第八章地基承载力第一一节概述筑物荷载的作用后，内部应力发生变化方面附加应力引起地基内土的变开键盗物起地基内一的的取若土体中某一区域内各点都达至的抗剪强度时，一点的土就处于限平衡状态及限平衡状就形成极限平，或称为塑性荷载继续增大，地基内极限平衡区的发展范围随之不断增大，局部的塑性区发展成连续贯穿到地表的整体滑动面。这时，基一部分土体将沿滑动面产生整体滑动，称为地基失去稳定。如果这种情况发生，建筑出物将发生严重的塌陷、倾倒等灾害性的破坏（图8-1地基承受荷载的能力称为地基承载力。地基承载力分为两种：一种称为极限承载力它是指地基即将丧失稳定性时的承载力。另一种称为容许承载力，它是指地基稳定有足够的安全度并且变形控制在建筑物容许范围内时的承载力。影响地基极限承载力的因素很多它与地基土的性质以及基础的埋置深度、宽度、形状有关。容许承载力则还与建筑物的结构特性等因素有关成理想的体中应力小于破坏应力时，或者是应力状态罩把地达到极限平衡条件之前，土为线弹性体；而在达到破坏应力后，或达到极限平衡条件后，则当成理想的塑性体第二节 地基的变形和失稳临塑荷载Per和极限承载力P即破坏）的发展过程，可用基从开载荷试验进行研究由载荷试验测得的p-S 曲线可以分成顺序发生的三个阶段（图8-2a)：良压密变形阶段（Oa）价段之间存在着两个二个界限荷载标志着地基土从压密阶段进入局部剪损阶段。当荷载小于这一界限荷载的地基内各点土体均未达到极限平衡状态。当荷载大于这一界限荷载时，直接位于基础下的局部士体，通常是基础边缘下的士体，首先达到极限平衡状态，于是地基内开始出现弹性区和塑性区同时并存。这一界限荷载，称为临塑荷载，用Pcr表示。第二个界限荷载标志着地基从局部剪损破坏阶段进入整体破坏阶段。这时基础下，滑动边界范围内的全部土体都处于塑性破坏状态，地基丧失稳定，称为极限荷载，也称为地基的极限承载力，用Pu表示坚直荷载下地基的破坏形式坏。但在松软的土层中，或当荷载板的埋置深度图8麦的前切较大时，也经常会出现图中所示的b型和c型的pS 曲线。b型曲线的特点是荷载板板底的压应力p与变形量S的关系从一开始就呈现非线性变化，且随着p的增加，变形加速发展但是直至地基破坏，仍然不会出现曲线a那样明显的变形突然急剧增加的现象。对于b型曲线，当地基破坏时，荷载板两侧地面只略微隆起，但变形速率加大，总变形量也很大这种破坏形式称为局部剪切破坏。局部剪切破坏的发展是渐进的，破坏面上的抗剪强度未能充分发挥出来，所以地基承载的能力较低。图8-3a中型曲线的变形比b型曲线的发展率更快。破环时两侧不发生土体隆起，地基土沿板侧发生垂直的剪切破坏面，这种破坏形式称为冲剪破坏体靓兰种破环形式地基土的性质和基础的理置深度有关。基土具体形成哪种破环形式主要与地现整体剪切破松软刚出现局部剪切环和冲剪彼球。随着基础理深的增加,局部剪切被坏和冲剪变得更为常见。埋入秒土中很深的基础，即使砂土很密实也不会出现整体剪切破坏现拿对于地基土破坏形式的定量判别，可采用魏西克刚度指标Ir的方法。地基土的刚度指标可用下式表示E(8-1)1,= 2(1+v)(c+q1g0)地基土的变形模量；V一地基土的泊松比：
