《土力学与地基基础》课程教学资源（教案讲义）第三章 土体中的应力计算

第三章土体中的应力计算第一节概述土受力后产生应力和变形。在地基土层上建造建筑物，基础将建筑物的荷载传给地基，使地基中原有的应力状态发生变化，引起地基变形，从而使建筑物产生一定的沉降量和沉陷差。如果应力变化引起的变形量在容许范围以内，则不致对建筑物的使用和安全造成危害：但当外荷载在土中引起的应力过大时，则不仅会使建筑物发生过量的沉降，甚至可以使土你发生整体破坏而失去稳定。因此，研究土中应力计算和分布规律是研究地基和土工建筑物变形和稳定问题的基础。实生的原因主有两种：由土体本身重量引起的自重应力和由外荷中力，就具载引起的附加应力。本章将主要介绍自重应力和附加应力的计算方法以及有效应力原理。应力一应变关系的假定于土的应力一应变关系。在计算地基中的附加应力时，常把土当土体中的应力分布取成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。下面就弹性理论应用中的几个问题作一简单讨论，.关千连续介质问题。土是由三相物质组成的非连续介质。但当我们研究性理论中，受力本车实价宏观土体的受力问题时（例如建筑物地基的沉降问题），土体的尺寸远大于土颗粒的尺寸，可以把土本当作连续体来对待，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。不是纯变关系是非线性的和弹塑性的。即使在很低的应力材而是弹塑性材料情况下，土的应力应变关系也表现出了曲线特性（图3-1），而且在应力卸除后，应变也不完全恢复。但考虑到一般建筑物荷载在地基中引起的应力增量A不是很大，距离土的破坏强度尚远，尚没有发生塑性破坏的区域或塑性破坏的区域很小，这种情况下，若将土的应力应变关系简化为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，对一般工程来说不仅是方便的，也是足够准确的关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。均质是指受力体各点的性质相同：等向则是指在同点处的各个方向上性质相同。天然地基往往是由成层土所组成，而且常常是各向异性的因此视土体为均质等向将带来误差。但当土层性质变化不大时，这样假定对竖直应力分布引起的误差，通常也在容许范围之内二、地基中的几种应力状态一般都将地基当作半无限空间弹性体来考虑，即把地基看作是一个具算地基应力用有水平界面、深度和广度都无限大的空间弹性体本（图3一2）。常见的地基中的应力状态有女三种类型：三维应力状态（空间应力状态）局部荷载作用下，地基中的应力状态均属三维应力状态。维应力状态是建筑物地基中力就是典型的三维空间应力状态（图最普遍的一种应力状态，例如单独柱基础下地基中各点3一3）。这时，每一点的应力都是三个坐标x、y、z的函数，每一点的应力状态都可用9个应a.3力分量（独立的有6个）来表示。写成矩阵形式则为6，=5mOytyTa.622.二维应变状态（平面应变状态）土中二维问题往往都是平面应变问题而不是平面应力问题。当建筑物基础一个方向的尺寸远比另一个方向的尺寸大得多，且每个横截面上的应力大小和分布形式均一样时，在地基

1 第三章 土体中的应力计算 第一节 概述 土受力后产生应力和变形。在地基土层上建造建筑物，基础将建筑物的荷载传给地基， 使地基中原有的应力状态发生变化，引起地基变形，从而使建筑物产生一定的沉降量和沉降 差。如果应力变化引起的变形量在容许范围以内，则不致对建筑物的使用和安全造成危害； 但当外荷载在土中引起的应力过大时，则不仅会使建筑物发生过量的沉降，甚至可以使土体 发生整体破坏而失去稳定。因此，研究土中应力计算和分布规律是研究地基和土工建筑物变 形和稳定问题的基础。 土体中的应力，就其产生的原因主要有两种：由土体本身重量引起的自重应力和由外荷 载引起的附加应力。本章将主要介绍自重应力和附加应力的计算方法以及有效应力原理。 一、应力一应变关系的假定 土体中的应力分布取决于土的应力一应变关系。