中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 第三章 Poission过程( Poission信号流) 四、到达时间的条件分布 下面讨论在条件N(1)=n下,S,S2…,S,的条件分布问题。 定理:设{N()t≥0}为时齐 Poission过程,则对v0<s<t,有: {X≤s|N(t)=1} 证明: P(x≤N()=1)=2xXsA()=1= P{N(t)=1} PN(s)=1N()-N(s)=0}(4s)e”s P{N()=1} (2.s)e 定理:设{N(),t≥0}为 Poission过程,则事件相继发生的时间 S,S2…,S,在已知条件N(t)=n下的条件概率密度为 f(t12,…y)=1r 0<t,<t<…<t<t 其它 证明:对0<1<12<…<tn<tn1=t,取h=hn1=0及充分小的 h,使得1+h<tn1,1≤i≤n,则有: P1<S≤t+h1,1≤i≤nN()=n P{N(t1+h1)-N(t1)=1,1≤i≤n,N(t)-N(t1+h)=0,1≤j≤n PIN(=n (h1)e…(hn)e,e-() (t) hh2…h 因此可得定理的结果
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第三章 Poission 过程（Poission 信号流） 四、 到达时间的条件分布 下面讨论在条件 N(t) = n 下， S S S n , , , 1 2 的条件分布问题。 定理：设 {N(t), t 0} 为时齐 Poission 过程，则对 0 s t ，有： t s P{X1 s N(t) =1} = 证明： t s s e s e e P N t P N s N t N s P N t P X s N t P X s N t t s t s = = = = − = = = = = = = − − − − ( ) ( ) { ( ) 1} { ( ) 1, ( ) ( ) 0} { ( ) 1} { , ( ) 1} { ( ) 1} ( ) 1 1 定理：设 {N(t), t 0} 为 Poission 过程，则事件相继发生的时间 S S S n , , , 1 2 在已知条件 N(t) = n 下的条件概率密度为 = 0 , 其它 , 0 ! ( , , , ) 1 2 1 2 t t t t t n f t t t n n n 证明：对 t t t t t 0 1 2 n n+1 = ，取 h0 = h n+1 = 0 及充分小的 i h ，使得 t i + hi t i+1 ,1 i n ，则有： n n t n h t h h h n h i i i j j j i i i i h h h t n e n t h e h e e P N t n P N t h N t i n N t N t h j n P t S t h i n N t n n n 1 2 ( ) 1 1 ! ! ( ) ( ) ( ) { ( ) } { ( ) ( ) 1,1 , ( ) ( ) 0,1 } { ,1 ( ) } 1 1 2 = = = + − = − + = = + = = − − − − − − − − + 因此可得定理的结果
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 本定理说明:在N(t)=n的条件下,事件相继发生的时间 S,S2…,S的条件分布与n个在[0n上相互独立同均匀分布的顺 序统计量的分布函数一样。 定理:设{N(1)t≥0}为计数过程,Xn为第n个事件与第n-1个 事件的时间间隔,{X,n≥独立同分布且F(x)=P{X≤x},若 F(0)=0且对v0<s<t,有 P{X1≤s|N(t)=1} t>0 则{N(t),t20}为 Poission过程。 定理:设{N()t≥0}为计数过程,X为第n个事件与第n-1个 事件的时间间隔,{X。,n≥l}独立同分布且F(x)=P{X≤x},若 E{Xn}<∞,F(0)=0,且对V0<s<t,有 PSn≤|N()=m}= t>0 则{N(t),t≥0}为 Poission过程。 例:设到达火车站的顾客流遵循参数为A的 Poission流 N(,t≥0},火车时刻离开车站,求在0n到达车站的顾客等待 时间总和的期望值。 解:设第个顾客到达火车站的时刻为S,则0内到达车站 的顾客等待时间总和为 S()=∑(t-S) 因为