1 第八章 地基承载力 第一节 概述 地基承受建筑物荷载的作用后，内部应力发生变化。一方面附加应力引起地基内土体 的变形，造成建筑物沉降。另一方面，引起地基内土体的剪应力增加。当某一点的剪应力 达到土的抗剪强度时，这一点的土就处于极限平衡状态。若土体中某一区域内各点都达到 极限平衡状态，就形成极限平衡区，或称为塑性区；如荷载继续增大，地基内极限平衡区 的发展范围随之不断增大，局部的塑性区发展成连续贯穿到地表的整体滑动面。这时，基 础下一部分土体将沿滑动面产生整体滑动，称为地基失去稳定。如果这种情况发生，建筑 物将发生严重的塌陷、倾倒等灾害性的破坏（图 8-1）。 地基承受荷载的能力称为地基承载力。地基承载力分为两种：一种称为极限承载力， 它是指地基即将丧失稳定性时的承载力。另一种称为容许承载力，它是指地基稳定有足够 的安全度并且变形控制在建筑物容许范围内时的承载力。影响地基极限承载力的因素很多， 它与地基土的性质以及基础的埋置深度、宽度、形状有关。容许承载力则还与建筑物的结 构特性等因素有关。 本章把地基土当成理想的弹塑性体。当土体中应力小于破坏应力时，或者是应力状态 达到极限平衡条件之前，土为线弹性体；而在达到破坏应力后，或达到极限平衡条件后， 则当成理想的塑性体。 第二节 地基的变形和失稳 一、临塑荷载 Pcr和极限承载力 Pu 地基从开始发生变形到失去稳定（即破坏）的发展过程，可用现场载荷试验进行研究。 由载荷试验测得的 p-S 曲线可以分成顺序发生的三个阶段（图 8-2a）：即压密变形阶段（Oa）、 局部剪损阶段 ab 和整体剪切破坏阶段（b 以后）。三个阶段之间存在着两个界限荷载。第 一个界限荷载标志着地基土从压密阶段进入局部剪损阶段。当荷载小于这一界限荷载时， 地基内各点土体均未达到极限平衡状态。当荷载大于这一界限荷载时，直接位于基础下的 局部土体，通常是基础边缘下的土体，首先达到极限平衡状态，于是地基内开始出现弹性 区和塑性区同时并存。这一界限荷载，称为临塑荷载，用 Pcr 表示。第二个界限荷载标志着 地基从局部剪损破坏阶段进入整体破坏阶段。这时基础下，滑动边界范围内的全部土体都 处于塑性破坏状态，地基丧失稳定，称为极限荷载，也称为地基的极限承载力，用 Pu 表示。 二、竖直荷载下地基的破坏形式 图 8-3a 中 a 曲线代表的是整体剪切破坏。但在松软的土层中，或当荷载板的埋置深度 较大时，也经常会出现图中所示的 b 型和 c 型的 p-S 曲线。b 型曲线的特点是荷载板板底的 压应力 p 与变形量 S 的关系从一开始就呈现非线性变化，且随着 p 的增加，变形加速发展， 但是直至地基破坏，仍然不会出现曲线 a 那样明显的变形突然急剧增加的现象。对于 b 型 曲线，当地基破坏时，荷载板两侧地面只略微隆起，但变形速率加大，总变形量也很大， 这种破坏形式称为局部剪切破坏。局部剪切破坏的发展是渐进的，破坏面上的抗剪强度未 能充分发挥出来，所以地基承载的能力较低。图 8-3a 中 c 型曲线的变形比 b 型曲线的发展 速率更快。破环时两侧不发生土体隆起，地基土沿板侧发生垂直的剪切破坏面，这种破坏 形式称为冲剪破坏。 整体剪切破坏、局部剪切破坏和冲剪破坏是竖直荷载作用下地基失稳的三种破坏形式。 地基土具体形成哪种破环形式主要与地基土的性质和基础的埋置深度有关。土质坚硬、密 实、基础埋深不大时，通常将出现整体剪切破坏。如地基土质松软则容易出现局部剪切破 坏和冲剪破坏。随着基础埋深的增加，局部剪切破坏和冲剪变得更为常见。埋入砂土中很 深的基础，即使砂土很密实也不会出现整体剪切破坏现象。 对于地基土破坏形式的定量判别，可采用魏西克刚度指标 Ir 的方法。地基土的刚度指 标可用下式表示 (8 -1) 2(1 v)(c qtg) E I r + + = E—地基土的变形模量； —地基土的泊松比；
