西安电子科技大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第6章 离散系统z域分析

信号与系统电来 6.2z变换的性质 二、移位(移序)特性单边、双边差别大! 双边变换的移位: 若f(k)←→F(a),a<klkβ,且对整数m>0,则 f(km)←→zmF(,a<zB 证明:zf(km=∑f(k+m如k+m ∑ f(n)z =zF(z n=-0 单边变换的移位: 若f(k)←→F(z),|>α,且有整数m>0,则 f(k<-1)←→zF(Z)+f(-1) f(k-2)←→z2F(z)+f(-2)+f(-1)z1 f(k-m)←→=F()+∑f(k-m)=- 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第6-11页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 6.2 z变换的性质 二、移位（移序）特性 单边、双边差别大！ 双边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z) , <z<，且对整数m>0，则 f(km) ←→ zmF(z), <z< 证明：Z[f(k+m)]= f (k m)z f (n)z z z F(z) m n n m n k m k k  + =  =  =− −  = + =− − 单边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z), |z| > ，且有整数m>0, 则 f(k-1) ←→ z-1F(z) + f(-1) f(k-2) ←→ z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1  − = − − − → + − 1 0 ( ) ( ) ( ) m k m k f k m z F z f k m z

信号与系统电来 6.2z变换的性质 f(k+1)←→zF(z)-f(0)z f(k+2)←→zF()-f(0)z2-f(1)z f(k+m)←→="F(=)-∑f(k)=mk k=0 证明: z|f(k-m)=∑f(k-m)=∑f(k-m)=-+∑f(k-m)=k=m=-m k=0 k=0 k 上式第二项令k-m=n =∑f(k-m)-+∑f(m)="=m=∑f(k-m)=+=mF() k=0 特例:若f(k)为因果序列,则k-m)←→zmF(z) 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第6-12页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 6.2 z变换的性质 f(k+1) ←→ zF(z) – f(0)z f(k+2) ←→ z2F(z) – f(0)z2 – f(1)z  − = − + → − 1 0 ( ) ( ) ( ) m k m m k f k m z F z f k z 证明： Z[f(k – m)]= m m k k m k k m k k f k m z f k m z f k m z z − − =  = − − −  = −  − =  − +  − 1 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 上式第二项令k – m=n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 f k m z f n z z f k m z z F z m m k m k m k n k n − − = − − − =  = − − =  − + =  − + 特例：若f(k)为因果序列，则f(k – m) ←→ z-mF(z)

信号与系统电来 6.2z变换的性质 例1:求周期为N的有始周期性单位序列 ∑6(k-mN) 的z变换。 N 解∑(k-mN)→∑=m n=0 m=0 N-1|z}>1 例2:求f(k)=k(k)的单边夜变换F(z) 解f(k+1)=(k+1)z(k+1)=(k+1)z(k)=f(k)+(k) ZF(z-z(o)=f(z+ F(z)= 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第6-13页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 6.2 z变换的性质 例1：求周期为N的有始周期性单位序列   = − 0 ( ) m  k mN 的z变换。 1 1 1 ( ) 0 0 − = − − → = −  = −  =   N N N m mN m z z z 解  k mN z z>1 例2：求f(k)= kε(k)的单边z变换F(z). 解 f(k+1)= (k+1)ε(k+1) = (k+1)ε(k) = f(k) + ε(k) zF(z) – zf(0) = F(z) + z −1 z F(z)= 2 (z −1) z

信号与系统电来 6.2z变换的性质 三、序列乘a(z尺度变换) 若f(k)←→F(z),a<z-β,且有常数a≠0 则akf(k)←→F(/a), a lak kzk lal 证明: 2|a(k)=∑a3f(k)=∑f(k) 例1:akE(k) 2-a 例2:cos(Bk(k)←→? 0.5z 0.5z c0S(Bk)e(k)=0.5( ej Bk+ej Bk)e(k)←→ B 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第6-14页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 6.2 z变换的性质 三、序列乘a k(z域尺度变换) 若 f(k) ←→ F(z) , <z< ， 且有常数a0 则 a k f(k) ←→ F(z/a) , a<z<a 证明： Z[ak f(k)]= ( ) ( ) ( ) a z F a z a f k z f k k k k k k  =       =   =− −  =− − 例1：a kε(k) ←→ z a z − 例2：cos(k)ε(k) ←→? cos(k)ε(k)=0.5(ej k+ e-j k )ε(k) ←→ j  j  e 0.5 e 0.5 − − + − z z z z

信号与系统电呼 6.2z变换的性质 四、卷积定理 若f1(k)←→F()a1klkβ1 对单边Z变换,要求 f2(k)←→F2(z)a2<zB2 f1(k)、f(k)为因果 则f1(k)*f(k)←→F1(F2(z) 序列 其收敛域一般为F1()与F2(z)收敛域的相交部分 例:求(k)=k(k)的z变换F(z) R: f(k=ke(k)=E(k*E(k-1) z22 →>-12-1(-1) 第61514|4| 西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第6-15页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 6.2 z变换的性质 四、卷积定理 若 f 1 (k) ←→F1 (z) 1<z<1 , f 2 (k) ←→ F2 (z) 2<z<2 则 f 1 (k)*f2 (k) ←→ F1 (z)F2 (z) 对单边z变换，要求 f1 (k)、 f2 (k)为因果 序列 其收敛域一般为F1 (z)与F2 (z)收敛域的相交部分。 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解： f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1) 2 1 1 1 ( −1) = − − → − z z z z z z z