根据 Avogadro定律,在标准状态P=1.013×103Pa,T0=273K时,mM理想气体的体积为 224×10-m3,代入上式 将C代入PF C 得P RT T 3)对于一定质量的气体,若其处于两个不同的平衡态,其物态参量之间的关系是 PV-PV2 若在气体状态变化过程中,其质量发生变化,上式就不成立 阿伏伽德罗(A. Avogadro,1771856) 意大利物理学家。他在181l年提出,在同样的温度和压强下,相同体积的气体含有相同数量的分子,这就是阿伏伽德 罗定律。 §6-2物质的微观模型统计规律性 、物质的微观结构 在长期观察和大量实验的基础上,人们总结出物质结构的微观模型有如下特点 1.一切宏观物体都是由大量微观粒子—分子(或原子)组成的,分子之间有空隙。 实验表明,任何1摩尔物质所含有的微观粒子—分子数目均相等,为 Avogadro常数,用NA表 示N4=6022136736)×1023mol-1。计算中,一般取M=6022×1023mo1例如,我们日常喝一杯 水,其质量按180g计,而水的摩尔质量为18g,所以喝一杯水就喝进去602×1024个分子。因而组成宏 观物质的分子数是巨大的。 分子之间有空隙可从:气体容易压缩;液体:50升水+50升酒精=97升溶液;固体:2万大气压, 液体从钢管中滲出等实验中不难理解 2.所有分子都在不停地作无规则的热运动—分子热运动具有混乱性和无序性。 所有分子都在不停地作无规则的运动,由于温度越髙,无规则运动越剧烈故叫热运动。例如:酒精的 扩散;烟雾的扩散。布朗运动—颗粒的无规则运动。 布朗(R. Brown)在1927年,用显微镜观察悬浮在水中的植物花粉,发现花 粉作纷乱的无定向运动,这就是布朗运动,布朗运动是由杂乱的流体分子碰撞植 物颗粒引起的,它虽不是流体分子本身的热运动,却反映了流体分子热运动的情 况。颗粒越小,运动越剧烈;温度越高,运动越剧烈 布朗( R. Brown,17731858) 英国植物学家。他在1827年发现,悬浮在液体中的花粉粒子要不停地作无规则运动:后 来发现,不单是悬浮在液体中的颗粒,就连静止气体中的尘粒也不停地作无规则运动。人们把 这种悬浮在流体中的颗粒所作的不停的无规则运动,统称为布朗运动。它是由大量分子不对称 碰撞悬浮在流体中的颗粒而引起的。所以,布朗运动是分子无规则热运动的一种间接表现形式。 3.分子力 既然分子都在不停地作无规则的热运动,那为什么液体有一定的自由表面,固体有一定的体积,而且 固体和液体又很难压缩。这些都表明分子除了不停地作无规则的热运动外,分子之间还存在引力或斥力。 6
我们把分子之间存在的吸引力和排斥力统称为分子力。 实验证明:当分子间距较大时,存在微弱的引力;随着间距的减小,引力逐渐加强,但当两分子靠近 到r=r0(称为平衡距离)以内时,相互间产生强烈的斥力作用而离开 吸引力—固体、液体聚集在一起 排斥力—固体、液体较难压缩 分子力f与分子之间的距离r有关 r=r0(平衡位置)时,分子力为零 斥力 F<Fo时,分子力表现在排斥力 r>ro时,分子力表现在吸引力 引力 F>1010时,分子力可以忽略不计,故分子力是短程力。 分子间彼此趋近到分子的直径d时,分子将在强大的斥力作用下被排斥开,类似小球间“弹性碰撞”过 程。d的平均值称为分子有效直径,数量级约为1010m 、统计规律( Statistical Regularity) 1.偶然事件和必然事件 偶然事件:在一定的条件下,发生与否不能预测。 例如:物体在力的作用下,是否产生加速度不能预测。因为合外力大于零,必然产生;合外力等于零, 必然不产生。 必然事件:在一定的条件下,必然发生或必然不发生。 