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 本定理说明：在 N(t) = n 的条件下，事件相继发生的时间 S S S n , , , 1 2 的条件分布与 n 个在 [0,t] 上相互独立同均匀分布的顺 序统计量的分布函数一样。 定理：设 {N(t), t 0} 为计数过程， X n 为第 n 个事件与第 n −1 个 事件的时间间隔， {X , n 1} n 独立同分布且 F(x) P{X x} = n ，若 F(0) = 0 且对 0 s t ，有 { 1 ( ) =1} = , t 0 t s P X s N t 则 {N(t), t 0} 为 Poission 过程。 定理：设 {N(t), t 0} 为计数过程， X n 为第 n 个事件与第 n −1 个 事件的时间间隔， {X , n 1} n 独立同分布且 F(x) P{X x} = n ，若 E{X n } , F(0) = 0 ，且对 0 s t ，有 { ( ) } , 0 = = t t s P S s N t n n n 则 {N(t), t 0} 为 Poission 过程。 例：设到达火车站的顾客流遵循参数为 的 Poission 流 {N(t), t 0} ，火车 t 时刻离开车站，求在 [0,t] 到达车站的顾客等待 时间总和的期望值。 解：设第 i 个顾客到达火车站的时刻为 i S ，则 [0,t] 内到达车站 的顾客等待时间总和为： = = − ( ) 1 ( ) ( ) N t i Si S t t 因为：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 E{S()|N(1)=n}=E{∑(t-S)N(1)=n} 况(t-S,)N()=n}=m-E{∑S nt nt 故: E{S(O)}=∑PN()=nE{∑(-=S)N(O)=n P{N(1)=n} E{N(t)}=t2 例:设一系统在[0,1]内受冲击的次数{N(),t≥0}是参数为λ 的齐次 Poission过程,第k次受冲击的损失为D,其中{D,k≥l} 是独立同分布并与{N(1),t≥0}独立,且损失随时间按负指数衰 减。t=0的衰减为D,经t时刻损失为De"(a>0为常数),设损 失可加,t时刻的总损失为()=∑De,其中S为第k次冲 击到达的时刻,试求Ef() 解:由于 E{5(1)N()=n}=E{∑DeN()=n} E∑De0N(t)=n E{D4|N(1)=n}E{e N =EDe"∑Ee|N(t)=r} 记H,F2…为[0,n上独立同均匀分布的随即变量,则有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 2 2 { ( ) ( ) } { ( ) } { ( ) ( ) } { ( ) ( ) } 1 1 ( ) 1 n t n t n t E t S N t n n t E S N t n E S t N t n E t S N t n n i i n i i N t i i = − = = − = = − = = = − = = = = = 故： 2 0 0 ( ) 1 2 { ( )} 2 2 { ( ) } { ( )} { ( ) } { ( ) ( ) } E N t t nt t P N t n E S t P N t n E t S N t n n n N t i i = = = = = = = − = = = = 例：设一系统在 [0, t] 内受冲击的次数 {N(t), t 0} 是参数为 的齐次 Poission 过程，第 k 次受冲击的损失为 Dk ，其中 {D , k 1} k 是独立同分布并与 {N(t), t 0} 独立，且损失随时间按负指数衰 减。 t = 0 的衰减为 D ，经 t 时刻损失为 t De− ( 0 为常数)，设损 失可加， t 时刻的总损失为 = − − = ( ) 1 ( ) ( ) N t k t S k k t D e ，其中 Sk 为第 k 次冲 击到达的时刻，试求 E(t)。 解：由于： = − = − − = − − = − − = = = = = = = = = = n k t S n k t S k n k t S k N t k t S k ED e E e N t n E D N t n E e N t n E D e N t n E t N t n E D e N t n k k k k 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) { ( ) } { ( ) } { ( ) } { ( ) } { ( ) ( ) } { ( ) } 记 Y Y Y n , , , 1 2 为 [0, t] 上独立同均匀分布的随即变量，则有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 ∑E{e|N()=n}=E∑e“}=E∑e“}=ne 所以有: E{()N()=m}=[-e-"1ED 即有: E{(N()=N()1_-1,ED 故: ·ED E{5()}=EE{5(1)N)] 五、非齐次(时齐) Poission过程 定义:一计数过程{N(1),t≥0},称它为具有强度函数 ()>0,t≥0}的非齐次 Poission过程,若满足: (a)N(0)=0 (b)独立增量过程,即任取0<1<12<…<tn, N(t1),N(t2)-N(t1)…,N(tn)-N(tn) 相互独立; (c)对任意t>0,和充分小的△t>0,有 P{N(t+△t)-N(t)=1}=(t)t+o(△) P{N(t+△t)-N(t)≥2}=o(△) 其中A(t)>0(称为强度常数)
