(a2D2)x2+a22D2)y2+a2,D2)z2, D1)z1=-A12)(a1D2)x2+ag2D2)y2+a3D2)z2)。 D2)x2=-A(21(a1D1)x1+a2iD1)y1+agD1)z1), D2)y2=-A21(a1aD1)x1+a2D1)y1+a32D1)z1), D(2)z2=-A(21(a13D1)x1+a2aD1)y1+a3aD1)z1)。 其中a,是(1.3)的系数。 (13)设「不含参数t,並且F=A12)f,则 D(2)f=fx2D()x:+fy2D()y:+f:2D()z: D1)F=0 反之，这两等式之一成立，则f不含参数t。 (14)设f与不含参数t,並且F=A(1)f,则 DF=-(FxD()x1+Fy:D()y+F:D(Dz) 应用包络法常遇到D1)x1、D1)y1、D)z1,D)x2、D)y:、D)z2,以及 D1)D1)x1、D)D1)y1、D1D1)z1,D2D(2)x2、D)D()y2、D2)D2)z:, 这些量完全由坐标变换决定，和讨论的曲面无关，因此可对坐标变换(1.1)(1.2)将它们华 出算出，不必每个问题去算，这样用起来就方便了。 D()x=y (i-cosY)-zicos:siny-asin coBY 平2 D'y,=-x(i1a-co8y）+2i8in:sinY-a0o8p,co8Y (2.1) D(1)z1=sin Y(x i coso:-yi sini -a) 92 D(2)x 2=y2(i21-cosY)-z:cosp:sin Y-asino2 CoSY D(2)y2=-x(i:-coBY)+z:sin p:sinY acosoa Co8Y (2.2) D(2)z2=sinY(x 2 coB2-y 2 Bin2-a) D(1 )D()x=x (-1-i2+2icoY+sin2iBinY)+yi sinicos:BinY P 2 +zi sin p sin Y(2i1 2-cosY)acos(1-2i1 :COBY), )()D(y xisini cosoisin2Y+y(-1-i+2i12 co8Y+cos2pisin2Y) 2 zi cospi sin Y(2i :2 cosY)asin (1-2i1 2C08Y), D()D():=-sinY CosY(x sin+yi cos:)-zisinYo (2.3) 2 105

种情况 , ( 10 ) 则 即 A 么” ’ D , f = D , A 二” ’ f 。 设 S : 上 : D ( 2 ) f D ( ` ) F f = = f x : f ( x : , y : , z : , t ) , S : 上 : F = F ( x : , y : , z , , t ) · D ( 2 ) 、 2 + f · y : · D ( : ) y : + f : : · D ( 2 ) z : + D f , = F : l · D ( ’ ) x x + F , : · D ( ’ ) y ; + F : 一 D 川 z 一 + D F 。 ( 1 1 ) 若 F = A ( ’ : ) f 则 ( 1 2 ) D f + f 、 2 · D ( ’ ) x Z + f y : · D ( 2 ) y : + f · D ( 2 ) z : = A ( “ ’ ) 〔o 川 F 一 ( F : : · D 川 x , + F , : · D 川 y : + F : : · D川 z , )〕 。 D ( ` ) x : = 一 A ( ’ ` ) ( a 一 : D ( 么 ) x : + a : : D ( “ ) y : + a x s D ( 2 ) z : ) , ’ n ( ` ) y ; = 一 A ( ` ’ ) ( a : 一 D ( ` ) x : + a : : D 川 y : + a : 3 D ( 盆 ) z : ) , D川 z , = 一 A ( ’ “ ) ( a 。 : o ( “ ) x : + a 3 Z D ( ’ ) y : + a : 。 D ( 名 ) ` : ) 。 f o ( ’ ) x Z = 一 A ( ’ ` ) ( a , , D ( ’ ) x : + a : : D ( ` ) y : + a : : D 川 z : ) , < D ` “ ’ y : = 一 A ` “ ’ ) ( a , : D 川 x , + a : : D ( ` ) y ; + a 。 : D ( ’ ) z : ) , ( D ` “ ) z : = 一 A ( “ ) ( a : 。 