中科院研究生院《随机过程》讲稿：习题解答

中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 随机过程习题解答(一) 第一讲作业 1、设随机向量(X,Y)的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布N(0,1) (a)分别写出随机变量X+Y和X-Y的分布密度 (b)试问:X+Y与X-Y是否独立?说明理由。 解:(a)X+Y~N(0,2),X-y~N(0,2) (b)由于 X+y X B detB=-2≠0 X-Y Y 因此 是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为: X-y D=BE、B 1-1)01人1-1)(02 因此X+Y与X-Y独立 2、设X和Y为独立的随机变量,期望和方差分别为1,G1和22 (a)试求Z=XY和X的相关系数 (b)z与X能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。 解:(a)利用X,Y的独立性,由计算有: COv(2,X=E{-E(Y川X-E(X)}=[o2++21412-242=a22 D(Z)=E(2)-E2(2)=E(X2)E(2)-122=a2+a22+2a2 P G2+0112+o1G2 1 (b)当p=1的时候,Z和X线性相关,即 2a2+22+a1a2=a2 3、设{X(1),t≥0}是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为 E{X(s)X(t)}=B(t-s),s≤t,且是一个周期为T的函数,即B(z+T)=B(r),r≥0 试求方差函数DX()-X(t+T)

中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量(X ,Y) 的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布 N(0,1) 。 （a）分别写出随机变量 X + Y 和 X −Y 的分布密度 （b）试问： X + Y 与 X −Y 是否独立？说明理由。 解：（a） X + Y ~ N(0,2), X − Y ~ N(0,2) （b）由于： ,det 2 0 1 1 1 1 , 1 1 1 1 = − ≠         − =         =                − =        − + B B Y X B Y X X Y X Y 因此   是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：       − + X Y X Y         =        −                 − = = 0 2 2 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 T D BE B 因此 X + Y 与 X −Y 独立。 2、设 X 和Y 为独立的随机变量，期望和方差分别为 和 。 2 1 1 µ ,σ 2 2 2 µ ,σ （a）试求 Z = XY 和 X 的相关系数； （b） Z 与 X 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用 X ,Y 的独立性，由计算有： 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 Cov(Z, X ) = E{[XY − E(XY)][X − E(X )]} = [σ + µ ]µ − µ µ = σ µ 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 D(Z) = E(Z ) − E (Z) = E(X )E(Y ) − µ µ = µ σ +σ µ +σ σ ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 µ σ σ µ σ σ σ µ σ µ σ σ µ σ σ σ µ ρ + + = + + ZX = （b）当 = 1 ρ XZ 的时候， Z 和 X 线性相关，即 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 µ1σ +σ µ +σ σ = σ µ 3、设 { 是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为 X (t), t ≥ 0} E{X (s)X (t)} = B(t − s), s ≤ t T 的函数，即 B(τ + T) = B(τ ), τ ≥ 0 ， 试求方差函数 D[X (t) − X (t + T)]。 1

中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 解:由定义,有: DLX(0-X(t+T)]= DLX(O]+ DlX(t+T) 2ELX(0-EXOOILX(t+T)-eX(+T)Ig =B(0)+B(0)-2E{X(1)X(+T)} =B(0)+B(0)-2B(7)=0 4、考察两个谐波随机信号Y()和Y(),其中 X(0=Acos(@t+o, Y(=Bcos(@1) 式中A和O为正的常数;p是]内均匀分布的随机变量,B是标准正态分布的随机 量 (a)求X()的均值、方差和相关函数; (b)若φ与B独立,求H(t)与Y(1)的互相关函数。 解:(a)E{X(m)}=0 Rx(t1,12)=E{X(1)X(12)} =[A2cos(an+)cs0.l2+g)r-2(-2) -COSOT T=t-t D(X()=[ cos2(o1+o)do (b)Rxy(12)=E{X(1)Y(2)}=0 第二讲作业: P33/2.解: nT<t≤nT+n 5(1) 0m7+<1s(n+D其中n为整数,n为脉宽 0 x< F(x)={P{<I≤T=T 0≤x<A x≥A 从而有一维分布密度 f(x.)=(x)

