斜轧辊形曲面的数学分析

D0I:10.13374/i.issn1001一053x.1980.01.006 北京钢.铁学院学报 1980年第1期 斜轧辊形曲面的数学分析 制图教研室马香叢 摘 要 本文在斜轧成型生产实践的基础上，将运动中的轧件与轧辊的相互关系抽象为 曲面族和包络面的问题，然后用求包络面的方法导出了在已知轧件曲面的轴向剖线 时辊形曲面方程的通用公式。並封论了轧件为球、柱、锥、弧锥四种形体时辊形曲 面方程，为斜轧辊形設计、制造、检查提供了数学分析方法。 一、前言 在斜轧生产中，由于轧件轴线与轧辊轴线是交叉配置的，所以轧辊孔形曲面是非圆柱螺 旋面。因此，轧件的轴向剖线既不等同于轧辊孔型的轴向剖线，也不等同于轧辊孔型的法 向剖线。目前对于斜轧辊形的研究，在国内已见到发表的两篇论文：《交错轴轧制任意回转 曲面辊形方程的推导》〔5)、《斜轧辊形设计的数学方法》〔6)，它们提出的前提条件都是不 符合斜轧生产实际的。它们的结论是值得商權的。这就表明，弄请斜轧辊形曲面的形状，给 出其计算公式，不但在理论上是必要的，而且在实际生产中，对于辊形的设计、制造和检验 都是急需解决的课题。本文限于篇幅，只在理论上分析辊形曲面，并和文(5)、〔6)的作者进 行商榷。 二、辊形曲面方程 1.基本想法 假定轧辊不动，在轧制过程中，轧件绕轴z‘旋转、前进的同时，z又绕辊轴z旋转。这 样，轧件表面在以交叉点·为原点的静坐标系0xyz中就形成了单参数曲面族，辊形曲面就 是这一曲面族的包络。根据微分几何，'若已知曲面族S。的方程式： x=x(u,v,0) S。=y=y(u,v,6) (1) z=z(u,V,0) 则包络已的方程式是： x=.x(u,v,0) y=y(u,v,0) 2 Z=z(u,v,0) (2) +C A80+B8器 00 51

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年第 期 斜轧辊形曲面的数学分析 制 图教研 室 马番岑 摘 要 本 文在斜 轧成 型生产 实践 的墓 础 上 ， 将运 动 中的轧件 与轧辊 的相互 关 系抽 、 象为 曲面 旋 和 包络面 的 问题 ， 然后 用 求包 络面 的方 法导 出了在 已知 轧件 曲面 的轴 向剖线 时辊 形 曲面 方程 的通 用公 式 。 业针论 了轧件 为球 、 柱 、 锥 、 弧锥 四 种形 体时辊形 曲 面 方程 ， 为斜 轧辊 形 般 计 、 制造 、 ，检 查提 供 了数 学分 析 方法 。 一 、 前 、 曰 在 斜轧 生产 中 ， 由于轧件 轴线 与轧辊轴线 是 交叉配 置的 ， 所 以 轧辊 孔形 曲面 是非 圆柱螺 旋面 。 因此 ， 轧件 的轴 向剖 线既 不等 同 于轧辊 孔型 的轴 向剖线 ， 也 不 等 同于轧辊孔型 的法 向剖线 。 目前对 于斜轧辊形的研究 ， 在 国 内巳见 到发表的两篇论文 《 交错轴轧制任意回 转 曲面辊形方程 的推 导 》 〔 、 斜轧辊形设计 的数学方 法 》 〔 〕 ， 它们 提出的前提条件都是不 符 合斜轧生产 实际 的 。 它们 的结 论是值得 商榷的 。 这就表 明 ， 弄清 斜 轧辊形 曲面的形状 ， 给 出其计算公 式 ， 不但在 理 论上 是必 要 的 ， 而且在 实际 生产 中 ， 对 于辊形的设计 、 制造和 检验 都 是急需 解 决 的课 题 。 本文 限 于篇幅 ， 只 在理 论上 分析辊 形 曲面 ， 并和文 〔 〕 、 〔 〕的作者 进 行商榷 。 二 、 棍 形 曲面方程 甚 本想法 假 定轧 辊不动 ， 在 轧 制过 程 中 ， 轧件绕轴 产旋转 、 前 进 的同时 ， ‘ 又绕辊轴 旋转 。 这 样 ， 轧件 表 面在 以 交 叉点 。 为原点 的静坐标 系 。 中就 形成 了单参数 曲面族 ， 辊形 曲面就 是这一 曲面 族 的包络 。 根据 微 分几何 ， 若 已知 曲面 族 。 的方程 式 ， ， ， ， ， ， 则包络 名 的方 程 式 是 产 ， ， ， ， ， ， 几、 一 廿 器 斋 。 、、 名 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1980．01．006