在计算地基中的附加应力时，常把土当 成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理 论得出应力的解析解。下面就弹性理论应用中的几个问题作一简单讨论。 1．关于连续介质问题 在弹性理论中，受力体是连续介质。土是由三相物质组成的非连续介质。但当我们研究 宏观土体的受力问题时（例如建筑物地基的沉降问题），土体的尺寸远大于土颗粒的尺寸， 可以把土体当作连续体来对待，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。 2．关于线弹性体问题 理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。土不是纯 弹性材料而是弹塑性材料，它的应力、应变关系是非线性的和弹塑性的。即使在很低的应力 情况下，土的应力应变关系也表现出了曲线特性（图3－1），而且在应力卸除后，应变也不 能完全恢复。但考虑到一般建筑物荷载在地基中引起的应力增量不是很大，距离土的破坏 强度尚远，土中尚没有发生塑性破坏的区域或塑性破坏的区域很小，这种情况下，若将土的 应力应变关系简化为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，对一般工程来说不仅是 方便的，也是足够准确的。 3．关于均质、等向问题 理想弹性体应是均质的各向同性体。均质是指受力体各点的性质相同；等向则是指在同 一点处的各个方向上性质相同。天然地基往往是由成层土所组成，而且常常是各向异性的， 因此视土体为均质等向将带来误差。但当土层性质变化不大时，这样假定对竖直应力分布引 起的误差，通常也在容许范围之内。 二、地基中的几种应力状态 计算地基应力时，一般都将地基当作半无限空间弹性体来考虑，即把地基看作是一个具 有水平界面、深度和广度都无限大的空间弹性体（图3－2）。常见的地基中的应力状态有如 下三种类型。 1．三维应力状态（空间应力状态） 局部荷载作用下，地基中的应力状态均属三维应力状态。三维应力状态是建筑物地基中 最普遍的一种应力状态，例如单独柱基础下地基中各点应力就是典型的三维空间应力状态（图 3－3）。这时，每一点的应力都是三个坐标x、y、z的函数，每一点的应力状态都可用9个应 力分量（独立的有6个）来表示。写成矩阵形式则为           = zx zy zz yx yy yz xx xy xz ij           2．二维应变状态（平面应变状态） 土中二维问题往往都是平面应变问题而不是平面应力问题。当建筑物基础一个方向的尺 寸远比另一个方向的尺寸大得多，且每个横截面上的应力大小和分布形式均一样时，在地基

中引起的应力状态即可简化为二维应变状态，堤坝或挡土墙下地基中的应力状态就属于这一类（图3一4）。这时沿着长度方向切出的住任一xOz截面都可以认为是对称面，应力分量只是z两个坐标的函数，并且沿y方向的应变6,=0。由于对称性，Tw=T,==0。这种应力状态的应[g.0T力矩阵可表示为，=00aw0..T3.侧限应力状态应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态，地基在自重作用下的应力状态即属于侧限应力状态（图3-由于把地基视为半无限弹性体，因此同一深度Z处的土单元受力条件均相同，土体不可能发生侧向变形，而只能发生竖直向的变形。又由于任何竖直面都是对称面，故在任何竖直面和水平面上都不会有剪应力存在，即,=T=T=0，应力矩阵变￥OxrC,=00根据6,=6=0的边界条件可知，=,并与成正比。三、力学中应力符号的规定是散粒体，不能承受拉应力，因此在土力学中对土中应力的正负符号常作如下规定：法向应力以压为正，剪应力方向则规定以逆时针方向为正见（图3一6所示）。第二节土体的自重应力计算一、地基自重应力物之前，地基中由于土体本身的有效重量而产生的应力叫自重应力。所在没有修建建筑谓有效重量就是地下水位以上用自然容重、地下水位以下用浮容重。