D ( ’ ) x : + a : 3 D ( ` ) y : + a 。 3 D ( ’ ) z : ) 。 其中 a : , 是 ( 1 . 3 ) 的系数 。 ( 13 ) 设 f 不 含参数 t , 业 且 F = A 《 ’ “ f) , 则 D ( ’ ) f = f : : · D ( 2 ) x : + f , : · D ( 2 ) y Z + f : 2 · D ( 名 ) z : 。 D ( ` ) F = 0 反之 , 这两 等式之 一成立 , 则 f 不 含参数 t 。 ( 1 4) 设 f 与不 含参数 t , 业且 F = A ( ’ “ f) , 则 D F = 一 ( F : l · D ( ’ ) x ; + F , l · D 川 y l + F z 一 D ( ’ ) z : ) 应 用 包 络法常 遇 ylJ D ( ` ) x , 、 D ( ’ ) y , 、 D ( ’ ) z , , D ( “ ) x : 、 D ` : ) y : 、 D ( 名 , z : , 以 及 l〕 ( ` ) D ( ` ) x , 、 D ( ` ) D ( ’ ) y ; 、 D ( ’ ) D ( ’ ) z , , D ( “ ) D ( 2 ) x : 、 D ( 2 ) D ( . ) y : 、 D ( 2 ) D ( : ) 2 1 , 这 些量 完全 由坐标变 换决定 , 和讨 论的 曲面 无关 , 因此 可 对坐标变换 ( 1 . 1 ) 、 ( 1 . 2) 将它们事 出算出 , 不 必每个问 题去算 , 这样用 起 来就 方便 了 。 : D李; ’ x , = D耗 ’ y l = 叱 ’ z , = y , ( i ; : 一 e o 吕 Y ) 一 2 1 e os 甲一 is n 丫 一 a 颐n 甲 a cos y 一 x z ( i : : 一 e o s 丫 ) + z , s i n 甲 : s i n 丫 一 a 咖甲 一 co s y is n y ( x , e o s pr : 一 y 1 s i n pr : 一 a ) ( 2 . 1) D 《 “ ) x : 二 { 。 下; 、 _ 长 口二 . 一 乙 : 二 岁 l - y : ( i : , 一 co s y ) 一 z : e o s 印: s i n y 一 a 苗n 甲 2 c o s y 一 x : ( i : , 一 co s 丫 ) + z : 公 n 甲 : ia n 丫 一 a cos 甲 : cos 丫 瓦n y ( x : e os 甲: 一 y : s i n 甲: 一 a ) ( 2 . 2 ) 〔 D 川 D 端 ` 川 x , } 甲 2 甲 盆 = x , ( 一 1 一 2 + 2 1 : : e os 丫 + s i n Z甲 , 颐n Z丫 ) + y : ia n 甲: 哪甲: 画n 名 丫 `’李; ’ D尝; ’ y l D ( , ) D 川 z : 甲 , 甲 , + z : ia n 甲 : is n y ( 2 1 , : 一 e o s y ) + a e os 甲 , ( l 一 2 1 : : c O . Y ) , = x , ia n 印 : co s 甲 ; , i n Z丫 + y , ( 一 1 一 i圣 : + 2 1 : : e os 丫 + 。 s “ 甲 : ia n “ 丫 ) + z 、 co s 甲 、 颐n y ( 2 1 , : 一 c o s 丫 ) 一 a 吕i n 甲 , ( 1 一 2 1 、 : e 。 吕 Y ) , = 一 is n Y co s 丫 ( x , 苗n 甲 , + y , e o s pr , ) 一 z , s i n Z Y 。 ( 2 . 3 ) ! . l l .、.esl 10 5

D(2)D(:)x:=x (-1-i+2i:1C08Y+sin2op:Bin2Y)+y:sinp:co:CoBY +z:Bino:sin Y(2i:1-CoBY)+aco8:(1-2i:1 Co8Y), D(:)D(:)y:=x:sin co:n+y:(-1-i+2i:CoBY+co:BinY) I +z:coso:gin Y(2i:1-CoBY)-aginoa(1-2i21CO8Y), D(:)D(2)z:=-sin YCosY(x2sin+y:co:)-za 8in*Y (2.4) 」1 若v(1)是相对速度向量，则不难验证 v)=D()x v()=D(y v2)-D(), X2 即对坐标变量x2、y:、z在S:上的一阶相似微分是相对速度V(12)在S:的三个投影，所以 相对速度是一阶相似徽分的特例。 