12/实数 做做 (1)用计算器求2; (2)利用平方运算验算(1)中所得的结果 用计算器求2,显示结果为1.414213562.再用计算 器计算1.414213562的平方,结果是1.999并不 是2.这说明计算器求得的只是2的近似值 用计算机计算2,你可能会大吃一惊: √2=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766 797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970 249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557 999505011527820605714701095599716059702745345968620147285174 186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079 896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617 29835575220337531857011354374603408498847160386899970699008 1503054402779031645424782306849293691862158057846311196667 130130156185689872372352885092648612494977154218334204285686 06014682472071435854874155657069677653720264854470158580 620758474922657226002085584665214583988939443709265918001 388246468157082630100594858704003186480342194897278290641045 072636881313739855256117322040245091227700226941127573627280 495738108967504018369868368450725799364729060762996941380475 6548237289971803268024744206292691248590521810045984215059 12024944134172853147810580360337107730918286931471017111083 91658172688941975871658215212… 8·第11章数的开方
在数学上已经证明,没有一个有理数的平方等于2 也就是说,√2不是一个有理数 有兴趣的同 学可以读一读第 那么,√2是怎样的数呢? 12页的阅读材料 我们知道,有理数包括整数和分数,而任何一个分数写 成小数的形式,必定是有限小数或者无限循环小数,例如: 4 0.25 3 =0.6=0.666666666 请你随意写 7=0.142857=0.142857142857142857 出三个分数,将 它化成小数,验 2不是一个有理数,实际上,它是一个无限不循环 证这个结论 小数 类似地,5、圆周率m等也都不是有理数,它们都 是无限不循环小数 概括 无限不循环小数叫做无理数( irrational number).上 面所提到的2、5、m等都是无理数 有理数和无理数统称实数( real number) 按照计算器 试试 显示的结果,你能 想象出√2在数轴 上的大致位置吗? 你能在数轴上找到表示2的点吗? 如图11.2.1,将两个边长为1的正方形分别沿对角 线剪开,得到四个等腰直角三角形,即可拼成一个大正方 形.容易知道,这个大正方形的面积是2,所以大正方形 的边长为2 这就是说,边长为1的正方形的对角线长是2,利 图11.2.1 用这个事实,我们容易在数轴上画出表示√2的点,如图 11.2.2所示 图11.2.2
概括 数学上可以证明,数轴上的每一点必定表示一个实 数;反过来,每一个实数(有理数或无理数)都可以用数轴 能说“有理数 上的一个点来表示.换句话说,实数与数轴上的点 和数轴上的点一 应,这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步 对应”吗?为什么? 在七年级上学期第2章学过的有关有理数的相反数 和绝对值等概念、大小比较法则、运算法则以及运算律 对于实数也适用 从有理数扩充到实数以后,正数总可以开方在实数 范围内,任意一个正数有两个平方根,它们互为相反数0 的平方根是0;负数没有平方根任意一个实数有且仅有 个立方根 涉及无理数的大小比较和运算,通常可以取它们的 近似值来进行 D试比较3+2与丌的大小 解用计算器求得 3+2≈3.14626437, 而 T≈3.141592654 因此 √2> 2计算 √2.(精确到0.01) 6 dm1-2=0.167-1.414=-1.247, 取近似值计算 时,中间结果通常 于是 -√2≈1.247 应比要求的精确度 多取一位 ≈1.571-1.247 0.324 10·第11章数的开方
D由于1<2,所以 2=√2 6 原式 √2 T 2 √2 由此算式,可直接将数据输入计算器进行计算 练习 1.下列说法是否正确?为什么? (1)两个整数相除,如果永远都除不尽,那么结果一定是一个无理数; (2)任意一个无理数的绝对值都是正数 2.计算:2√6+3√7.(精确到0:01) 3.比较下列各对数的大小 (1)23和32 (2)、y 习题11.2 1.完成下列表格 实数 相反数 绝对值 2.比较下列各对数的大小 (1)√2与3 (2)-4与-3 3.计算:25-52|+42-331(精确到0.01) 4.对于无理数,试解答下列问题: (1)√7在数轴上位于哪两个相邻的整数之间? (2)借助计算器找出实数a与b,使a<7<b,且b-a=0.001 第11章数的开方·11
溉读材料 为什么说2不是有理数 我们可以用以下推理来证明√2不是一个有理数 假设∥2是一个有理数,那么它可以表示为两个整数的商,语59(P、9是 互质的正整数).由√2的意义,可知 2 即有 故 显然,2P是一个偶数,即q是一个偶数,因此q是偶数.于是,可设q=2k (k是正整数)由上式,得 (2k)=2 从而 2k= P p2是偶数,因此P也是偶数,这与p、q互质的假设矛盾 这个矛盾表明假设“√2是一个有理数”不成立,所以2不是一个有理数 √5 的算法 你知道√5有多大吗?它所对应的点究竟在数轴上哪个位置呢?让我 起来找找看吧 由于2<5<32,可以肯定2<5<3,也就是、5的位置应该在2与3之 间能不能再精确一点呢?再尝试一下,你会发现2.2<5<2.3,那么√5的位 置就在2.2与2.3之间了,按照这个方法,继续试下去,有 第11章数