第四章刚体的转动 简介 本章从质点运动的知识出发,重点介绍刚体定轴转动的规律,主要内容有:角速度和角加速度、转动 惯量、力矩、转动动能、角动量等物理量,转动定律和角动量守恒定律。 内容与时间分布 1.刚体的平动与转动,刚体的定轴转动;力矩(50分钟 2.刚体定轴转动定律、转动惯量 (50分钟 3.力矩作功、刚体转动的动能定理 (50分钟 4.刚体的角动量、角动量守恒定律 (50分钟 5.*刚体的平面平行运动;本章小结 (50分钟) 重点与难点: 重点力矩M、转动惯量J和转动定律;定轴转动的动能和动能定理;刚体对于转轴的角动量、角动 量定理和角动量守恒定律及其适用条件。 难点转动惯量以及与其有关的转动动能、角动量 基本要求 1.理解刚体的模型,刚体的平动和转动;掌握定轴转动的物理意义及其特点,并掌握角量与线量的 关系 2.掌握力矩的概念,会计算力矩,掌握刚体定轴转动定律;能求解定轴转动刚体和质点联动问题 掌握刚体转动惯量的概念及其计算方法 3.掌握力矩的功,刚体的转动动能、刚体定轴转动的动能定理;能对含有定轴刚体在内的系统正确 应用机械能守恒定律; 4.掌握质点、刚体定轴转动的角动量的意义和角动量定理、角动量守恒定律的条件,并能联系机械 能守恒定律及动量守恒定律解决简单的力学问题: 5.了解刚体的平面运动 章节目录 §4-1刚体的平动、转动和定轴转动 §4-2力矩转动定律转动惯量 §4一3力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 §4-4角动量角动量守恒定律 §4-5刚体的平面平行运动 前面几章,我们研究了质点的运动规律。对机械运动的讨论,仅限于对质点运动的研究是远远不够的。 这章来讨论机械运动的另一个领域—刚体( Rigid Body)的运动 所谓刚体是指在外力的作用下,不改变形状和大小的物体,或者说刚体上任何两点之间都不发生相对 运动。刚体和质点一样,都是客观物体有条件的、科学的抽象,是理想化的模型 刚体的运动一般是比较复杂的,但不论多么复杂的运动都可以看成是平动和转动的合成或迭加。本章 主要讨论刚体的定轴转动及其所遵循的规律。内容包括刚体运动学和刚体动力学。 本章的每一个概念和定理、定律,都和质点力学的内容是相对应的,在学习时,应该注意使用类比的 方法,联想记忆
§4-1刚体的平动、转动和定轴转动 、刚体( Rigid body)的概念 般情况下,一个物体的运动是很复杂的,它不仅包括平动、转动,有时还有振动。在质点力学的讨 论中,只研究了物体运动中最常见的一种——平动,其他的运动被作为次要的东西暂时忽略了,结果物体 被简化为质点。在质点的平动问题解决以后,平动退居次要地位,质点也从没有形状大小的几何点变为有 形状大小的物体。在实践中我们都知道,物体在力的作用下形状大小都要变化。例如,一块棉花,原来的 形状设为正方形,现在用手可以把它捏成圆形、长方形或其他形状:也可以把他压得很小,放开后它的体 积又可变得较大,总之在力的作用下,它的形状大小都发生了变化。但是在有些问题中,这种变化很不明 显,例如,人们经常爬在桌子上写字,但在短时间内,并没有发现桌子的形状大小有明显的变化。这时就 可以将它的微小变化忽略掉。我们把这样的物体叫刚体。所谓刚体,是指在外力的作用下,形状和大小不 改变的物体。也就是说,物体内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体 刚体是实际物体的一个理想化的物理模型,它是指各部分的相对位置在运动中(无论有无外力作用) 均保持不变的物体。即运动过程中没有形变的物体。(如下图是刚体的实例) 说明 I)刚体和质点一样是一个理想化的物理模型 2)刚体可以看成是由无数质点组成的质点系,在这个质点系中,质点之间的相对位置保持不变。 3)研究方法:先讨论每个质点的运动规律,然后把构成刚体的全部质点的运动加以综合,就可以得 到整个刚体的运动规律。 刚体的运动 前面讨论刚体的一般运动都可以看成是平动和转动(转动又可分为定轴转动和非定轴转动)的叠加 或一种转动与另外一种转动的叠加。下面我们分别讨论 1.平动:刚体上任意两点的连成的直线在运动过程中,其指向或说方位在各个时刻始终保持不变的 运动叫做平动。 刚体平动的特点: 1)、刚体上各点的运动轨迹完全相同