式中： A= ay 0z B= 8z 0X1 C= 0x 8y u 8u Ou Ou Ou 8u (2) ay 0z 0z 6x 0x ay av av av av av ov ex A,B,C是曲面曲S。的法线向量的x,y,z分量，00，的，的则是轧件相对于辊 面的相对速度向量的分量，它们的点积为0，表明两者垂直，即沿法线无相对运动。 2.轧件曲面族方程式 正确地列出轧件运动时所形成的曲面族S,的方程式，是利用包络公式求辊形曲面的前提 条件。 在图1中，z,z'分别表示轧辊与轧件的轴线，它们之间的最短距离为A。,交叉角为 a。。在轧辊（图1中来画出）以角速度ω绕z旋转的推动下，轧件既绕z'以角速度®'旋转， 又沿z'以速度v=0A。ina。前进。若设轧辊不转，则z'就以角速度-①绕z旋转，并始终 保持A,Q。不变。轧件对于z'的直线运动 (因是旋转体，所以转动与否并不改变轧件曲 面形状，因而0'可以忽略)，和z相对于z的旋 转运动的合成就构成了轧件在坐标系0xyz中 的螺旋运动。辊形曲面就是轧件作这种运动时 所形成的曲面族的包络。 参考图1，设轧件表面的轴向剖线（母线） L的方程式是 0 X=f(β) (3) Z=g(B) y 由于轧件表面是旋转面，所以，在坐标系 o2x'y'z'中的方程式是： P=a0 x=f(B )coso S y!=f(B)sino (4) z=g(B) 坐标系02x‘y'z与坐标系0：x2y,22,两 图1 者的x'与x,重合。y′02平面相对于y20222 以x'为轴，反时针转动了α0.0：x2y,z2相对于坐标系o1x1y1z1沿z'轴(z'在y101z:平面 上)正向平移了p=a0的距离。坐标系01x1y1z:相对于坐标系oxyz正象图1所表示的那 样，既平移又旋转了0角。所以oxyz坐标与02x'y'z'之间的变换关系是： X co80-Bin0co8a。 in0aina。 = 8in0cos0co8a。 -cosesin ao 0 sin ao Co8 ao a0gin0aina。+A,co8日 + -a0coa9ina。+A,co86 (5) a0cos ao 52

式 中 日 日 日 ， 勿 一 如一 日一一口八 一 一口日一， 日口︵一 ︸ · 日︸之 ﹄ 一 一 ︸勿 一。 ， ， 是 曲面 曲 ， 的 法线向量 的 ， ， 分量 ， 则 是轧件相对 于辊 面 的相对速度 向量 的分量 ， 它们 的点积为 ， 表 明两者垂直 ， 即 沿 法线无 相对运动 。 轧 件 曲，族方 粗 式 正 确地列 出轧件运动 时所形 成的曲面族 ，的方程式 ， 是利用 包络 公 式求辊形 曲面 的前提 条 件 。 在 图 中 ， ， 尹 分别表 示轧辊与轧件的轴线 ， 它们 之 间 的最短 距 离为 。 ， 交叉角为 。 。 在轧辊 图 中来画 出 以角速度。 绕 旋转的推 动下 ， 轧件既绕 产以 角速度。 尹旋转 ， 又沿 产以速度 。 。 。 前进 。 若设轧辊不转 ， 则 ， 就以 角速度 一 。 绕 旋转 ， 并始终 保持 。 ， 。 不变 。 轧件对 于 ， 的直线运 动 因 是旋转体 ， 所 以 转动与否 并不改变轧件 曲 面形状 ， 因 而。 了 可 以 忽略 ， 和 尹 相 对于 的旋 转运动的合成 就构成 了轧件在 坐标系。 中 的螺旋运动 。 辊形 曲面 就 是轧件作这 种运 动 时 所形成 的曲面 族 的包络 。 参考图 ， 设 轧件表 面 的轴向剖 线 母线 的方程式 是 日 日 由于轧件表 面 是旋转面 ， ’ ’ 尹 中的方程式 是 产 日 哪 甲 ， 产 日 甲 产 日 所 以 ， 在 坐标 系 坐标系。 ， 产 ， 与坐标 系 。 了 ， 两 图 者的 尸 与 重 合 。 产 。 尹平面 相 对于 以 声为轴 ，反时针 转动 了 。 。 犷 相 对于坐标 系。 沿 产 轴 产在 平面 上 正 向平移 了 的距 离 。 坐标 系。 相对于坐标系。 正 象图 所表 示 的那 样 ， 既 平移又 旋转 了 角 。 所以 坐标与 。 了 尹 尹之 间 的变换关系是 ，，， 。 日 目 。 。 。 目 住 。 。 一 。 日 。 目 “ 悦 。 。 “ 几 廿胡 ” 田 “ 。 十 ， 廿 、 匕

