中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 第一章随机过程及其分类 随机过程举例 例a:如果正弦波随机过程为 X(t=Acos(ot +0) 其中振幅A取常数,角频率o取常数,而相位θ是一个随机变 量,它均匀分布于(-z,丌)间,即: f(x)=12 丌≤X<丌 0 其它 求在1时刻X(t)的概率密度。 例b:设一由正弦振荡器输出的随机过程: X(t)=Acos(t+6),t∈(-∞,+∞) 其中A、Ω和θ是相互独立的随机变量,并且已知它们的分布密 度函数分别为:g~U(250,350)、θ~U(0,2x)及 2 f(a)= 4 a∈(0,A0 a(0,A) 试求随机过程X()的一维概率密度。 例c:(一维随机游动)设有一质点在x轴上作随机游动,即 在t=0时质点属于x轴的原点,在t=1,2,3,…时质点可以在x轴上
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第一章 随机过程及其分类 5．随机过程举例 例 a：如果正弦波随机过程为 X(t) = Acos(t +) 其中振幅 A 取常数，角频率 取常数，而相位 是一个随机变 量，它均匀分布于 (−, ) 间，即： − = 0, 其它 , 2 1 ( ) x f x 求在 t 时刻 X (t) 的概率密度。 例 b：设一由正弦振荡器输出的随机过程： X(t) = Acos(t +), t (−,+ ) 其中 A、 和 是相互独立的随机变量，并且已知它们的分布密 度函数分别为： ~U(250, 350)、 ~U(0,2) 及 = 0, (0, ) , (0, ) 2 ( ) 0 2 0 0 a A a A A a f A a 试求随机过程 X (t) 的一维概率密度。 例 c：（一维随机游动）设有一质点在 x 轴上作随机游动，即 在 t = 0 时质点属于 x 轴的原点，在 t =1,2,3, 时质点可以在 x 轴上
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 正向或反向移动一个单位距离,作正向和作反向移动的概率分别 为p和q=1-p。经时间n,质点偏离原点的距离为k,问处于k的 概率如何? 例d:设有一脉冲数字通信系统,它传送的信号是脉宽为T 的脉冲信号,每隔T送出一个脉冲。脉冲幅度X()是一随机变 量,它可取四个值{+2,+1,-1.-2},且取这四个值的概率是相等的 即: P{X(1)=+2}=P{X()=+1}=P{X(t)=-1}=P{X()=-2}=14 不同周期内脉冲的幅度是相互统计独立的,脉冲的起始时间相对 于原点的时间差u为均匀分部在(0,7)内的随机变量。试求在两 个时刻t2时,随机过程X()所取值(X(t1),X(2)的二维联合 概率密度。 例e:设有某通信系统,它传送的信号是脉宽为T的脉冲信 号,脉冲信号的周期为T。如果脉冲幅度X()是随机的,幅度 服从正态分布N(0a2),不同周期内的的幅度是相互统计独立的。 脉冲沿的位置也是随机的,脉冲的起始时间相对于原点的时间差 l为均匀分部在(O,)内的随机变量。u和脉冲幅度间也是相互 统计独立的(脉冲幅度调制信号),试求在两个时刻12时,该 随机过程X(t)所取值(Xx(t1),X(t2)的二维联合概率密度
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 正向或反向移动一个单位距离，作正向和作反向移动的概率分别 为 p 和 q =1− p 。经时间 n ，质点偏离原点的距离为 k ，问处于 k 的 概率如何？ 例 d：设有一脉冲数字通信系统，它传送的信号是脉宽为 T0 的脉冲信号，每隔 T0 送出一个脉冲。脉冲幅度 X (t) 是一随机变 量，它可取四个值 {+2,+1,−1,− 2} ，且取这四个值的概率是相等的， 即： P{X(t) = +2}= P{X(t) = +1}= P{X(t) = −1}= P{X(t) = −2}=1/ 4 不同周期内脉冲的幅度是相互统计独立的，脉冲的起始时间相对 于原点的时间差 u 为均匀分部在 (0, ) T0 内的随机变量。试求在两 个时刻 1 2 t ,t 时，随机过程 X (t) 所取值 ( ( ), ( )) 1 2 X t X t 的二维联合 概率密度。 例 e：设有某通信系统，它传送的信号是脉宽为 T0 的脉冲信 号，脉冲信号的周期为 T0 。如果脉冲幅度 X (t) 是随机的，幅度 服从正态分布 (0, ) 2 N ，不同周期内的的幅度是相互统计独立的。 脉冲沿的位置也是随机的，脉冲的起始时间相对于原点的时间差 u 为均匀分部在 (0, ) T0 内的随机变量。 u 和脉冲幅度间也是相互 统计独立的（脉冲幅度调制信号），试求在两个时刻 1 2 t ,t 时，该 随机过程 X (t) 所取值 ( ( ), ( )) 1 2 X t X t 的二维联合概率密度
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 例的:考察一随机过程,它在t+n时刻具有宽度为b的矩形 脉冲波,脉冲幅度A为一等概率取值土a的随机变量,且b<T, 1是在(0,7)上服从均匀分布的随机变量,并且脉冲幅度A与t独 立,试求该过程的相关函数和方差 例g:随机电报信号定义如下: (1)在任何时刻t,Y()取值为0或1,只有两种可能状态。并 设 P{X(1)=0}=12,P{X(t)=1}=1/2 (2)每个状态的持续时间是随机的,设在T时间内波形变化的 次数服从 Poission分布即 P{H=k}=( 一T (2>0,7>0) k (3)X(t)取何值(即所处的状态)与随机变量是相互统计独 立的 求随机电报信号X()的均值和自相关函数 例a解:固定时刻t,则随机变量X(1)= Acos(ot+)是随机变 量θ的函数。由分布函数的定义: x0(y)=P{X(y)≤y}=P{ Acos(ot+b)≤y 当y<-A时,F0(y)=0 当y≥+A时,F2(y) 当-A≤y<+A时,我们有:
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 例 f：考察一随机过程，它在 0 nT0 t + 时刻具有宽度为 b 的矩形 脉冲波，脉冲幅度 A 为一等概率取值 a 的随机变量，且 b T0 ， 0 t 是在 (0, ) T0 上服从均匀分布的随机变量，并且脉冲幅度 A 与 0 t 独 立，试求该过程的相关函数和方差。 例 g：随机电报信号定义如下： （1）在任何时刻 t ， X (t) 取值为 0 或 1，只有两种可能状态。并 设 P{X(t) = 0}=1/ 2 , P{X(t) =1}=1/ 2 （2）每个状态的持续时间是随机的，设在 T 时间内波形变化的 次数 服从 Poission 分布即： ( 0, 0) ! ( ) { = } = − e T k T P k T k （3） X (t) 取何值（即所处的状态）与随机变量 是相互统计独 立的。 求随机电报信号 X (t) 的均值和自相关函数 例 a 解：固定时刻 t ，则随机变量 X(t) = Acos(t +) 是随机变 量 的函数。由分布函数的定义： ( ) { ( ) } { cos( ) } ( ) F y P X y y P A t y X t = = + 当 y −A 时， FX (t) (y) = 0 当 y +A 时， FX (t) (y) =1 当 − A y +A 时，我们有：
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 Fx0()=PX(y)≤y}= PAcos(at+b)≤y =P({-<≤1- arccos{ arccos2-or<≤x}) d 2 2zot-arccos+I+T-arccos+at ==ot+ -arccos 因此,当-A≤y<+A时,X(t)的概率密度为: 最终得到X(1)的概率密度为 A≤y≤+A fo(y)={z√A2-y 其它 例b解:设Y()= acos(ot+),其中a和o是常数,O~U(0,2丌), 由例a的结果可知Y()的一维分布密度为 asy≤ f0(y)=1√a2-y2 0 其它 比较X(t)与Y(),我们有: Y()=X(1A=a,g=) 由连续型全概率公式,我们有: P{X(0)≤x}=P{X()≤xA,gdF(a,O) 由于A,9相互独立,因此有: dF(a,o=f(a, a)dado=(a)fo(o)dada
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 = + − = − + + − + = + = − − − = = + = − − − A y t t A y A y t d x d x t A y A y P t F y P X y y P A t y t A y A y t X t arccos 1 arccos arccos 2 1 2 1 ({ arccos } {arccos }) ( ) { ( ) } { cos( ) } arccos arccos ( ) 因此，当− A y +A 时， X (t) 的概率密度为： 2 2 / ( ) ( ) 1 ( ) ( ) A y f y F y X t X t − = = 最终得到 X (t) 的概率密度为： − + = − 0, 其 它 , 1 ( ) 2 2 ( ) A y A f X t y A y 例 b 解：设 Y(t) = acos(t +) ,其中 a 和 是常数， ~U(0,2) ， 由例 a 的结果可知 Y(t) 的一维分布密度为： − + = − 0, 其 它 , 1 ( ) 2 2 ( ) a y a f Y t y a y 比较 X (t) 与 Y(t) ，我们有： Y(t) = X(t A = a, =) 由连续型全概率公式，我们有： P{X(t) x}= P{X(t) x A, }dF(a,) 由于 A, 相互独立，因此有： dF(a,) = f (a,)dad = f A (a) f ()dad
中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 故有X()的一维概率密度为 f∫(a)f(O)de d e Ao 2 x|≤A 注意:掌握以下几个重要公式的用法: (全概率公式):P(A)=∑P(B)P(4B,)(离散型) P(4)=P(4Y=)f()(连续型) P(X≤x)=P(X≤x|Y=y)f(y)dy(连续型) (条件数学期望):E(X)=E{E(X1)}=E(x|Y=yf(y) 例c解:设质点第i次移动时的距离为5,则是离散的随机 变量,它可取+1,也可取一1。且P{5=+l}=p P{1=-1}=1-P=q 设:质点在t=n时,偏离原点的距离为X,则X也是一随机 变量,且有: Xn=∑5,X=0 由题意,5与质点所处位置无关,且与(i≠k)独立。 当t=n时,质点可取的值为
中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 故有 X (t) 的一维概率密度为： − = − = = − = 0 0 2 2 2 0 0 350 250 2 0 2 2 2 2 ( ) 0, , 2 100 1 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) 0 x A A x x A A d A a a x d a f a f dad a x f x A x X t A 注意：掌握以下几个重要公式的用法： （全概率公式）： = = n i P A P B P ABi 1 1 ( ) ( ) ( ) （离散型） + − P A = P A Y = y f y dy Y ( ) ( ) ( ) （连续型） + − P X x = P X x Y = y f y dy Y ( ) ( ) ( ) （连续型） （条件数学期望）： + − E X = E E X Y = E X Y = y f y dy Y ( ) { ( )} ( ) ( ) 例 c 解：设质点第 i 次移动时的距离为 i ，则 i 是离散的随机 变 量 ， 它 可 取 ＋ 1 ， 也 可 取 － 1 。 且 P{ 1} p, i = + = P{ i = −1} =1− p = q 设：质点在 t = n 时，偏离原点的距离为 X n ，则 X n 也是一随机 变量，且有： 0 0 1 = = = X X n i n i 由题意， i 与质点所处位置无关，且 i 与 k （ i k ）独立。 当 t = n 时，质点可取的值为: n,n − 2,n − 4, ,− (n − 4),− (n − 2),− n