2)、刚体上任意两点,在任意时刻它们具有完全相同的位移、速度和加速度 3)、刚体上任意一点的运动情况可以代表刚体上所有各点的运动情况,所以这种情况下,刚体可以视 为质点 2.转动和定轴转动: 1)转动:刚体运动时,刚体上各点都绕同一直线做圆周运动,这种运动称为转动。这条直线叫做转 般转动:转轴的位置或方向随时间变化—瞬时转动 定轴转动:若刚体转动时,在选定的参照系中其转轴是不动的,这种转动称为定轴转动。例如:门的 转动 定点转动:运动中刚体上只有一点固定不动,整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动,转轴方向不 断变化。例如:陀螺的转动 陀螺 般运动:刚体不受任何限制的任意运动。刚体的一般运动可以看作是平动和转动的叠加。它可分解 为以下两种刚体的基本运动: 1)随基点0(可任选)的平动; 2)绕通过基点O的瞬时轴的定点转动。 例如:车轮的运动。车轮(A点)绕中心(兰线地方)转动,中心的平动。 刚体的定轴转动( Fixed axis rotation)。 1、定轴转动的角量描述 刚体作定轴转动时,刚体上的各点都绕定轴作圆周运 动。虽然刚体上各点的速度和加速度都是不同的,但是由 于刚体上各个质点之间的相对位置不变,因而绕定轴转动 的刚体上所有点在同一时间内都具有相同的角位移、角速 度和角加速度,故采用角量描述比较方便。为此引入角量: 角位置、角位移、角速度、角加速度。 de O 在刚体内选取一个垂直于转轴的平面(上图x面)作 P() 为参考平面,在此平面内取一个坐标系,并把平面与转轴 的交点作为坐标系的原点。这样刚体中任一质点的位置就 可用坐标系中的一个位置矢量F来表示。 角位置:6(角坐标)
定义:位置矢量与坐标轴(ox轴)的夹角 t时刻:A点,角位置O 1+4t时刻:B点,角位置O+△θ。 单位:弧度,rad 2.角位移:△O— Angular Displacement 义:d时间内角位置的增量 规定:沿逆时针方向转向的角位移取正值;沿顺时针方向转向的角位移取负值 单位:rad 3.角速度o:— Angular Velocity B 平均角速度O= 瞬时角速度 △6 o=lim 角速度ω是矢量,它的方向与刚体转动方向之间的关系按右手螺旋定则确定,即右手的四指沿刚体的 转动方向弯曲,大拇指伸直所指的方向就是角速度O的方向。但在定轴转动的情况下,沿轴线方向只有 两个,可用正、负号表示它的方向。若取沿轴向上为正,向下必为负。(或“+”示逆时针转动;“-”示顺 时针转动) 常矢量 匀速转动 ≠常矢量 变速转动。 单位:rads 4.角加速度a: Angular acceleration 平均角加速度a= do d e 瞬时角加速度a=lim 匀加速转动;a≠ const变加速转动 a,ω同号:加速转动a,ω异号:减速转动 单位rad 2、转动公式 )匀速转动(t=0,0=00 角加速度a=0 角速度 (= const 角位移 △b=Ot 角位置 6=6+at t+△t 2)匀变速转动(t= 角加速度a= const 角速度 0=0+a t 角位移△ot+=at 角位置 0=6n+n、、r2
3、角量与线量的关系 设:半径R,角位移△O 弧长△s=R·△b 线速度 Ns=1imk△t Ro 法向加速度: V- (Ro R R 切向加速度 do dt dt 结论:刚体作定轴转动时,在某一时刻刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的;而 各点的线位移、线速度和线加速度均与r成正比 例1.一转动的轮子由于摩擦力矩的作用,在5s内角速度由15rads匀减速地降到10rads。求:(1) 角加速度;(2)在此5s内转过的圈数;(3)还需要多少时间轮子停止转动 解:根据题意,角加速度为恒量。(1)a=o、10-5≠-rads2 (2)6-60 2102-152 =62.5rad 2a 2×(-1) 0-b62.5 ≈10(圈) 2×3.14 (3)O=1Orad/s,a=0,t 00-10