将公式(4)代入公式（5)，即得以轧件表面为母面的曲面族S。的方程式 x=f(B)co8pco80-f(β)ain o sinθcosa。+ +g(B)8 insin a。+a0ain0sina。+Aocos0 y =f(B)cosopsin+f(B)sin pcos0cosao- (6) -g(B)cosOsin a-a0 cos0sin a.+Ao Bin z=f(B)sinsina。+g(B)cosa。+a 式中a=h'/2π ,五'一轧辊每转一转轧件沿其自身轴线z前进的距离（有时又写作t。)。 3.视形曲面方程 利用公式2，(2)和(6，求出相应的A,B,C和80，器、器， 即得辊形曲 面方程式（计算过程从略）。 x=f(B)cosop cos0-f(B)sin o sin0cosa+ +g(B)sin0 sin ao+a0ginsin ao+Ao cos0 y =f(B)coso sin0+f(B)sinocosecosa- -g(B)cosOsin ao-a0coBOsin ao+Aosin0 z=f(β)sin psin a,+g(β)cosa。+a6co8a。 (7) 0=f(B)f(B)coBBinao-f/(B)a+f(B)Ao Binao+ +g'(B)A。sin co8a。+g(B)g'(B)cos opsin a。+ +g(B)acososin ao 三、几种常見轧件的辊形曲面 1.当轧件为球体时 如图2，设在o2x'y'z坐标系内，在 IZ 02x'z平面上球的轴向剖线（母线）L的方程 是： X=f(B)=RcosB 八Z=g(B)=RinB (8) y2 0 do 式中：R一球的半径。 由公式(8)则有 X y f(B)=-Rsin B f=ae y Ao (9) g(B)=Rcos B X 将(8)、(9)代入公式(7)即得斜轧钢 球时的辊形曲面方程。 图2 53

将公 式 一 七入公 式 ， 即得 以轧件表 面为母面 的 曲面族 。 的方程 式 日 甲 一 甲 。 日 苗 。 址 。 。哪 日 咖甲苗 日 甲 “ 胡 。 一 一 日 咖 。 一 哪 。 。 苗 日 甲 。 日 。 “ 。 式 中 ’ “ ‘ － 轧 辊每转一 转轧件沿其 自身轴线， 前进 的距 离 有时 又 写作 。 。 棍形 曲面方粗 二一 。 八 小 ， 、 ， 。 ， 、 翔 ， 。 、 击 山 相 出 从 户 ， 口 口 口 目 拍 皿 刀 利用公式 ， ‘ 和 ， 求出相应 的 、 、 和 苍言 一 ， 号奈 、 答共 ， ’ 诸 ‘ ’ ‘ 、 、 一 ‘ ’ 、 一 ‘ ’ 、 一 ‘ 即得 辊形 曲 ” 一 ，“ 一 ” 碑 ‘ 一 、 一 、 一 ‘ ” 日 ’ 口 、 口 ’ 州 一 ’ ， ，翅 ， 梦 以， 面 方程式 计 算过程 从 略 。 日 甲 咖 一 日 甲 晰 。 日 碗 苗 。 时 。 。 加日 咖 甲 目 日 苗 甲 哪 。 一 乙 一 日 。 一 。 日 甲苗 。 日 咖 。 姗 。 日 尹 日 咖甲成 。 一 ， 日 ， 日 。 。 ， 日 。 成 甲哪 。 日 ， 日 甲成 。 尹 日 哪 甲成 。 三 、 几 种常晃轧件 的棍 形 曲面 当轧件 为球 体时 如图 ， 设 在 。 ， 产 ， 坐标 系内 ， 在 。 声 尹平面 上球 的轴向 剖线 母线 的方程 是 日 日 日 日 夕、矛飞 式 中 － 球 的半径 。 由公 式 则 有 ， 产 日 一 颐 日 ， ， 日 日 将 、 玉女入公 式 球 时 的辊 形 曲面 方程 。 即得 斜 轧钢 图