研究地基自重应力！的是为了确定土体的初始应力状态。如果把地基假定为半无限弹性体，则地基中的自重应力状态属于侧限应力状态1.竖直向自重应力6，斤有竖直面和水平面上均无剪应力存在，故地基中任意深度z处的竖直向自重由于于应力就等于单位面积上的土柱重量。若2深度内土的天然容重不发生变化时，则该处自重应力应为(3-1)=若地基是由几个不同容重的土层组成时（图3-7a），则任意深度2处的自重应力应为O, =H++H+.-ZH,(3-2)式中，n-地基中的土层数Y一第层土的容重；地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重；H一第层土的厚度。自重应力沿深度成直线分布，在土层界面处和地下水位处将发生转折（见图3－7b）。2.水平向自重应力α、0由于是侧限条件，故8，=6,=0，且=αs。根据广义虎克定律8 =%-(a,+0.)(3-3)H将侧限条件代入式（3-3）得2

2 中引起的应力状态即可简化为二维应变状态，堤坝或挡土墙下地基中的应力状态就属于这一 类（图3－4）。这时沿着长度方向切出的任一xoz截面都可以认为是对称面，应力分量只是x、 z两个坐标的函数，并且沿y方向的应变 y  =0。由于对称性， yx yz  =  =0。这种应力状态的应 力矩阵可表示为           = zx zz yy xx xz ij       0 0 0 0 3．侧限应力状态 侧限应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态，地基在自重作用下的应力状态即属于 侧限应力状态（图3－5）。由于把地基视为半无限弹性体，因此同一深度Z处的土单元受力条 件均相同，土体不可能发生侧向变形，而只能发生竖直向的变形。又由于任何竖直面都是对 称面，故在任何竖直面和水平面上都不会有剪应力存在，即  xy =  yz =  zx = 0 ，应力矩阵变 为：           = zz yy xx ij     0 0 0 0 0 0 根据 y  = x  =0的边界条件可知  x =  y 并与  z 成正比。 三、土力学中应力符号的规定 土是散粒体，不能承受拉应力，因此在土力学中对土中应力的正负符号常作如下规定： 法向应力以压为正，剪应力方向则规定以逆时针方向为正见（图3－6所示）。 第二节 土体的自重应力计算 一、地基自重应力 在没有修建建筑物之前，地基中由于土体本身的有效重量而产生的应力叫自重应力。所 谓有效重量就是地下水位以上用自然容重、地下水位以下用浮容重。研究地基自重应力的目 的是为了确定土体的初始应力状态。如果把地基假定为半无限弹性体，则地基中的自重应力 状态属于侧限应力状态。 1．竖直向自重应力  s z 由于土体中所有竖直面和水平面上均无剪应力存在，故地基中任意深度z处的竖直向自重 应力就等于单位面积上的土柱重量。若z深度内土的天然容重不发生变化时，则该处自重应力 应为 z (3 -1) sz  =  若地基是由几个不同容重的土层组成时（图3－7a），则任意深度z处的自重应力应为 = = + + = n i s z H H iHi 1   1 1  1 1   (3 - 2) 式中，n—地基中的土层数； i  —第i层土的容重；地下水位以上用天然容重  ，地下水位以下用浮容重  ’； Hi—第i层土的厚度。 自重应力沿深度成直线分布，在土层界面处和地下水位处将发生转折（见图3－7b）。 2．水平向自重应力  sx、 sy 由于是侧限条件，故  x =  y = 0 ，且  s x  s y = 。根据广义虎克定律 ( ) (3 - 3) y z x x E E      = − + 将侧限条件代入式（3－3）得