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 { ( ) } { } { } [ 1] 0 1 1 1 ( ) = = = = = − = = = t t x n k Y n k Y n k S e t n t d x E e N t n E e E e n e k k k 所以有： e ED t n E t N t n t = = − − { ( ) ( ) } [1 ] 即有： e ED t N t E t N t t = − − [1 ] ( ) { ( ) ( )} 故： { ( )} [ { ( ) ( )}] [1 ] t e ED E t E E t N t − − = = 五、 非齐次（时齐）Poission 过程 定 义 ： 一 计数 过 程 {N(t), t 0} ， 称 它 为 具有 强 度 函 数 {(t) 0, t 0} 的非齐次 Poission 过程，若满足： （a） N(0) = 0 （b）独立增量过程，即任取 n t t t 0 1 2 ， ( ), ( ) ( ), , ( ) ( ) 1 2 − 1 n − n−1 N t N t N t N t N t 相互独立； （c）对任意 t 0 ，和充分小的 t 0 ，有： + − = + − = = + { ( ) ( ) 2} ( ) { ( ) ( ) 1} ( ) ( ) P N t t N t t P N t t N t t t t 其中 (t) 0 （称为强度常数）
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 记:m()=4(s)ds,则有 定理:若{N(),t≥0}为非时齐具有强度函数{(t)>0.,t≥0}的 Poission过程,则ys,t>0,有: PIN(S+D)-N(s=n=Im(s+t)-m(sre-dmf( #-mtsl(n=0) 定理:(变换定理) (a)设{N(,t≥0}为具有强度函数{()>0,t≥0}的非时齐 Poussin过程,令m(1)=2(),m()是m()的反函数(由于m(t) 单调增,反函数一定存在),记M(u)=N(m(a),则{M(a,≥0} 是时齐 Poission过程。 (b)设{M(u),u≥0}是时齐 Poission过程,参数A=1。若强 度函数{(s)>0,s≥0},令m(t)=「(s)ds,N()=M(Om(t),则 N(1),t≥0}是非时齐的具有强度函数{(s)>0,s≥0}的 Poission 过程 六、复合 Poission过程 定义:设{,i≥l}是独立同分布的随即变量序列,{N(1),t≥0} 为 Poission过程,且{N(t),t≥0}与{,il独立,记: X(1)=∑Y 称{X(t),t≥0}为复合 Poission过程。 物理意义:如{N(),t≥0}表示粒子流,N(t)表示[4内到达
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 记： = t m t s ds 0 ( ) ( ) ，则有： 定理：若 {N(t), t 0} 为非时齐具有强度函数 {(t) 0, t 0} 的 Poission 过程，则 s,t 0 ，有： ( 0) ! ( ) ( ) { ( ) ( ) } [ ( ) ( )] + − + − = = − + − e n n m s t m s P N s t N s n m s t m s n 定理：（变换定理） （a）设 {N(t), t 0} 为具有强度函数 {(t) 0, t 0} 的非时齐 Poission 过程，令 = t m t s ds 0 ( ) ( ) ， ( ) 1 m t − 是 m(t) 的反函数（由于 m(t) 单调增，反函数一定存在），记 ( ) ( ( )) 1 M u N m u − = ，则 {M(u), u 0} 是时齐 Poission 过程。 （b）设 {M(u), u 0} 是时齐 Poission 过程，参数 =1 。若强 度函数 {(s) 0, s 0} ， 令 = t m t s ds 0 ( ) ( ) ， N(t) = M(m(t)) ，则 {N(t), t 0} 是非时齐的具有强度函数 {(s) 0, s 0} 的 Poission 过程。 六、 复合 Poission 过程 定义：设 {Y , i 1} i 是独立同分布的随即变量序列， {N(t), t 0} 为 Poission 过程，且 {N(t), t 0} 与 {Y , i 1} i 独立，记： = = ( ) 1 ( ) N t i Yi X t 称 {X (t), t 0} 为复合 Poission 过程。 物理意义：如 {N(t), t 0} 表示粒子流， N(t) 表示 [0,t] 内到达