—地基土的粘聚力；一地基土的内摩擦角；9一基础的侧面荷载；9-YD，D为基础埋置深度；y为理置深度以上土的容重式（8-1）表明刚度指标愈高。整体剪切破坏和局部剪切破硬、基础理深愈坏的临界值即临界刚度指标Ircr可用下式计算：[3.300.4)eng 4(8- 2)式中，B一基础的宽度；L二基础的长度。当>r(er)时,基将发生整体剪切破坏反之则发生局部剪切破坏或冲剪破坏三、 倾斜荷载下地基的破坏形式挡水和挡土结构物的地基除承受竖直荷载 Pv外，还受水平荷载Ph的作用。Pv和 Ph的合力就成为倾斜荷载。当倾斜荷载较大而引起地基失稳时，其破坏形式有两种：种沿基底产生表层滑动（图8-4a）。这是土基上档水或挡土建筑物常见的失稳形式。如果水平分量Ph不大但垂直分量Pv较大而导致地基失稳时，则表现为深层整体滑动破坏（图8表层滑动和深层滑动可用下式进行的判别P。 = AyBigo+2c(1+tg)(8-3)基底临界竖向压应力。当实际竖向压应力小于此值时，地基失稳受表层滑代电n动所控制：大于此值时，则受深层滑动控制；A一经验常数，一般取 3~4一地基土的容重，水下取浮容重B一基础宽度：。地基土的粘聚力和内摩擦角。在判断属于表层滑动后，可用下式计算失稳的可能性：Ep,(8-4)F.Zph式中，Fs一表层滑动安全系数，可根据建筑物等级查有关设计规范，一般为1.2~1.4；Zp,一基底竖向压力总和;p一基底水平推力总和；f-基础与地基土的摩擦系数（表8-1）。当判定地基失稳形式属于深层滑动时，可用圆弧滑动法验算地基失稳的可能性。稳定安全系数F、指作用于最危险滑动面上各力对滑动中心所产生的抗滑力矩与滑动力矩的比值，其值应满足：≥1.2(基础p47)K式中，M抗滑力矩（kNem）；M,-滑动力矩（kNm）第三节极限平衡理论求地基的极限承载力极限平衡理论的原理理想塑性状态时的应力分布和滑裂面轨迹的理论口用来求解地基的极限承载力和地基的滑裂面轨迹，是求解地基极限承载力的里论基础在理想弹塑性体中，当土体中的应力小于屈服应力时，应力和变形用弹性理论求解，这时土体中每一点都应该满足静力平衡条件和变形协调条件当土体处于塑性状态时，力平衡条件仍然应该满足，但是塑性变形的结果使土体发生滑裂，土体不再保持其连续性，2
2 c—地基土的粘聚力； —地基土的内摩擦角； q—基础的侧面荷载，q=D，D 为基础埋置深度，为埋置深度以上土的容重。 式（8-l）表明，土愈硬、基础埋深愈小，刚度指标愈高。整体剪切破坏和局部剪切破 坏的临界值即临界刚度指标 Ir(cr)可用下式计算： (8 - 2) 2 exp 3.30 0.45 45 2 1 0 − = − ctg L B Ir(cr) 式中，B—基础的宽度； L—基础的长度。 当 Ir>Ir(cr)时，地基将发生整体剪切破坏，反之则发生局部剪切破坏或冲剪破坏。 三、倾斜荷载下地基的破坏形式 挡水和挡土结构物的地基除承受竖直荷载 Pv 外，还受水平荷载 Ph 的作用。Pv 和 Ph 的合力就成为倾斜荷载。当倾斜荷载较大而引起地基失稳时，其破坏形式有两种：一种是 沿基底产生表层滑动（图 8－4a）。这是土基上挡水或挡土建筑物常见的失稳形式。如果水 平分量 Ph 不大但垂直分量 Pv 较大而导致地基失稳时，则表现为深层整体滑动破坏（图 8 －4b）。 表层滑动和深层滑动可用下式进行的判别： p ABtg 2c(1 tg) (8 -3) cr = + + 式中，pcr—基底临界竖向压应力。当实际竖向压应力小于此值时，地基失稳受表层滑 动所控制；大于此值时，则受深层滑动控制； A—经验常数，一般取 3~4； —地基土的容重，水下取浮容重； B—基础宽度； c、—地基土的粘聚力和内摩擦角。 在判断属于表层滑动后，可用下式计算失稳的可能性： (8 - 4) = h v s p f p F 式中，Fs—表层滑动安全系数，可根据建筑物等级查有关设计规范，一般为 1.2~1.4； pv —基底竖向压力总和； ph —基底水平推力总和； f—基础与地基土的摩擦系数（表 8－1）。 