中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 第三章 Poission过程( Poission信号流) 一、基本概念 (1)独立增量过程 定义:设{X(t),t∈T}是一随机过程,如果对于任意的 t2<…<n,Vn∈N,t∈T,1si≤n,有随机过程X()的增量 X(12)-X(t1),X(t2)-X(t2),…,X(tn)-X(tn1) 相互独立,则称随机过程{X(1),t∈T}是独立增量过程 注意:若独立增量过程的参数集T={ab),a>-∞,一般假定 X(a)=0,则独立增量过程是一马氏过程。特别地,当X(O)=0时, 独立增量过程{X(),t≥0}是一马氏过程。 形式上我们有 PX(t)≤xn|X()=x2,X(2)=x23…,X(tn)=xn} P{X(n)≤xn,X(1)=x1,X(t2)=x2…,X(tn)=xn P{X(1)=x1,X(t2)=x2,…,X(tn-1)=xn1} P{X(n)≤x,X(1)=x1,X(2)=x2…,X(n2)=xn2Y(n)=xm} P{X(t1)=x1,X(2) X(tm-2)=m-2X(tm-1)=xn-1) 因此,我们只要能证明在已知X(n1)=x条件下,X(t)与 (),=12,…n-2相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当a<t1<tn1<t,j=1,2,…,n-2 时,增量X(t)-X(a)与X(n)-X(tn)相互独立,由于在条件
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第三章 Poission 过程（Poission 信号流） 一、 基本概念 （1） 独立增量过程 定义：设 {X(t), t T} 是一随机过程，如果对于任意的 t 1 t 2 t n , n N ， t i T,1 i n ，有随机过程 X (t) 的增量： ( ) ( ), ( ) ( ), , ( ) ( ) 2 − 1 3 − 2 n − n−1 X t X t X t X t X t X t 相互独立，则称随机过程 {X(t), t T} 是独立增量过程。 注意：若独立增量过程的参数集 T =[a,b), a − ，一般假定 X (a) = 0 ，则独立增量过程是一马氏过程。特别地，当 X (0) = 0 时， 独立增量过程 {X(t), t 0} 是一马氏过程。 形式上我们有： { ( ) , ( ) , , ( ) ( ) } { ( ) , ( ) , ( ) , , ( ) ( ) } { ( ) , ( ) , , ( ) } { ( ) , ( ) , ( ) , , ( ) } { ( ) ( ) , ( ) , , ( ) } 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 − − − − − − − − − − − − − − = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x X t x X t x X t x P X t x X t x X t x P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x X t x X t x 因此，我们只要能证明在已知 1 1 ( ) n− = n− X t x 条件下， ( ) n X t 与 X(t j ) , j =1,2, ,n − 2 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当 a t j t n−1 t n , j =1,2, ,n − 2 时，增量 X(t ) X(a) j − 与 ( ) ( ) n − n−1 X t X t 相互独立，由于在条件
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 X(tn)=x和X(a)=0下,即有X(t,)与X(n)-x相互独立。由 此可知,在X(n)=x条件下,X()与X(1),=12,…n-2相互 独立,结果成立。 (2)计数过程 定义:在[01)出现随机事件A的总数组成的过程{N(,t≥0}称 为计数过程。计数过程满足 (a)N(t)≥0; (b)N()∈N; (c)ys,t>0,s<t,则有:N(s)≤N(); (d)vs,t>0,s<t,N(t)-N(s)表示在时间间隔[s,1)内事件A 出现的次数。 若计数过程在不相交的时间间隔内事件A出现的次数是相互 独立的,则称此计数过程为独立增量计数过程。 若计数过程在时间间隔[t,t+s)内出现事件A的次数只与时间 差s有关,而与起始时间t无关,则称此计数过程为平稳增量计 数过程。 (3) Poission过程 Poission过程是计数过程,而且是一类最重要、应用广泛的
