Chap.4 The representstion for the states and dynamical varlable 例1：A本征函数um(x)在自身表象中的矩阵表示。 同样将um(x)按A的本征函数展开： 4n(x)=∑a,4.(x) 显然 n =m n≠m 所以um(x)在自身表象中的矩阵表示如下： 1 0 0 0 例如：L2,L,的共同本征函数 0 = .: m三 Y1,Y0Y1在L,L,的共同表 an=1 象中的矩阵形式就特别简单。 : 0 0 26
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable 26 例1： Â 本征函数 um(x) 在自身表象中的矩阵表示。 同样将 um(x) 按 Â 的本征函数展开： xuaxu )()( nn n m =∑ 显然有 ⎩⎨⎧ ≠= = mn mn a n 01 所以 um(x) 在自身表象中的矩阵表示如下： "" # # "" # # # # ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = = ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = 0 1 00 0010 0001 1 2 m m a u u u 例如： L2, Lz的共同本征函数 Y11, Y10, Y1-1.在 L2, Lz 的共同表 象中的矩阵形式就特别简单。 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ = − 100 010 001 Y11 Y10 Y 11
Chap.A The representslion for the states and dynamical varlable 例2：求L本征态在L表象中的矩阵表示，只讨论(=1)情况。 0 0 已知 12 0 0 解 0 本征方程为： N2 0 1 a 2 - 2 =0, 1 0 1 =列 0 方 0 1 0八4 4 -2 0 欲得a,2,3不全为零的解， V2 必须要求系数行列式等于零 方 -元 =0 λ(-λ2+2)=0 √2 0 - 解得本征值： 入=0，士九 27
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable 27 例2: 求 L x本征态在 L z表象中的矩阵表示，只讨论 ( A=1)情况。 解 1 1 2 2 3 3 010 101 , 2 010 a a a a a a λ ⎛ ⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜ ⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠⎝⎠ ⎝⎠ = 1 2 3 0 2 0, 2 2 0 2 a a a λ λ λ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = = 欲得 a1, a 2, a 3 不全为零的解， 必须要求系数行列式等于零 0 2 0 2 2 0 2 = − − − λ λ λ = = = = λ(- λ 2 + = 2) = 0 解得本征值: λ= 0, ± =. 本征方程为： 已知 010 101 2 010 Lx = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =
Chap.4 The representation for the states and dynamical varlable 取入=代入本征方程得： 2 a h 解得：a=(1/2)a2 则=1，L=的 -抗 =0 √5 a,=(1/2)a2 本征态可记为： 51= 1 h 0 -h √2 方 由归一化 条件定2 ξ5=（1方h,* 1 a,=2a2=1, -2 同理得另外两个本征值： 入=0，一方.相应本征函数： 为简单计 取实数 1-2 1 1-2 51 50= 0 5-1= 28
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable 28 取λ= =代入本征方程得： 0 2 0 2 2 0 2 3 2 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − a a a = = = = = = = 2 2 1 2 1 11 1 a ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ξ = 由归一化 条件定 a 2 ( ) 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1111 1*1 aa ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =ξξ+ 为简单计 取实数 2 1 a 2 = 则 A=1, L x = = 的 本征态可记为: ,1||2 2 a2 == ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 1 2 1 2 1 11 2 1 2 1 10 2 1 2 1 2 1 ξ 11 ξ 0 ξ 解得： a1=(1/ ) a2. a 3=(1/ ) a 2 2 2 同理得另外两个本征值: λ= 0, — =. 相应本征函数:
(三)Schrodinger方程的矩阵形式 h品Ψ(，0=iΨ 按力学量算符Q的本征函数展开 Ψ(x,t)= am(t)un(x） h品z.eu.(=am.() 左乘um(①对x整个空间积分 h高∑a.we-文a0.国a,a恤 a.()6w= a (t)H m 写到Q表象： Hm=∫um*(x)iun(x)dk m,n=1,2,. 简写 a(t) (Hu Hv a,(t) 0平=H平 a2(t) H2 Hn a2(t) h 平和H都是矩阵 a (t) H m2 H a,(t) 29
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable 29 ),( ˆ ),( txHtx t i Ψ=Ψ ∂∂ = 写 到 Q 表 象: tx ),( xuta )()( n n n Ψ = ∑ 按力学量算符 Q的本征函数展开 )()( ˆ )()( xutaHxuta t i nn n nn n∑ = ∑ ∂∂ = 左乘 um*(t) 对 x 整个空间积分 dxxuHxutadxxuxuta t i n m n n n m n n )( ˆ )()(*)( )(*)( ∑ ∫ ∑ ∫ = ∂∂ = n mn n n mn n ta Hta t i ∑ )( = ∑ )( ∂∂ = δ " = ,2,1, )( )( = = ∂ ∂ ∑ nm ta taH t i nmn n m H mn m n )( dxxuHxu ˆ )(* ∫ = ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ ∂∂ ## """"" " """""" " " " " ##= )( )( )( )( )( )( 21 1 2 21 22 2 11 12 1 21 ta ta ta HH H HH H HH H ta ta ta t i m m mn n nn n Ψ=Ψ ∂∂ H t i= Ψ和H都是矩阵 简写 （三）Schrodinger方程的矩阵形式
Chap.4 The representstion for the states and dynamical varlable 4.5狄喇克符号 (P.76-89为旧版本) (一)引言 本章中给出了任一力学量Q-表象中的形式，它们都是取定了某一具 体的力学量空间，即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表 象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A,A,A)表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种 抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以该方法所使用的符号称 为Dirac 符号。 (二)态矢量 (1)右矢空间 一个状态通过一组力学量完全集的测量（完全测量）来确 定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。 例如：一维线性谐振子其状态由量子数n确定，记为中()；氢原子的状态由 量子数n,山，m确定，记为中n1m(r,0,p),如此等等。 30
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable 30 本章中给出了任一力学量 Q-表象中的形式，它们都是取定了某一具 体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表 象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种 抽象的描述方法是由 Dirac 首先引用的，所以该方法所使用的符号称 为 Dirac 符号。 (一）引 言 4.5 狄喇克符号 （P.76-89为旧版本） （1）右矢空间 一个状态通过一组力学量完全集的测量（完全测量）来确 定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。 (二)态矢量 例如：一维线性谐振子其状态由量子数 n 确定，记为ψn(x)；氢原子的状态由 量子数 n, l, m 确定，记为 ψn l m( r,θ, ϕ)， 如此等等