x =RcosB cosocos0-Rcos B sin sin0 cosao+ +Rinβsin0sin a。+a0 sinsin a。+Ao cos6 y Rcos B cosop sin0+R cos B sin pcos0 cosao- -Rain B cose9ina。-a9 cos0sin a。+A,sin0 (10) z=Rcos Bsin p sin ao+Rsin B cosao +acosa. 0=Ao sinop cosa +a coso sin ao- -tg B(Ao sin ao-a) 当0=0时，即得在交叉点处球面与辊面的接触线方程式，把它变到坐标系0x'y'z'中， 则得： x=R CosB coso y/=R cosB sino C。.z'=Rain B (11) sinp=tgBA。sina。-4 Aocosao 若A。ina。-a=0,即件轴剖线与法剖线等同，这时 x=RCo8B C。,y'=0 (12) z=Rsin B 这就是说：当轧件轴线与轧辊轴线夹角a,满足条件ina。=a/A。时，件轴剖线也就是 法剖线，是球形轧件的大圆。这与文献〔2)当时的结论是一致的。 条件ina。=a/A。正好符合轧件的运动关系。这时的a。也就是球心螺旋线的升角。 2.当轧件为圆柱体时 这时圆柱轴向剖线L的方程（图3）是： X=f(B)=r Liz-e(B)-8 (13) 式中：r一钢管半径。 辊形曲面方程是： x r cosop cos0-r sin o sin0cosao+ +Bsingin ao+asinOsin ao+A.co0 y =r cosop sin0 +rsin cos0coso- -Bco80gina。-a0cos0gina。+A。8in0(1l) z =rsin osina.+Bcosa.+a0cosao 02 B=-A。tgp cos co-a0 sin ao 2 如果轧件很长（比轧辊还长，钢管矫直机就是这样），我们可 在(14)中消去B,即得： 图3 54

咖日 日甲 临 一 日苗 甲成 亡丽 。 千 日 。 苗 。 。 日日 目 甲 哪 日哑 甲哪 。 一 一 日咖 。 一 。 。 颐 日 甲 。 日 。 。 甲 。 甲 。 一 一 日 。 。 一 当 二 时 ， 即得在 交叉点处球 面与 辊面 的接触线方程式 ， 把 它变到坐标系 。 尹 才 尹 中 ， 则得 产 日 甲 尹 日目 甲 。 、 尹 日 补 日鑫卫鱼丝〔 竺 八 日 口 。 若 。 。 一 二 ， 即件轴剖线与 法剖线等同 ， 这 时 产 日 ， 二 ’ 苗 这 就是说 当轧件轴线 与 轧 辊轴线夹 角 。 满足条件 。 二 。 时 ， 件轴剖线也就 是 法剖 线 ， 是球形 轧件 的大圆 。 这 与文献 幻 当时 的结 论是一 致 的 。 条件 。 。 正 好符 合 轧件的运 动关 系 。 这 时 的 。 也 就 是球心 螺旋线的 升 角 。 当轧 件 为一柱体时 这 时圆柱 轴向剖线 的方程 图 是 。 日 弓、 日 目 式 中 － 钢管半径 。 辊形 曲面方 程 是 日甲 一 甲 日 日 苗 。 成 。 。 二 哪 甲 成 苗 甲 。 一 一 日 。 一 。 。 甲 。 日咖 。 。 一 。 。 。 胆性竺旦一 一 一 。 如果 轧件很长 比轧 辊还长 ， 钢 管矫直 机就 是这 样 ， 我们 可 在 中消去 日 ， 即得 厂 山 曳 乏 图