三、包络面、接触线 现从另一角度讨论曲面族的包络，即将它看作某种极值问题。包络面是两构件相对运动 的产物，当一构件对另一构件相对运动，这构件的曲面称为母面，这样的母面与微分几何中 一般单参数曲面族比较有两个特点：(1)母面只有位置的改变没有形状的改变。(2)为了不 产生干涉，使运动成为实际可能，一构件在接触点附近总是在另一构件的单侧出现，即母面 在包络面单侧，称满足(1)、(2)的包络面为简单包络面。如不声明，本文包络面指简单包 络面。（非简单包络在二次包络中的二次作用面会遇到)。 设∑，是与S:固连的构件(I)的曲面。由于(1)在S,上曲面方程不含运动参数t, 即 D2:f=f(x2,y2,z2)=0 (3.1) 以下设「有连续偏导数，且它们不同时为零，即工2是光滑曲面，没有奇点。不妨设在 所考虑范围内f,2+0,当S2相对S,转动，22称为母面。以下f=0都表示母面方程，f将 不含参数，有时在上角注母面所在坐标系，如∑2方程也记作「()=0。 在S:上，∑：是运动曲面族{∑2}，{工，'}方程是 {∑2'}：A12)f=F(x1,y1,z1,t)=0 (3.2) 由于条件(1)，f不含t,即Df=0,由算符性质(13)知道f、F恒满足 (D(:)f=fx2D(2)x+fy:.D(2)y:+f:2D(2)z2 1D(1)F=0 (3.3) S:上t变动时，母面∑：'扫过的范围是S,的一个三维区域。这样S,在所考虑的那部 分空间将分为两部分，一部分2。上每点至少有一母面通过，另一部分Q,上每一点都没有一 个母面通过。2，和2，分界面称为母面族{二2}的包络面。记作∑，。 设M1是∑：上一定点，过M:作平行z:轴的直线L,∑2'与L交点P,则P,的z:坐 标只是t的函数，因为∑：是2。的边界，故t变动时z:将在∑：上M:点取得极值，由极值 的必要条件可得到通常微分几何的包络面满足的方程 5F(x1y1,21,t)=F=A12)f=0 2{F,(x1y2,)=DF=DA=0 (3.4) 其中DF=0叫包络条件，以下将函数对运动参数求微分或相似微分等于零的条件都称为包络 条件。由极值充分条件可得出母面只出现在包络面单侧的特点(2)的解析条件是： 106

D二: ’ D二: ’ X , “ x “ ( 一 ` - : + 2 1 : 一咖 丫 + ia n Z 甲 : 越n Z 丫 ) + y : iB n 甲 : 哪甲: cos Z丫 月 、 几 ` 1 1 . “ ` 2 1 一 l ’ ~ ` . 洲 r 名 一 ` . ` , . J 丢 ~ ` . 丫 名 + z : 苗n 甲: ia n 丫( 2 1 : : 一 哪 丫) + a coa 甲: ( 1 一 2 1 : : 哪 Y ) D二: ’ D蕊: ’ y : = x : ` n 甲 : “ 甲: 成n ’ 丫 + y : ( 一 ` 一 `圣 ; + 2 ` : : “ , + eO8 ’ 甲 : ` n “ , , + z : 咖甲: 苗 n y ( 2 1 : : 一 c。 日 Y ) 一 a ia n 甲: ( 1 一 2 1 : 1 co s y ) , D蕊: ’ D蕊: ” : = 一 ia n y “ Y ` x : is n 甲: + y : O8C 甲 2 ’ 一 ` : ` n ’ Y ( 2 . 4 ) ! ! , !l 产 1 1 . . e J 若 v( ’ 名 ,是相对速度向量 , 则不难验证 v 二; ” = D ` “ ’ X : , v 二; ” = D ` “ ’ , 2 , v 二; ” = D ` ” , 即对坐标变里 x : 、 y : 、 z : 在 S : 上 的一阶相似 微分 是相对速 度 V ( ` 恶 )在 S : 的三个投影 , 所 以 相对速度是一阶相似微分的特例 。 三 、 包络面 、 接触线 现从 另一 角度讨 论曲面 族的包络 , 即将它 看作 某种极 值 问题 。 包 络面是 两构件相对 运动 的产物 , 当一 构件对 另一构件相对运 动 , 这构件的 曲面 称为母 面 , 这样的母 面与微 分 几何中 一般 单参数 曲面族 比较有两个特 点 : ( l) 母面 只有位置 的改 变没有形状的改变 。 ( 幻 为 了不 产生干 涉 , 使运 动成 为实际 可能 , 一构件在 接触 点 附近 总是在 另一构件的单侧 出现 , 即母面 在 包 络面 单侧 . 称 满足 ( 1 ) 、 ( 2) 的 包 络面为 简单 包络面 。 如不声 明 , 本 文 包络面 指 简单包 络 面 。 ( 非 简单包 络在 二次 包 络中的二次 作用面 会遇 到 ) 。 设 云 : 是 与 5 : 固 连的构件 ( I ) 的 曲面 。 由于 ( l) 在 S : 上曲面方程不 含运 动 参数 t, 即 名 : : f = f ( x : , y : , 2 2 ) = 0 ( 3 . 1 ) 以 下设 f 有连 续偏 导数 , 且它们不 同时为零 , 即 乙 : 是光 滑 曲面 , 没有奇点 。 不妨设 在 所考虑 范围内 f : : 钾 0, 当 S : 相对 S : 转动 , 习 2 称为母 面 。 以下 f = o 都表示母面 方程 , f 将 不含参数 , 有时在 上角注母 面所 在坐标系 , 如 乙 : 方程 也记作 f ( : ) = o 。 在 S : 上 , 习 : 是 运动 曲面 族 { 名 : ` } , { 万: ’ } 方程 是 { 公 : ’ } : A ( ` 名 ) f = F ( x : , y , , z , , t ) = o ( 3 . 2 ) 由于 条件 ( 1) , f 不含 t , 即 D f 二 O , 由算符 性质 ( 1 3 ) 知 道 f 、 F 恒 满 足 D ( 2 ) f = f : : · D ( 2 ) x : + f , 2 · D ( 2 ) y Z + f : : · D 川 z : D ( 且 ) F = 0 ( 3 . 3 ) S : 上 t 变 动时 , 母面 乙 : ` 扫过 的范围是 S : 的 一个三维 区 域 。 这样 S : 在所 考虑 的那部 分 空间将分为两 部 分 , 一部分 9 。 上每点至 少有一母 面通过 , 另一部分 9 , 上 每一点都没 有一 个母面通 过 。 Q 。 和 Q , 分界面 称 为母面 族 攫乙 : ’ } 的 包络面 。 记 作习 , 。 设 M : 是 名 : 上一 定点 , 过 M : 作平 行 z , 轴的直线 L , 名 : ’ 与 L 交点 P : , 则 P : 的 z : 坐 标只是 t 的 函数 , 因为 艺 : 是 Q : 的边 界 , 故 t 变 动 时 z ; 将 在 乙 : 上 M : 点 取得 极值 , 由极值 的必 要条件可得 到通 常 微分 几何的包 络面 满足 的方 程 E I : F ( x : , y ; , z : , t ) = F = A ( ` 2 ) f = o F : ( x , , y , , 2 1 , t ) = D F = D A ( , 幻 f = o ( 3 4 ) 其中D F = 0 叫包络 条 件 , 以 下 将 函数 对 运动 参数 求微 分 或相似 微分等于零的条件都 称为 包络 条 件 。 由极值充分 条件可 得 出母面 只 出现 在包 络面 单侧 的特点 ( 2) 的解 析 条件是: 1 0 6

F,=05F,+0 (3.5) 假设(3.5)在考虑范围内成立。 从(3.4)消去t就得到∑：的直角坐标方程，因F:卡0，由F,（x1,y1,z1,t)=0可 确定t=t(x1,y1,z1)即 0r22》》w0-0 (3.6) 1在咳合点的法向量是{)，「)，}则有 J 1 f)=Fxf()=Fvf()=Fm (3.7) XI 21 即啮合点处母面和包络面有重合的法向量。 (3.4)中t=to得到接触线C。:°与2，沿C,。相切。当t变动时C,分别在S1、 S2两坐标系形成两接触线族，在S:上，全部接触线组成整个包络面∑：，S:上C,。的方程 是 {A12)f=F=0t=t。 CDA(12)=DF=0 (3.8) 在S2上，由算符性质(9)交换算符次序 DA12)f=A(12)D(2)f=0 再由算符性质(7)、(13)得到在S2上包络条件是： D()f=fx2D(2)x2+fy2D(2)y2+fz2D(2)z2=0 (3.9) S:上C,。的方程是 c,0《径幸行) (母面方程) (3.10) 和(3.8)比较，C:。在S,和S,上方程形式相似只是包络条件在S:上改为相似微分D(2)。 S2上当t变动，一般说{C,}只复盖∑2的一部分区域、∑2由接触线组成的区城称为 工作区，记作工2”。工：不含接触线的区域称为非工作区，记作工2'。Σ2和∑，t分界线记 作「，显然：=三：“+「2+∑2‘。 t变动时，(3.10)给出S2“的表达式。 应用上有时只要母面上的接触线，现在不必象一般包络法那样，先将母面方程转到S:, 求出F,而直接用(3.10)，其中D(2)f=fx2D2)x2+f2D(2)y:+fz2D(2)2:中的 D()xz、D(2)y2、D2)z2在(2.2)已给出，不必再算。包络条件(3.9)实际上就是ΓOXM8H 法得出的啮合条件。 四、接触线在包络面上的包络线，一类界点 (1)曲面上曲线族的包络线设任一坐标系0-xy2上给定无奇点的光滑曲面艺， Σ：Φ(x,y,z)=0 其中中x、Φ，、中：连续並且不同时为零，不妨设考虑范围内Φ，牛0。Σ上有单参数曲线族 {L:}方程是 L:{(x,y,z)=0 (4.1) 1G(x,y,z,t)=0 107