(0, +0,)=0(3 - 4)所以=今Ko=1-V则(3-5)C=0=K0,你K为土的侧压力系数，它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直向有效应力之比，所以侧限状态又称为Ko状态：v是土的波松比。土坝的自重应力为计算土坝坝身和坝基的沉降，需要知道坝身中和坝底面上的应力分布。由于土坝不是半无限体，其边界条件和坝基的变形条件使得精确求解坝身及坝底应力较为复杂。对于简单的中小型土坝，即可假定坝体中任何一所号起的聚口力等移古杆的量，仍可用式（3-2）计算，故任意水平面上自重应力的分布形状与坝断面形状相似（见图3）。图3一8b表示某均质土坝用有限元法与用简化法计算得到的基底竖直应力的比较，其最大误差约为15%。第三节 地基中的附加应力计算对一般天然土层来说，自重应力引起的压缩变形在地质历史上早已完成，不会再引起地基的沉降，附加应力则修建建筑物以后在地基内新增加的应力，因此它是使地基发生变形、引起建筑物沉降的主要原因。下面介绍地表上作用不同类型荷载时，在地基内引起的附加应力计算。集中荷载作用下的附加应力计算一）竖直集中力作用一布辛内斯克课题1885年法国数学家布辛内斯克（J.Boussinesqg）用弹性理论推出了在半无限空间弹性体表面上作用有竖直集中力P时，在弹性体内任意点M所引起的应力解析解。这是一个轴对称的空间问题，对称轴就是集中力P的作用线，以P作用点O为原点，则M点坐标为x、y、z（如图3-10所示），M点为M点在弹性体表面上的投影。由布辛内斯克得出的M点的6个应力分量和3个位移分量的表达式如下：3P,z3P,(cosB)(3-6a)0.=2元52元R式中，xoy、z——x、y、z方向的法向应力；-M点至坐标原点O的距离-直角三角形OMM中OM和MM的夹角。在上述6个应力分量中，对地基沉降计算意义最大的是竖直法向应力，，下面将主要讨论,的计算及其分布规律。利用图3-10中的几何关系R2=r2+2，式(3—6a)可以改写为3P2·=KP(3-8)0.=2元R1式中

3 = − ( + ) = 0 (3 - 4) sy sz sx x E E      所以 sx sy  sz     − = = 1 令   − = 1 K0 则 (3 - 5)  sx =  sy = K0 sz 称K0为土的侧压力系数，它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直向有效应力之比， 所以侧限状态又称为K0状态；  是土的波松比。 二、土坝的自重应力 为计算土坝坝身和坝基的沉降，需要知道坝身中和坝底面上的应力分布。由于土坝不是 半无限体，其边界条件和坝基的变形条件使得精确求解坝身及坝底应力较为复杂。对于简单 的中小型土坝，即可假定坝体中任何一点因自重所引起的竖向应力均等于该点上面土柱的重 量，仍可用式（3－2）计算，故任意水平面上自重应力的分布形状与坝断面形状相似（见图3 －8a）。图3－8b表示某均质土坝用有限元法与用简化法计算得到的基底竖直应力的比较，其 最大误差约为15％。 第三节 地基中的附加应力计算 对一般天然土层来说，自重应力引起的压缩变形在地质历史上早已完成，不会再引起地 基的沉降，附加应力则是由于修建建筑物以后在地基内新增加的应力，因此它是使地基发生 变形、引起建筑物沉降的主要原因。下面介绍地表上作用不同类型荷载时，在地基内引起的 附加应力计算。 一、集中荷载作用下的附加应力计算 （一）竖直集中力作用—布辛内斯克课题 1885年法国数学家布辛内斯克（J．Boussinesq）用弹性理论推出了在半无限空间弹性体 表面上作用有竖直集中力P时，在弹性体内任意点M所引起的应力解析解。这是一个轴对称的 空间问题，对称轴就是集中力P的作用线，以P作用点O为原点，则M点坐标为x、y、z（如图3 －10所示），M’点为M点在弹性体表面上的投影。由布辛内斯克得出的M点的6个应力分量和 3个位移分量的表达式如下： (cos ) (3 - 6a) 2 3 2 3 3 5 2 3     R P R P z z = • = 式中，x、y、z ——x、y、z方向的法向应力； R——M点至坐标原点O的距离 ——直角三角形OM’M中OM和MM’的夹角。 在上述6个应力分量中，对地基沉降计算意义最大的是竖直法向应力  z ，下面将主要讨 论  z 的计算及其分布规律。 利用图3-10中的几何关系R 2=r 2＋z 2，式(3一6a )可以改写为 (3 - 8) 1 1 2 3 2 3 5 2 2 2 2 5 3 z P K z P z r R π z π P σ z / • =               + = • = 式中