x=r cosocos0-r sino sinecosao- -Aotgp Bin0co8a。+A。cos9 y =rcoso sin0+r sino cos0 cosao+ (15) +Aotgop cos0cosao+Ao sin co82 do z=rsinpsin ao-Aotg coo 由公式(15)可以看出，表示轧件前进运动的参数a消失了，这就是说当轧件比轧辊长 时，轧辊上就没有螺旋槽了，变成了旋转面，它就是钢管矫直机的辊面。令y=0,即可求得 轧辊轴向剖线方程式： x=(r cosop +Ao)v1+tg2ocos2ao cos2 o (15) z=r sinsin a。-A。tg sina。 这就是文献〔3)所载的钢管矫直机辊面参数方程。 关于接触线，只要在(15)式中令0=0就得到了它的方程式： (x =rcoso+Ao y rsinocosao+Aotgo cosao (16) cos2do z=rsin sino-A。tgo sina。 3.当轧件为圆锥体时 如图4，当轧件为倒置圆时，母线L的方程： X=f(B)=r-(B。-B)tgYo (17) Z=g(B)=B 式中：r一一锥底半径影 Y。一圆锥半顶角影 B。一锥底距原点的距离。 02 当圆锥正置时则有： X=f(B)=Y+(B。-B)tgYo 图4 辊形曲面方程是： x =(r -(B.-B)tgY](cosop cos0-sinopsin0cosao)+ +Bin0gina。+a0 sinsin a。+A,cos0 y=〔r-(B。-B)tgYo)(coso sin9+sin cos0 COB ao)- -fcos0ina。-a0cos0sina。+A,sin0 (18) z=〔r-(B。-B)tgYa〕ainp8ina。+Bco8ao-a0 COB &o 0=(r-(B。-B)tgYo)tgY,cosp sin a。-atgY。+A,tgY。inao+ +Ao sin cosao+B cosopsin ao+acosop sin ao 令Y。=0,公式(18)就变成了公式(14)，可见圆柱轧件是圆锥轧件的特例。 4.当轧件为孤锥体时 55

由公 式 可 以 看出 ， 时 ， 轧 辊上 就没 有螺旋槽 了 ， 车 辊轴向剖线方程式 够 甲 一 甲 日 。 一 一 。 甲 。 。 任 甲 甲 。 甲 。 。 。 吕 。 跳 印 田 。 一 八 之 甲 一二二二，，一一 一一 下 一 一 “ 一 “ 一 已 。 表 示轧件前进运 动 的参数 消失 了 ， 这 就 是说 当轧 件比轧 辊长 变成 了旋转面 ， 它就 是钢 管矫直机的辊面 。 令 ， 即可求得 甲 。 侧 下了而石孤砚 甲 。 一 。 ， 甲 。 日 田 这就是文 献 所 载的钢 管矫直机辊面 参数方程 。 关 于接触线 ， 只 要在 式 中令 就得 到 了它 的方程式 哪 甲 。 甲 昭 。 甲 日 。 甲 一 。 甲 。 日盆 山 口 。 ‘… 、 当 轧 件 为 一锥 体时 如 图 ， 当轧件为倒置圆锥时 ， 母 线 的方程 日 一 。 一 日 丫。 日 日 式 中 － 锥底半径 ， 。 － 圆锥半顶 角 。 － 锥底 距原点 的距 离 。 扩 当口锥正 里 二 时则 日 有 丫 。 一 日 丫 。 一 辊 形 曲面 方程 是 〔 一 。 一 日 。 〕 咖印 。 召 一 甲成 。 苗 。 苗 成 。 。 〔 一 。 一 日 。 〕 咖 甲苗 甲 帕 。 一 一 日 。 一 。 。 司 图 一 。 一 日 丫。 〕 甲 。 。 一 。 〔 一 。 一 日 丫 。 〕 。 甲 。 一 丫。 。 丫 。 。 。 甲 。 日 甲苗 。 甲 。 令 丫 。 ， 公 式 就变成 了公 式 ， 可 见圆 柱轧件 是圆 锥轧件的特例 。 当 轧 件 为 弧锥 休时