中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 解：由定义，有： (0) (0) 2 ( ) 0 (0) (0) 2 { ( ) ( )} 2 {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] = + − = = + − + − − + − + − + = + + B B B T B B E X t X t T E X t EX t X t T EX t T D X t X t T D X t D X t T 4、考察两个谐波随机信号 X (t) 和Y(t)，其中： X (t) Acos( t ), Y(t) Bcos( t) = ωc +φ = ωc 式中 A 和ωc 为正的常数；φ 是[− π ,π ]内均匀分布的随机变量， B 是标准正态分布的随机 变量。 （a）求 X (t) 的均值、方差和相关函数； （b）若φ 与 B 独立，求 X (t) 与Y(t)的互相关函数。 解：（a） E{X (t)} = 0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 cos 2 cos( ( )) 2 2 1 cos( ) cos( ) ( , ) { ( ) ( )} t t A t t A A t t d R t t E X t X t c c c c XX = = − = + + = − = = ∫− ω τ τ ϕ ω π ω ϕ ω ϕ π π 2 2 1 { ( )} cos ( ) 2 2 2 A D X t = A c t + d = ∫− π π ϕ π ω ϕ （b） ( , ) { ( ) ( )} 0 RXY t1 t2 = E X t1 Y t2 = 第二讲作业： P33/2．解：    + < ≤ + < ≤ + = nT t n T A nT t nT t 0 ( 1) ( ) η η ξ 其中 n 为整数，η 为脉宽 ( ) x A x A x T t F x t P t T ≥ ≤ < <           = < ≤ = 0 0 1 0 1 { } 0 ξ , η 从而有一维分布密度： ( ) ( ) ( ) x A T t x T t f x t t  −      ξ , = δ + 1− δ 2

中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 P333.解:由周期性及三角关系,有 5()=2(+7-z0)t∈[ro-7,zo] 反函数x0=T+1--5(),因此有一维分布 1 d ∈(0,A) 其它 0 P35/4.解:(1)()=sin(om+p)其中p=tan 由题意可知,(5,)的联合概率密度为 2 利用变换:{x=cos→=√x2+y2o=1-y,及雅克比行列式 ay ay 我们有(V,p)的联合分布密度为: fr,(v,qy〃ke2v≥0,0≤q≤2n 因此有 f(v)=ve2p≥0 fe(o) 0≤q≤2 且V和φ相互独立独立 (2)典型样本函数是一条正弦曲线 (3)给定一时刻t,由于5,独立、服从正态分布,因此()也服从正态分布,且 E(()=E( cos at +nsin at)=COs OE(S+sin atE(n)=0 D((=D( cos at +nsin ar)=D( cos or)+ D(sin t) COS OD()+sin*otD(=1 所以()~N(0)

中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 P33/3．解：由周期性及三角关系，有： ( ) [ ] 0 0 0 ξ ( ) t T τ t τ T, τ T A t = + − ∈ − 反函数 (t) A T τ 0 = T + t − ξ ，因此有一维分布： 其它 (0, ) 0 1 1 1 ( ) 0 x A A A T dx T d f t x T ∈      = ⋅ = = τ ξ P35/4. 解：(1) ς ( )t = V sin(ωt + φ) 其中 1 2 2 tan , ξ η η ξ φ = = + − V 由题意可知，(ξ,η) 的联合概率密度为： exp{ ( )/ 2} 2 1 ( , ) 2 2 ( , ) f x y = − x + y π ξ η 利用变换： x y v x y tg y v x v 2 2 1 sin cos − ⇒ = + =    = = ϕ ϕ ϕ ，及雅克比行列式： v y v y x v x J = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ϕ ϕ 我们有(V,φ) 的联合分布密度为： ϕ π π φ ϕ 0, 0 2 2 1 ( , ) 2 ( , ) 2 = ≥ ≤ ≤ − f v ve v v V 因此有： ( ) 0 2 2 = ≥ − f v ve v v V ϕ π π φ ϕ 0 2 2 1 f ( ) = ≤ ≤ 且V 和φ 相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻t ，由于ξ,η 独立、服从正态分布，因此ς (t)也服从正态分布，且 E(ς (t)) = E(ξ cosωt +η sinωt) = cosωtE(ξ ) + sinωtE(η) = 0 cos ( ) sin ( ) 1 ( ( )) ( cos sin ) ( cos ) ( sin ) 2 2 = + = = + = + ω ξ ω η ς ξ ω η ω ξ ω η ω tD tD D t D t t D t D t 所以ς ( )t ~ N(0,1) 。 3