(3-8a)2元1+(2)7K称为集中力作用下的应力分布系数，无因次，是r/z的函数，可由图3-1或表3—11中查得下面讨论o.的分布特征：1．在集中力P作用线上的6.分布P在P作用线上，r=0，由式（3-8a）及（3—8）可知K=2元。0.-2元号当z=0时，α.=α℃。出现这一结果是由于将集中力作用面积看作零所致。它一方面说明该解不适用于集中力作用点处及其附近，因此在选择应力计算点时，不应过于接近集中力作用点：另一方面也说明在靠近P作用线处应力。很大。当z=α时，0=0可见，沿P作用线上g.的分布是随深度增加而递减，如图3—12所示。2．在r>0的竖直线上的g.分布从公式（3—6a）可知，z=0时β=90，所以，=0：随着z的增加，β变小，cosβ增大，所以，从零逐渐增大：至一定深度后cosβ减小，因此.又随着的z增加逐渐变小，如图3—12中所示3.在z-常数的水平面面上的α.分布0.值在集中力作用线上最大，并随着r的增加而逐渐减小。随着深度z增加，集中力作用线上的，减小，而水平面上应力的分布趋于均匀，如图3一12中所示，若在空间将.相同的点连接成曲面，可以得到如图3一13所示的.等值线，其空间曲面的形状如泡状，所以也称为应力泡。通过对应力.分布图形的讨论可知，集中力P在地基中引起的附加应力，的分布是向下、向四周无限扩散开自也基表面作用有几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后根据弹性体应力叠加原理求出附加应力的总和。4H1曲线a表集中力Pi度水平线引起的应力分布，曲线b表示集中力P2在同一水平线上引起的应力分布，把曲线a和曲线b相加得到曲线c就是该水平线上总的应力水平集中力作用一西罗提课题如果地基表面作用有平行于xoy面的水平集中力P时，求解在地基中任意点M(xyz基本课题，已由西罗提（V.Cerruti）用弹性理论起的应力问题是弹性体内应力计算的桌解出。这里只写出与沉降计算关系最密切的垂直压应力，的表达式：3Phxz(3-9)T2元R5式中符号见图3-15。二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附加应力计算任何建筑物都要通过一定尺寸的基础把荷载传给地基。基础的形状和基础底面上的压力分布各不相同，但都可以利用前述集中荷载引起的应力计算方法和弹性体中的应力叠加原理，计算地基内任意点的附加应力

4 (3 - 8a) 1 1 2 3 5 2 2 / z r π K               + = K称为集中力作用下的应力分布系数，无因次，是r/z的函数，可由图3－1或表3—11中查 得。 下面讨论  z 的分布特征： 1．在集中力P作用线上的  z 分布 在P作用线上，r= 0，由式（3－8a）及（3一8）可知 2 2 3 , 2 3 z P K σ z = = •   当z=0时，  z = 。出现这一结果是由于将集中力作用面积看作零所致。它一方面说明该 解不适用于集中力作用点处及其附近，因此在选择应力计算点时，不应过于接近集中力作用 点；另一方面也说明在靠近P作用线处应力  z 很大。 当z=时，  z = 0 可见，沿P作用线上  z 的分布是随深度增加而递减，如图3—12所示。 2．在r＞0的竖直线上的  z 分布 从公式（3一6a）可知，z=0时=900，所以  z = 0 ；随着z的增加，变小，cos增大，所 以  z 从零逐渐增大；至一定深度后cos减小，因此  z 又随着的z增加逐渐变小，如图3－12 中所示。 3．