当判定地基失稳形式属于深层滑动时，可用圆弧滑动法验算地基失稳的可能性。稳定 安全系数 Fs 指作用于最危险滑动面上各力对滑动中心所产生的抗滑力矩与滑动力矩的比 值，其值应满足： = 1.2 (基础p47) s R s M M F 式中，MR – 抗滑力矩（kN•m）； Ms – 滑动力矩（kN•m）。 第三节 极限平衡理论求地基的极限承载力 一、极限平衡理论的原理 极限平衡理论是研究土体处于理想塑性状态时的应力分布和滑裂面轨迹的理论。它可 用来求解地基的极限承载力和地基的滑裂面轨迹，是求解地基极限承载力的主要理论基础。 在理想弹塑性体中，当土体中的应力小于屈服应力时，应力和变形用弹性理论求解， 这时土体中每一点都应该满足静力平衡条件和变形协调条件。当土体处于塑性状态时，静 力平衡条件仍然应该满足，但是塑性变形的结果使土体发生滑裂，土体不再保持其连续性
不能满足变形协调条件，但满足极限平衡条件。极限平衡理论就是根据静力平衡条件和极限平衡条件建立起来的理论在弹性力学中，平面问题的静力平衡微分方程式表达为：00+0=-zOax(8 - 5)000a=X式中，Cz、0x、tz为微元体的法向应力和剪应力（图8-5）。Z、X为作用在土微元体上z轴方向和×轴方向的体力，如重力和惯性力等。如果作用在土微元体上的力只有土的自重，则方程8-5可写为：d0a+OtOax(8-6)00+0T=0axa式中为土的容重。当土体处于极限平衡状态时，作用于微元土体上的应力应该满足极限平衡条件，对无粘性土和粘性土可分别表示为sin@=g,-0,0,+0(8-7)1-和singo, +a,+2c.ctgp式中oi和分别为大小主应力，和中为土的抗剪强度指标。对于无粘性土体（c=0）中某一微元体（图8-6），大主应力与z轴的交角为α，根据极限平衡条件，破坏时两组滑裂面S:和S2的方向对称于a1，其夹角为（900-)。将式（8-6）中的应力z、gx、Tx用主应力表示,-++cos2aT+T01-03cos2α(8-8)1-0sm20令。=（，+の，）表示平均应力。将式（8-7）中第一式代入式（8-8）（当为无粘性土时），并进行简化，得0, =0,(1+sin pcos2a)(8-9)a, =0,(1-sin pcos2α)T =0, sin psin 2α)分别对oz、Cx、tz取偏导数：
3 不能满足变形协调条件，但满足极限平衡条件。极限平衡理论就是根据静力平衡条件和极 限平衡条件建立起来的理论。 在弹性力学中，平面问题的静力平衡微分方程式表达为： (8 - 5) = + = + X x z Z z x x zx z xz 式中，z、x 、xz为微元体的法向应力和剪应力（图 8-5）。Z、X 为作用在土微元体 上 z 轴方向和 x 轴方向的体力，如重力和惯性力等。如果作用在土微元体上的力只有土的 自重，则方程 8-5 可写为： (8 - 6) 0 = + = + x z z x x zx z xz 式中为土的容重。 当土体处于极限平衡状态时，作用于微元土体上的应力应该满足极限平衡条件，对无 粘性土和粘性土可分别表示为 (8 - 7) 2 sin sin 1 3 1 3 1 3 1 3 + + • − = + − = c ctg 和 式中1 和3 分别为大小主应力，c 和为土的抗剪强度指标。对于无粘性土体（c=0） 中某一微元体（图 8-6），大主应力1 与 z 轴的交角为，根据极限平衡条件，破坏时两组 滑裂面 S1 和 S2 的方向对称于1，其夹角为（90o -）。 