中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 2 (4)由于:25(0)M=2+n 所以P(A)=P(2+n>c),因此 当c≤0时 P(A)=1 当c>0时 P(A)=1-P( 由(1)中的结论,有:P(4)=1-F1(√E)=e P36/7.证明 ()RE(4, 42)=Sn cos t, cos l2dn =COS t, cos I2 (2)由协方差函数的定义,有: C(,2)=R(,2)-S7cost, cost, dn. nn cost, cost,dn cOSt, COS/、l COSL, COS,=,cost, cost2 P37/10.解:(1)E(7(m)=nE(5)=n[q(-1)+p1=m(p-q) (2)Rm2(n2,n2)=EC∑∑5)=E(∑55)=∑E(55) 当=j时,E(5)=1:否则E(55)=(p-q) 令n=min(n1,n2),N=max(n1,n2),则有 Rn(m1,n2)=∑E(55)+n1=m(N-1(p-q)2+n=(nn2-m)(P-q)2+n C(n2,n2)=Rn(n1,n2)-E((n1)·E((n2) n2-n)(P-q)2+n-n1(P-q).n2(P-q)=4pq 第三讲作业: Pl|7解: (1)是齐次马氏链。经过n+1次交换后,甲袋中白球数仅仅与n次交换后的状态有关,和

中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 （4） 由于： 2 2 0 2 ( ) 2 ς ξ η π ω ω π = + ∫ t dt 所以 ( ) ( ) ，因此 2 2 P A = P ξ +η > c 当c ≤ 0 时， P(A) = 1 当c > 0 时， ( ) 1 ( ) 2 2 P A = − P ξ +η ≤ c 由（1）中的结论，有： 2 ( ) 1 ( ) c V P A F c e − = − = P36/7．证明： (1) ( ) ∫ = = 1 0 1 2 1 2 2 1 2 cos cos 3 1 R t ,t η cost cost dη t t ξξ (2) 由协方差函数的定义，有： ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1 2 cos cos 12 1 cos cos 4 1 cos cos 3 1 , , cos cos cos cos t t t t t t C t t R t t t t d t t d = − = = − ⋅ ∫ ∫ ξξ ξξ η η η η P37/10. 解：（1） E( (n)) nE( ) n [q ( 1) p 1] n( p q) η = ξ i = ⋅ ⋅ − + ⋅ = − （2） ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 ∑ ∑ ∑ ∑ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = = ≤ ≤ = ⋅ = = j n i n i j j n i n i j n j j n i Rηη n n E ξ i ξ E ξ ξ E ξ ξ 当i = j 时， E(ξ i ξ j ) = 1；否则 ( ) 2 E(ξ i ξ j ) = p − q 令 n = min(n1 , n2 ) ， N = max(n1 , n2 )，则有 R n n E n n N p q n n n n p q n i j j n i n = ∑ i j + ⋅ = ⋅ − − + = ⋅ − − + ≠ ≤ ≤ ≤ ≤ 2 1 2 2 1 1 1 2 ( , ) ( ) 1 [ ( 1)]( ) ( )( ) 2 1 ηη ξ ξ n n n p q n n p q n p q npq C n n R n n E n E n ( )( ) ( ) ( ) 4 ( , ) ( , ) ( ( )) ( ( )) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = ⋅ − − + − − ⋅ − = ηη = ηη − η ⋅ η 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过 n +1次交换后，甲袋中白球数仅仅与 n 次交换后的状态有关，和 4

中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 之前的状态和交换次数无关。 (2)由题意,我们有一步转移矩阵: P 14-94-9 04-94 Pl118.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有 P!0)=0,5()=1,5(2)=}= =P{(2)=1(0)=1}Pk()=1(0)=0}P{5()=0 1311 34416 (2)由齐次马氏链的性质,有: 6164 71613 124848 因此:P=7 PI12/9.解: 1-p0p p 0 p (1)P(2) =P2=010.P( 010|=P2) P P (2)由(1)的结论,当n为偶数时,递推可得:P()=P(m+2) 计算有:P()=P0).P()=P(),递推得到P)=P(m),因此有: P n是奇数 01 P 0 0p0p0p n是偶数 1-p0

中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵：                 = 0 0 1 0 9 1 9 4 9 4 0 0 9 4 9 4 9 1 0 1 0 0 P P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： { } ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) 16 1 4 1 4 3 3 1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0, 1 1, 2 1 = ⋅ ⋅ = = = = ⋅ = = ⋅ = = = = = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ P P P P （2）由齐次马氏链的性质，有： ( )                 = = 48 31 48 13 12 1 36 13 36 16 36 7 4 1 16 7 16 5 2 2 P P ， 因此： ( ) 16 2 7 P01 = P112/9．解： （1） ， ( )           − − = = p p p p P P 1 0 0 1 0 1 0 2 2 ( ) 4 4 (2) 1 0 0 1 0 1 0 P p p p p P P =           − − = = （2）由（1）的结论，当 n 为偶数时，递推可得： ( ) ( +2) = n n P P ； 计算有： ( ) 3 (1) (2) (1) P = P ⋅ P = P ，递推得到 ( ) ( +2) = n n P P ，因此有： ( ) 是偶数 是奇数 n n p p p p p p P n                      − −           − = 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 5