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 1 1 ( ) n− = n− X t x 和 X (a) = 0 下，即有 ( )j X t 与 1 ( )n − n− X t x 相互独立。由 此可知，在 1 1 ( ) n− = n− X t x 条件下， ( ) n X t 与 X(t j ) , j =1,2, ,n − 2 相互 独立，结果成立。 （2） 计数过程 定义：在 [0.t) 出现随机事件 A 的总数组成的过程 {N(t), t 0} 称 为计数过程。计数过程满足： （a） N(t) 0 ； （b） 0 N(t) N ； （c） s, t 0, s t ，则有： N(s) N(t) ； （d） s, t 0, s t ， N(t) − N(s) 表示在时间间隔 [s,t) 内事件 A 出现的次数。 若计数过程在不相交的时间间隔内事件 A 出现的次数是相互 独立的，则称此计数过程为独立增量计数过程。 若计数过程在时间间隔 [t,t + s) 内出现事件 A 的次数只与时间 差 s 有关，而与起始时间 t 无关，则称此计数过程为平稳增量计 数过程。 （3） Poission 过程 Poission 过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 计数过程,它最早于1837年由法国数学家 Poission引入。 定义:一随机计数过程{N(t),t≥0称为时齐(齐次) Poission 过程,若满足: ) (b)独立增量过程,即任取0<t<t2<…<Ln,n∈N, (t1),N(t2)-N(1)…,N(tn)-N(tn) 相互独立; (c)增量平稳性,即: V,t>0,n≥0,P{N(s+1)-N(1)=n}=P{N()=n} (d)对任意t>0,和充分小的△t>0,有: P{N(t+△t)-N(t)=l}=A△t+o(△t) PN(+△)-N()≥2}=0(△) 其中λ>0(称为强度常数)。 定理:若{N(1)1≥0为时齐 Poission过程,则vs,t>0,有: P{N(S+1)-N(s)=k}=P{N(1)=k} () e-,k∈N k 即N(s+t)-N(s)是参数为At的 Poission分布。 证明:由增量平稳性,记: P(1)=P{N()=n}=P(N(s+1)-N(s)=n} (I)n=0情形:因为 N(+h)=0}={N()=0,N(t+h)-N(t)=0},h>0, 我们有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 计数过程，它最早于 1837 年由法国数学家 Poission 引入。 定义：一随机计数过程 {N(t), t 0} 称为时齐（齐次）Poission 过程，若满足： （a） N(0) = 0 ； （b）独立增量过程，即任取 0 t 1 t 2 t n , n N ， ( ), ( ) ( ), , ( ) ( ) 1 2 − 1 n − n−1 N t N t N t N t N t 相互独立； （c）增量平稳性，即： s,t 0, n 0, P{N(s + t) − N(t) = n}= P{N(t) = n} （d）对任意 t 0 ，和充分小的 t 0 ，有： + − = + − = = + { ( ) ( ) 2} ( ) { ( ) ( ) 1} ( ) P N t t N t t P N t t N t t t 其中 0 （称为强度常数）。 定理：若 {N(t), t 0} 为时齐 Poission 过程，则 s,t 0 ，有： e k N k t P N s t N s k P N t k t k + − = = = = − , ! ( ) { ( ) ( ) } { ( ) } 即 N(s + t) − N(s) 是参数为 t 的 Poission 分布。 证明：由增量平稳性，记： P (t) P{N(t) n} P{N(s t) N(s) n} n = = = + − = （I） n = 0 情形：因为 {N(t + h) = 0}={N(t) = 0, N(t + h) − N(t) = 0}, h 0 ， 我们有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 P(t+h)=P{N()=0,N(t+h)-N(t)=0}= P{N(1)=0}P{N(t+h)-N(m)=0}=P0(D)P(h) 另一方面 P(h)=P{N(+h)-N()=0}=1-(h+o(h) 代入上式,我们有: (+h)-(t) (h) P0(t) h 令h→>0,我们有: P(0)=P{N0)=0} P0() (I〕n>0情形:因为 {N(t+h)=n}={N(t)=n,N(t+h)-N(t)=0)} U{N(t)=n-1,N(t+h)-N(t)=1} UUN(=n-L,N(t+h)N(D=1) 故有 