将式（8-6）中的应力z、x 、xz用主应力表示： (8 - 8) sin 2 2 cos 2 2 2 cos 2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 − = − − + = − + + = xz x z 令 0 （ 1 3） 2 1 = + 表示平均应力。将式（8-7）中第一式代入式（8-8）（当为无粘 性土时），并进行简化，得 (8 - 9) sin sin 2 1 sin cos 2 1 sin cos 2 0 0 0 = = − = + ） （ ） （ ） xz x z 分别对z、x 、xz取偏导数：
+ico2a20in2O02Ozdar002-in o 2o i in axOx(8-10)o+nin+2io2atr=inin+2sinoaoxox将式（8-10）代入（8-6），简化后得到：+sincos2asinsin2a-2sinsin2acos2ar(8-11)sico2ain22in2c2式（8—11）是平面问题无粘体处在极限平衡状态时的基本偏微分方程组。根据所研究问题的边界条件，立求解方程组，可求得未知新点的机求出以后，从极限平衡条件,-;=2sin和=(i+,)可以求出处在极限平衡状态各点的主应力αi和3。α给出了大主应力i的方向，而滑裂面的方向与αi的方向成夹角=±（45－）。因此求出了角α后，滑裂面的方向自然也就得到。把各点的滑裂面方向用线段连接起来，就得到整个极限平衡区域内的滑裂线网（图8-7）。此时基底处接触面上的应力就是地基的极限承载力pu根据问题的边界条件求偏微分方程（8-11）的解析解往往非常困难。由于这组偏微分方程组属于双曲线型方程组，存在着两组特征线。特征线也就是滑裂线，因此方程组（8-11)常用特征曲线法求解。然而，既使特征曲线法求解也相当困难，本章只讨论简单条件下利用特征线法求解地基极限承载力的方法、无重介质地基的极限承载力一普朗德尔-瑞斯纳（P-R）解法（一）普朗德尔-瑞斯纳法的基本假定在利用极限平衡理论求解地基的极限承载力时，P-R假定：（1）地基土为无重介质就是说，假设基础底面以下土的容重Y-0。（2）基础底面是完全光滑面。因为没有摩擦力近以基底的于地面。（3）对于埋置深度D小于基础宽度B的浅基础，可以卡应力垂直底平面当成地骨刻面口假定的地基表面。这个平基础两侧的申到这一面以土体，当成作用在基础两侧的均布荷载g=yD，D表示基础的埋置深度（图8一8）（二）普朗德尔一瑞斯纳的结论根据上述假定，用特征线法解偏微分方程组式（8-11），其主要结果为：（分成三个区域、当荷载达到极限荷载pu时，地基内出现的滑裂面。滑裂土体可以（图8一8），其中I区为朗肯主动区，II区为过渡区，Ⅲ区为朗肯被动区。朗肯主动区的滑裂线与水平面成土(45°+号)的夹角，朗肯被动区的滑裂线则与水平面成±(45°-)夹角。过渡区II的两组滑裂线，一组是自荷载边缘A点和B点引出的射线AC或BC；另一组是连接I和II区的滑裂线，它为对数螺线，即(8-12)=reotgy式中为土的内摩擦角；ro为II区的起始半径，其值等于I区的边界长度AC，为射线
4 (8 -10) sin sin 2 2 sin cos 2 sin sin 2 2 sin cos 2 sin cos 2 2 sin sin 2 sin cos 2 2 sin sin 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + = + = + − = − + = x x x z z z x x x x z z z z xz z x x z 将式（8-10）代入（8-6），简化后得到： (8 -11) 1 sin cos 2 sin sin 2 2 sin sin 2 cos 2 0 1 sin cos 2 sin sin 2 2 sin sin 2 cos 2 0 0 0 0 0 0 = + + + − = − − + + x x x z z x z x （ ） （ ） 式（8－11）是平面问题无粘性土体处在极限平衡状态时的基本偏微分方程组。