F : = o , F t : 斗 0 ( 3 . 5 ) 假设 ( 3 . 5) 在考虑范围内成 立 。 从 ( 3 . 4 ) 消去 t 就 得 到 习 : 的直 角 坐标方 程 , 因 F : 。 斗 。 , 由 F : ( x : , y : , z : , t ) = 0 可 确定 t = t ( x , , y : , z , ) 即 乙 :l F ( x : , y l , z , , t ( x , , y , , z ; ) ) 二 f ( ’ ) ( x : , y : , z : ) 二 0 其 中 F : ( x ; , y , , z : , t ( x : , y , , z , ) ) , 0 ( 3 . 6 ) 乙 在 啮 合点的 法 向量是 f{ 立: ’ , `段 ’ , 伙 ’ } 则 有 叱 ’ = F ` : , f 即啮 合点 处母面和 包 络面有重 合的法向量 兮 ( 3 . 4 ) 中 t = t 。 得到接触线 C , 。 。 习 : 二{ ’ = F 丫 、 , `二: ’ = F ( 3 . 7 ) 与 习 ` 沿 C , 。 相切 。 当 t 变动 时 C , 分别 在 S : 、 S : 两坐 标系形成 两接触线族 , 在 S , 上 , 全 部接触线 组成 整个包络 面 名 : , S : 上 C . 。 的 方程 是 C : 。 A ( J Z ) f 二 F 二 o t = t 。 D A ( ’ 2 ) f = D F = 0 ( 3 . 8 ) 在 S : 上 , 再由算符 性质 由算符性质 (9 ) 交 换 算符次序 D A ( ` 艺 ) f 二 A ( ` “ ) D ( “ ) f = 0 (7 ) 、 ( 1 3 ) 得到在 S : 上 包络 条件是 : D ( “ ) f = f 笼 : 一 D ( 2 ) x Z + f y : · D ( 2 ) y Z + f z : · D ( : ) z : 二 o 的方程是 ( 3 9 ) S : 上C f 二 0 D ( 2 ) f = 0 ( 母面方 程 ) ( 包络 条 件 ) ( 3 . 1 0 ) 哎了. 、 0 C 和 (3 . 8) 比较 , C . 。 在 S : 和 S : 上方 程形 式 相似只 是包 络条件在 S : 上改 为相似微 分 D 《 ’ )o 5 2 上 当 t 变 动 , 一般 说 王C : } 只复 盖 习 : 的一 部分 区域 、 习 : 由接 触线 组成 的区域 称 为 工作区 , 记作 兄 : “ 。 习 : 不含接 触线 的区域 称为非 工作区 , 记 作 名 : r 。 艺 : “ 和 芝: r 分 界线记 作 r : , 显然 习: = 艺: “ + r : + 艺: ` 。 t 变动时 , (3 . 10 ) 给 出 艺 2 琴 的表 达式 。 应 用上 有时只 要母面 上的 接触 线 , 现在不 必象一 般 包络 法那样 , 先将母 面方 程转到 S : , 山求出 F , 而直 接用 ( 3 . 1 0 ) , 其 中 D ( “ ) f = f 二 : · D ( z ) x : + f , : · D ( 2 ) y : + f z : · D ( , ) : : 中的 D ( ’ ) x : 、 D ( ’ ) y : 、 D ( ’ ) 2 2在 ( 2 . 2 ) 已 给 出 , 不必再算 。 包 络条 件 ( 5 . 9 ) 实际上 就是 F o x , a H 法得出的啮合 条件 。 四 、 接 触线在包络 面 上 的包络线 , 一 类界 点 ( 1) 曲面上曲线族 的包络线 设任一坐 标 系 O 一 x y z 上给定无奇点的光滑曲面称 艺 : 中 ( x , y , z ) 二 0 其 中 中 : 、 小 , 、 巾 : 连续 业且不 同时 为零 , 不妨设考虑 范围 内中 : 今 。 。 艺 上 有单参数曲线 族 I L , } 方程 是 中 ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z , t ) = 0 ( 4 . 1 ) 了J ` 、几 、十 矛 L 嘴` ` 1 0 7