例如:物体所受合外力大于零,它必然产生加速度;而合外力等于零 必然不产生加速度。 2.统计规律 为了便于理解统计规律,先看伽尔顿板实验,它是说明统计规律的演 实验装置:在一块竖直木板的上部规则地钉上铁钉,木板的下部用竖 直隔板隔成等宽的狭槽,从顶部中央的入口处可以投入小球,板前覆盖玻 璃使小球不致落到槽外。 在该实验中,我们观察某(红色)小球的运动情况。该小球每次落入 哪个槽(是中间还是边上)都是不能确定的,完全是偶然的。但在该演示程序中,可以一次投入大量小球, 或多次投入单个小球。观察落入某个槽中的小球数的分布却有一定的规律,即中间小球数多而两边少。所 以,我们说,某(红色)小球每次到底落入哪个槽,不能预知,但小球按中间小球数多两边少的规律分布 却是一定的。 实验表明:单个小球落入某个槽内是偶然事件,大量小球落入槽内的分布遵循确定的规律 又如:容器中有一定量的气体且处在平衡态。在容器中作一截面,由于是平衡态,分子的密度应该是 均匀的,分子又在不停地做无规则热运动,在某时刻,虽然我们不知道哪个分子穿过该截面,但可以肯定 有多少个分子由左向右穿过该截面,必然有等量的分子由右向左穿过该截面,因为同一时刻穿过(向两边) 该截面的分子数必须相等。即某时刻到底是那些分子通过此截面完全是偶然的,但同一时刻穿过该截面的 分子数相等又是必然的。 所谓统计规律,是指大量偶然事件整体所遵循的规 律。人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规 律性称为统计规律性, 般来说,对一定的统计范围,统计平均值与实际 数值是有偏差的,参与统计的事件越多,其偏差就越小 因此统计平均值也越接近于实际值。所以统计规律仅对 大量事件才有意义
3.统计涨落现象( Fluctuation) 大量小球整体按狭槽的分布遵从一定的统计规律。但每次的分布曲线都略有不同,所以统计规律永远 伴随涨落现象。为了得到一个具有稳定的确定值,我们对每次的曲线取平均值,而每次实验结果与平均值 的差异就叫涨落。所以在一定的宏观条件下,大量小球落入槽的各种分布在一定的平均值上、下起伏变化 的现象称为涨落现象 切与热现象有关的宏观量的数值都是统计平均值。在任一给定瞬间或在系统中任一给定局部范围 内,观测值都与统计平均值有偏差 4.统计平均值 例如我们要测量物体系统中的某一个物理量M的量值,那么由于物体系统内微观状态的变化或其他因 素的影响,M的测量值可以每次不同。如总共测量了N次,其中M次测得是M1,N2次测得是M2…以 此类推。M统计平均值的定义为DM1N1+M2M2+M3N3+ 理论和实际上都希望N越大越好 所以一般希望N→∞。因此从上面的例子也可以看出统计规律是对大量偶然事件整体所遵循的规律 §6-3理想气体的压强公式 在前面我们曾说,分子物理讨论问题的方法是:个别分子的运动遵守力学规律,大量分子运动遵守 统计规律。压强公式的推导就可以清楚的看到这一点,所以压强公式的推导有代表性地说明了气体动理论 的任务和研究方法,我们不仅需要记住它的结论,而且需要知道它的推导步骤 理想气体的微观模型 1.同类分子质量相同 2.分子间的平均距离很大,除碰撞瞬间有作用力外,分子之间的相互作用力可忽略不计。因此,在两 次碰撞之间,分子的运动可当作匀速直线运动 3.分子之间的碰撞、以及分子与容器壁之间的碰撞可看作完全弹性碰撞 4.在平衡状态下,分子沿各个方向运动的儿率是相同的。不计分子所受的重力。 1871年, boltzmann提出等概率假设( Postulate of Equal Probabilities):对于处于平衡态的孤立系,其 各个可能的微观状态出现的概率是相等的 理想气体的压强公式 最早利用气体分子运动论的概念导出气体压强公式的方法是由18世纪伯努利提出的,后来经过克劳 修斯、麦克斯韦等人的发展导出的方法越来越科学、合理 伯努利(D. Bernoulli,1700-1782) 瑞士数学家和物理学家。