根据所 研究问题的边界条件，联立求解方程组，即可求得未知函数0 和。当地基中各点的0 和 求出以后，从极限平衡条件 1 − 3 = 2 sin 和 0 （ 1 3） 2 1 = + 可以求出处在极限平衡 状态各点的主应力1 和3。给出了大主应力1 的方向，而滑裂面的方向与1 的方向成夹角 （ ） 2 45 = − 。因此求出了角后，滑裂面的方向自然也就得到。把各点的滑裂面方向用 线段连接起来，就得到整个极限平衡区域内的滑裂线网（图 8－7）。此时基底处接触面上 的应力就是地基的极限承载力 pu。 根据问题的边界条件求偏微分方程（8-11）的解析解往往非常困难。由于这组偏微分方 程组属于双曲线型方程组，存在着两组特征线。特征线也就是滑裂线，因此方程组（8－11） 常用特征曲线法求解。然而，既使特征曲线法求解也相当困难，本章只讨论简单条件下利 用特征线法求解地基极限承载力的方法。 二、无重介质地基的极限承载力—普朗德尔-瑞斯纳（P-R）解法 （一）普朗德尔-瑞斯纳法的基本假定 在利用极限平衡理论求解地基的极限承载力时，P-R 假定：（1）地基土为无重介质， 就是说，假设基础底面以下土的容重=0。（2）基础底面是完全光滑面。因为没有摩擦力， 所以基底的压应力垂直于地面。（3）对于埋置深度 D 小于基础宽度 B 的浅基础，可以把基 底平面当成地基表面，滑裂面只延伸到这一假定的地基表面。在这个平面以上基础两侧的 土体，当成作用在基础两侧的均布荷载 q=D，D 表示基础的埋置深度（图 8－8）。 （二）普朗德尔一瑞斯纳的结论 根据上述假定，用特征线法解偏微分方程组式（8－11），其主要结果为： 1．当荷载达到极限荷载 pu 时，地基内出现连续的滑裂面。滑裂土体可以分成三个区域 （图 8－8），其中 I 区为朗肯主动区，Ⅱ区为过渡区，Ⅲ区为朗肯被动区。朗肯主动区的 滑裂线与水平面成 ) 2 (450 + 的夹角，朗肯被动区的滑裂线则与水平面成 ) 2 (450 − 夹 角。过渡区Ⅱ的两组滑裂线，一组是自荷载边缘 A 点和 B 点引出的射线 AC 或 BC；另一组 是连接 I 和 III 区的滑裂线，它为对数螺线，即： (8 -12) 0 tg r r e • = 式中为土的内摩擦角；r0 为Ⅱ区的起始半径，其值等于 I 区的边界长度 AC，为射线
『与ro的夹角（图8-9）2.地基的极限承载力pa为：e1ge +coctg+sinp.=1-sind1- sin=q1g (45* +号) +cg01g 45 +号)(8-13)=qN,+cN式中 N.和 N。称为承载力系数，是土的内摩擦角Φ的函数N,=1g 450 +)eg(8-14)(8-15)N,=(N, -1)·ctgp对于粘性大、排水条件差的饱和粘土地基，可按不排水强度指标=0法求极限承载力。当Φ，=0时，由式（8-14）知，N=1.0，Nc为不定解。这时，可用数学中的罗彼塔法则求解。对式（8-15）应用罗彼塔法则，得de/元+2=5.14(8-19)lim N, = limd(tg)de这时地基的极限荷载为：(8-20)pu=q+5.14c、极限承载力的一般计算公式地基土并非无重介质，考虑地基土的重量以后，极限承载力的理论解很难求得。索科洛夫斯基把当成两种介质的总和，分别求地基的极再载力丛而得到实际地基的极限承载力。