在z=常数的水平面面上的  z 分布  z 值在集中力作用线上最大，并随着r的增加而逐渐减小。随着深度z增加，集中力作用 线上的  z 减小，而水平面上应力的分布趋于均匀，如图3—12中所示。 若在空间将  z 相同的点连接成曲面，可以得到如图3—13所示的  z 等值线，其空间曲面 的形状如泡状，所以也称为应力泡。 通过对应力  z 分布图形的讨论可知，集中力P在地基中引起的附加应力  z 的分布是向 下、向四周无限扩散开的。 当地基表面作用有几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后 根据弹性体应力叠加原理求出附加应力的总和。图3—14中曲线a表示集中力P1在z深度水平线 上引起的应力分布，曲线b表示集中力P2在同一水平线上引起的应力分布，把曲线a和曲线b相 加得到曲线c就是该水平线上总的应力。 （二）水平集中力作用—西罗提课题 如果地基表面作用有平行于xoy面的水平集中力Ph时，求解在地基中任意点M(x y z)所引 起的应力问题是弹性体内应力计算的另一个基本课题，已由西罗提（V．Cerruti）用弹性理论 解出。这里只写出与沉降计算关系最密切的垂直压应力  z 的表达式： (3 - 9) 2 3 5 3 R P xz h z   = 式中符号见图3－15。 二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附加应力计算 任何建筑物都要通过一定尺寸的基础把荷载传给地基。基础的形状和基础底面上的压力 分布各不相同，但都可以利用前述集中荷载引起的应力计算方法和弹性体中的应力叠加原理， 计算地基内任意点的附加应力

（一）矩形面积竖直均布荷载地基表面有一矩形面积，宽度为B，长度为L，其上作用着竖直均布荷载，荷载强度为p求地基内各点的附加应力.。现先求出矩形面积角点下的应力，再利用“角点法”求出任意点下的应力1.角点下的应力角点下的应力是指图3-16中O、A、C、D四个角点下任意深度处的应力，只要深度z一样，则四个角点下的应力9都相同。将坐标的原点取在角点O上，在荷载面积内任取微分面积dy，并将其上作用的荷载以集中力dP代替，则dP=pdA=pdxdy。利用式（3-6a）可求出A=dxo该集中力在角点O以下深度z处M点所引起的竖直向附加应力doz3(dP) =3-33pdo.=(3-10)2(+y+2)ddyR将式（3-10）沿整个矩形面积OACD积分，即可得出矩形面积上均布荷载p在M点引起的附加应力3pdxdya(x+y+z2)n7arctgVi+m+n?（m2+n+m2+n(3 -12)=K.p式中，m=二：n=三，其中L为矩形的长边，B为矩形的短边。称K,为矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数，K,=f(m，n)，可从表3一2中查得。2.任意点的应力一角点法利用角点下的应力计算公式（3-12）和应力叠加原理，推求地基中任意点的附加应力的方法称为角点法。角点法的应用可分下列两种情况。第一种情况：计算矩形面积内任一点M力(图3-17a)。过M点将矩形荷载面积abcd分成I、II、IⅢ、IV4个小矩形，深度用M点为4个小矩形的公共角点，则M’点下任意深度z处的附加应力oz(3-13a)GM=(K+K+Ks+Ksv)p第二种情况：计算矩形面积外任一点M下深度为z的附加应力。仍然设法使M’点为几个小矩形的公共角点，如图3-17b，然后将其应力进行代数选加。(3-13b)CM=(KI+K-KKwn上两式sm、Ksw分别为矩形M'hbe、Mfce、Mhag、Mfdg的角点应力分Ksll2布系数，p为荷载强度。在应日角点法计算每一块矩形面积的百为长边（二）矩形面积竖直三角形荷载在矩形面积上作用着三角形分布荷载，最大荷载强度为p，如图3一20所示。把荷载强度为零的角点O作为坐标原点，同样可利用公式（3一6a）和积分方法求出角点O下任意深度点的附加应力a。在受荷面积内。在取微小面积dA-d,，以集中力aP=d,代替作用在其上的分布荷载，则dP在O点下任意点M处引起的竖直附加应力do,应为：do,=3p.-2B(a+y+r ddy(3-14)将式（3-14）沿矩形面积积分后，可得出整个矩形基础面竖直三角形荷载在零角点O下任意深度z处所引起的竖直附加应力z为