1738年,他首先从物质分子结构观点以及分子无规则运动的假设出发,对气体压强予以微观 解释,建立了气体动理论和热学的基本概念 单个分子 多个分子 平均效果 压强的产生 单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的,即在什么时间碰撞器壁是偶然的。而且是不均匀的,即在何 处碰撞器壁也是偶然的。但是由于器壁某一面积上有大量的分子对它不断地进行碰撞,从总的效果上来看, 就有一个持续的平均作用力作用在器壁之上 8
气体作用于器壁的压力是气体中大量分子对器壁不断碰撞的综合效果。由于是大量分子对器壁的碰 撞,就使得器壁受到一个持续的、均匀的压力的作用。 2.气体压强公式的简单推导 假设有一个边长为x,y,z的长方形容器,其中含有N个同类理想气体分子,每个分子质量均为m。 在平衡状态下,长方形容器各个面的压强应当是相等的。现在我们来推导作用在与x轴垂直的面A1的压强 以第i个分子为研究对象。设在某一时刻其速度为v=vn+vn+vk,它与 器壁碰撞必受到器壁的作用力。在此力的作用下,i分子在x轴上(以x轴为研究对象, 取标量式)的动量由mv变为—mv。根据动量定理,i分子在x轴上所受的冲量等于 该分子在该坐标轴上的动量的增量,即 f i分子对器壁的碰撞是间歇的,它从A1面弹回,飞向A2面与A2面碰撞,又回到 A1面再作碰撞。分子与A1面碰撞两次,在x轴上运动的距离为2x,所需的时间为2xhx, 于是在单位时间内,i分子作用在A1面的冲力为 nν nv 这也就z 是容器壁对i分子的作用力,由牛顿第三定律知道,i分子施于器壁的冲力为 f1 N个气体分子施于器壁的总冲力为上述单个分子给予器壁的冲力的总和(同类气体分子的质量相等),即 F1=∑f1=∑m( v2+y2+…+y2 给上式边上下同乘以N得F=∑,=∑M+y)= 根据压强的定义,(A1面的面积S=yZ),则 p=Fr v4=nmax 其中n=MP为单位体积内的分子数,称为分子数密度。单位:个 同理可得:P=mv2 P 由于是平衡态,故有P=P=P 由分子沿各个方向运动的机会均相等的假设,可得
因而v2 最后得P=1m2 引入分子的平均平动动能822,则 该式就是理想气体的压强公式。公式给出了宏观量P与微观量E之间的定量关系。它是气体动理论的 一个基本公式 3.讨论 1)气体在宏观上施于器壁的压强,从微观上看就是所有分子单位时间内施于器壁单位面积上的冲力 这就是压强的微观本质 2)当n大时,即单位体积内的分子数多,因而与容器壁碰撞的次数多,压强大;当分子的平均平动能 EA大,分子运动剧烈,分子对容器壁碰撞时的冲量大,次数也增多,压强大。 3)压强公式的推导,不但使用了力学规律,而且使用了统计的方法。所以它反映的既是一个力学规律, 也是一个统计规律 4)压强公式把宏观量压强和微观量的统计平均值n和分子的平均动能联系起来,从而显示了宏观量与 微观量之间的关系。它说明压强这一宏观量是大量分子对容器壁碰撞的统计平均效果。因此离开“大量分 子”与“统计平均”,压强的概念就失去意义,说某个分子产生多大压强是没有意义的 §6-4理想气体分子平均平动动能与温度的关系 、理想气体的温度 设一个分子的质量为m,质量为m的理想气体的分子数为N,1摩尔气体的质量为M,则m=n M=Nm。理想气体的状态方程 PV=-RT myT=N 代入可得PsnN 所以 N n=NV为单位体积内的分子数,即分子数密度 定义,R:1.38×1023J.K—称为玻尔斯曼常量