这两种介质是：（1)理想散粒体，即c=0，Φ±0和0的土体。（2）无重的纯粘性土体，即c±0，Φ=0，=0的无重介质。对于图8-13所示的条形分布的倾斜荷载，地基极限荷载的垂直分量P，可写成如下表达式：(8-21)Pum=qN, +cN,+xN,式中，9一基础侧面的均布荷载；一地基土的粘聚力—地基土的容重；x一计算点的位置；N、N。、N，一极限承载力系数，其值决定于土的内摩擦角Φ和荷载的倾斜角8（表8-2)。地基极限承载力的水平分量puh可用下式计算(8-22)Puh=Puigs8为荷载的倾斜角。在倾斜荷载作用下，地基土向荷载倾斜方向的一侧移滑。基底的竖向极限承载力值随坐标x值的增加而增加。在坐标原点处，x=0，竖向极限承载力为p..= qN, +cN.(8-23)而当x=B时，竖向极限承载力为Pub =qN, +cN。 + yBN,(8-24)式中B为基础的宽度，其它符号同前。平均竖向极限承载力为：
5 r 与 r0 的夹角（图 8－9）。 2．地基的极限承载力 pu 为： (8 -13) 1 2 45 2 45 1 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 2 0 2 0 q c t g t g t g t g u qN cN qtg e c ctg t g e p q e c ctg e = + − + • + = + − − + + • − + = • • • • 式中 Nq 和 Nc称为承载力系数，是土的内摩擦角的函数： ( 1) (8 -15) (8 -14) 2 45 2 0 N N ctg N tg e c q t g q = − • = + • 对于粘性大、排水条件差的饱和粘土地基，可按不排水强度指标 u = 0 法求极限承载 力。当 u = 0 时，由式（8-14）知，Nq=1.0，Nc 为不定解。这时，可用数学中的罗彼塔法 则求解。对式（8－15）应用罗彼塔法则，得 2 5.14 (8 -19) ( ) 1 2 45 2 0 0 lim lim = + = − + = • → → d d t g t g e d d N o t g c 这时地基的极限荷载为： p q 5.14c (8 - 20) u = + 三、极限承载力的一般计算公式 实际上，地基土并非无重介质，考虑地基土的重量以后，极限承载力的理论解很难求 得。索科洛夫斯基把地基土当成两种介质的总和，分别求地基的极限承载力，然后叠加， 从而得到实际地基的极限承载力。这两种介质是：（1）理想散粒体，即 c = 0， 0和 0 的土体。（2）无重的纯粘性土体，即 c 0， = 0， = 0 的无重介质。对于图 8－13 所 示的条形分布的倾斜荷载，地基极限荷载的垂直分量 u p 可写成如下表达式： (8 - 21) puv = qNq + cNc + xN 式中，q—基础侧面的均布荷载； c—地基土的粘聚力； —地基土的容重； x—计算点的位置； Nq、Nc、N一极限承载力系数，其值决定于土的内摩擦角和荷载的倾斜角（表 8－2）。 地基极限承载力的水平分量 puh 可用下式计算： p p tg (8 - 22) uh = uv 为荷载的倾斜角。 在倾斜荷载作用下，地基土向荷载倾斜方向的一侧移滑。基底的竖向极限承载力值随 坐标 x 值的增加而增加。在坐标原点处，x=0，竖向极限承载力为 (8 - 23) uo q c p = qN + cN 而当 x=B 时，竖向极限承载力为 (8 - 24) pub = qNq + cNc + BN 式中 B 为基础的宽度，其它符号同前。 平均竖向极限承载力为：