5 （一）矩形面积竖直均布荷载 地基表面有一矩形面积，宽度为B，长度为L，其上作用着竖直均布荷载，荷载强度为p， 求地基内各点的附加应力  z 。现先求出矩形面积角点下的应力，再利用“角点法”求出任意 点下的应力。 1．角点下的应力 角点下的应力是指图3－16中O、A、C、D四个角点下任意深度处的应力，只要深度z一样， 则四个角点下的应力  z 都相同。将坐标的原点取在角点O上，在荷载面积内任取微分面积 dA=dxdy，并将其上作用的荷载以集中力dP代替，则dP=pdA=pdxdy。利用式（3－6a）可求出 该集中力在角点O以下深度z处M点所引起的竖直向附加应力dz： (3 -10) 2 ( ) 3 2 3( ) 2 2 2 5 / 2 3 5 3 dxdy x y z p z R dP z d z + + = =    将式（3-10）沿整个矩形面积OACD积分，即可得出矩形面积上均布荷载p在M点引起的 附加应力  z ： (3 -12) 1 1 1 2 1 1 2 ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 / 2 3 0 0 K p m n m n n mn n m n m arctg p dxdy x y z p z s L B z =             + + + + + + + + = + + =     式中， B L m = ； B z n = ，其中L为矩形的长边，B为矩形的短边。 称Ks为矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数，Ks=f(m，n)，可从表3—2中查得。 2．任意点的应力—角点法 利用角点下的应力计算公式（3－12）和应力叠加原理，推求地基中任意点的附加应力的 方法称为角点法。角点法的应用可分下列两种情况。第一种情况：计算矩形面积内任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17a)。过M’点将矩形荷载面积abcd分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4个小矩形， M’点为4个小矩形的公共角点，则M’点下任意深度z处的附加应力zM’为 ' (K K K K ) p (3 -13a)  zM = sI + sII + sIII + sIV 第二种情况：计算矩形面积外任一点M’下深度为z的附加应力。仍然设法使M’点为几个 小矩形的公共角点，如图3-17b，然后将其应力进行代数迭加。 ' (K K K K ) p (3 -13b)  zM = sI + sII − sIII − sIV 以上两式中KsⅠ、KsⅡ、KsⅢ、KsⅣ分别为矩形M’hbe、M’fce、M’hag、M’fdg的角点应力分 布系数，p为荷载强度。在应用角点法计算每一块矩形面积的Ks值时，B恒为短边，L恒为长 边。 （二）矩形面积竖直三角形荷载 在矩形面积上作用着三角形分布荷载，最大荷载强度为pt，如图3－20所示。把荷载强度 为零的角点O作为坐标原点，同样可利用公式（3－6a）和积分方法求出角点O下任意深度点 的附加应力z。在受荷面积内，任取微小面积dA=dxdy，以集中力 dxdy B p x dP t • = 代替作用 在其上的分布荷载，则dP在O点下任意点M处引起的竖直附加应力dz应为： (3 -14) 2 ( ) 3 2 2 2 5 / 2 3 dxdy x y z x z B p d t z + + =   将式（3－14）沿矩形面积积分后，可得出整个矩形基础面竖直三角形荷载在零角点O下 任意深度z处所引起的竖直附加应力z为：