P(t+h=P(t(l-Ah-O(h))+P-(t(h+o(h)+o(h) 化简并令h→>0得: P(1)=-P(D)+APn1() 两边同乘以e,移项后有: ["p(ol=he dt P(0)=P(N(0)=n}=0 当n=1时,有 eP(O)]=,P(0)=0→P 由归纳法可得:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 { ( ) 0} { ( ) ( ) 0} ( ) ( ) ( ) { ( ) 0, ( ) ( ) 0} 0 0 0 P N t P N t h N t P t P h P t h P N t N t h N t = = + − = = + = = + − = = 另一方面 ( ) { ( ) ( ) 0} 1 ( ( )) P0 h = P N t + h − N t = = − h + h 代入上式，我们有： = − + + − h h P t h P t h P t ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 令 h →0 ，我们有： t P t e P P N P t P t − = = = = = − ( ) (0) { (0) 0} 1 ( ) ( ) 0 0 0 0 （II） n 0 情形：因为： = − + − = = − + − = + = = = + − = = n l N t n l N t h N t l N t n N t h N t N t h n N t n N t h N t 2 { ( ) , ( ) ( ) } { ( ) 1, ( ) ( ) 1} { ( ) } { ( ) , ( ) ( ) 0} 故有： ( ) ( )(1 ( )) ( )( ( )) ( ) P n t + h = P n t − h − h + P n−1 t h + h + h 化简并令 h →0 得： ( ) ( ) ( ) 1 P t P t P t n = − n + n− 两边同乘以 t e ，移项后有： = = = = − (0) { (0) } 0 ( ) ( ) 1 P P N n e P t e P t dt d n n t n t 当 n =1 时，有： t t e P t P P t t e dt d − ( ) = , (0) = 0 ( ) = ( ) 1 1 1 由归纳法可得：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 P(t) (t) ∈N 注意:E{N(t)}=At E{N(1)} ,因此λ代表单位时间内 事件A出现的平均次数。 注意: Poission过程的转移率矩阵(Q矩阵)的表示,并用 上面讲过的方法求解 Poission过程的一维分布。 、 Poission过程与指数分布的关系 设{N(t),1≥0是一计数过程,记 S=0,S表示第n个事件发生的时刻(n≥1), Xn=Sn-Sn(≥1)表示第n-1个事件与第n事件发生的时间 间隔 当t≥0,n≥0时,有以下基本的关系式: {N()≥n}={Sn≤t =1 t<Sn1}={Sn≤}-{Sn≤t 因此,我们有关于随机变量S的分布函数: 当t<0时,F(1)=0;当t≥0时,有: (0)=PSs=P(N)2m2=1-PN()<m=1-e-(ny 其概率密度为 fs(t) n(t) ≥0
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 0 , ! ( ) ( ) e n N n t P t t n n = − 注意： t E N t E N t t { ( )} { ( )} = = ，因此 代表单位时间内 事件 A 出现的平均次数。 注意：Poission 过程的转移率矩阵（Q 矩阵）的表示，并用 上面讲过的方法求解 Poission 过程的一维分布。 二、 Poission 过程与指数分布的关系 设 {N(t), t 0} 是一计数过程，记： S0 = 0 ， S n 表示第 n 个事件发生的时刻（ n 1 ）， ( 1) X n = S n − S n−1 n 表示第 n −1 个事件与第 n 事件发生的时间 间隔。 当 t 0, n 0 时，有以下基本的关系式： {N(t) n} {S t} = n { ( ) } { } { } { } 1 1 N t n S t S S t S t = = n n+ = n − n+ 因此，我们有关于随机变量 S n 的分布函数： 当 t 0 时， F (t) = 0 Sn ；当 t 0 时，有： = = = − = − − = − 1 0 ! ( ) ( ) { } { ( ) } 1 { ( ) } 1 n k k t S n k t F t P S t P N t n P N t n e n 其概率密度为： , 0 ( 1)! ( ) ( ) 1 − = − − e t n t f t t n Sn