《线性代数》第6讲 可逆矩阵的逆矩阵

定义2设A是一个n阶矩阵, A n×n n2 A是行列式中元素a的代数余子式称 12 cof a [A4 n×n 是A的代数余子式矩阵. 6 2021/2/20

2021/2/20 6 定义2 设A是一个n阶矩阵, 11 12 1 21 22 2 1 2 [ ] n n ij n n n n nn a a a a a a A a a a a      = =         Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式. 称 11 12 1 21 22 2 1 2 cof [ ] n n ij n n n n nn A A A A A A A A A A A      = =         是A的代数余子式矩阵

称cofA的转置矩阵是4的伴随矩阵,记作adjA 或A AA nI A=(cof A 在22节的例6中已经证明了 A A AA A LA 7 2021/2/20

2021/2/20 7 称cof A的转置矩阵是A的伴随矩阵, 记作adj A 或A* 11 21 1 * 12 22 2 1 2 (cof ) n T n n n nn A A A A A A A A A A A     =         * | | | | | | | | A A AA A I A     = =         在2.2节的例6中已经证明了

同理可证,A=4,于是 AAAA=A1, (2.23) 当14≠0时,可得 AA=I,(24) A A 故当4≠=0时,A可逆,且 (225) 8 2021/2/20

2021/2/20 8 同理可证, A*A=|A|I, 于是 AA* =A*A=|A|I, (2.23) 当|A|0时, 可得 1 1 * * , (2.24) | | | | A A A A I A A     = =         1 * 1 . (2.25) | | A A A - = 故当|A|0时, A可逆, 且

定理2矩阵A可逆的充分必要条件是 ≠0,且 A A 9 2021/2/20

2021/2/20 9 定理2 矩阵A可逆的充分必要条件是: |A|0, 且 1 * 1 | | A A A - =

推论若A,B都是m阶矩阵,且AB=l,则BA=l,即 A,B皆可逆,且A,B互为逆矩阵 证由AB=,得团|B=1,|4≠0,B≠0,A,B皆可逆, 于是, BA=BA=A-ABA=A-IIA=A-14=I 因此,判断B是否为A的逆,只需验证AB=或 BA=/的一个等式成立即可 2021/2/20

2021/2/20 10 推论 若A,B都是n阶矩阵, 且AB=I, 则BA=I, 即 A,B皆可逆, 且A,B互为逆矩阵. 证 由AB=I, 得|A||B|=1, |A|0, B0, A,B皆可逆, 于是, BA=IBA=A-1ABA=A-1 IA=A-1A=I 因此, 判断B是否为A的逆, 只需验证AB=I或 BA=I的一个等式成立即可