近似代替,则数值方法的截 断误差为 R(x)=f(x)-P(x)=(+ 4.舍入误差:计算机的字长是有限 的,每一步运算均需四舍五入,由此 产出的误差称舍入误差。 例:π、1/3,…取小数点 8位、16位。 数值分析主要讨论截断误差。测量 误差看作初始的舍入误差,数值分析也 要从整体来讨论舍入误差的影响,但这 儿不讨论模型误差。 误差分析的重要性:举例说明 例:计算并分析误差 x+5 (n=0,1,2.) 由积分估值
近似代替，则数值方法的截 断误差为 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = − = n n n n x n f R x f x P x 。 4. 舍入误差: 计算机的字长是有限 的,每一步运算均需四舍五入,由此 产出的误差称舍入误差。 例：π、1／3，……取小数点 8 位、16 位。 数值分析主要讨论截断误差。测量 误差看作初始的舍入误差, 数值分析也 要从整体来讨论舍入误差的影响,但这 儿不讨论模型误差。 误差分析的重要性：举例说明 例：计算并分析误差， dx x x I n n + = 1 0 5 (n=0，1，2……） 由积分估值
(x”+5x)-5x dx-5-dx 0 x+5 0x+5 且由积分性质知 mIn x"dx< I <max X 6(n+1) x+5 x+5 可设计如下两种算法: 算法 取 In 1.2 x+5 按公式m 5 (n=0,1,2.)依次计算 12…的近似值。 设e0=10-10。假设计算过程中 不产生新的舍入误差
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ( 5 ) 5 1 5 5 5 5 n n n n n n n x x x x I dx x dx dx I x x n − − − − − + − = = − = − + + 且由积分性质知 5( 1) 1 ) 5 1 ) max( 5 1 min ( 6( 1) 1 1 0 1 0 1 0 1 0 + = + + = + n x dx x x dx I n x n x n n x 可设计如下两种算法： 算 法 1 ： 取 ln 1.2 5 1 1 0 0 = + = dx x I ， 按公式 1 5 1 n = − n− I n I (n=0， 1，2……) 依次计算 I 1 ,I 2 的近似值。 设 * 0 0 0 e = I − I 。假设计算过程中 不产生新的舍入误差
则 有 =ln-Nn=-51m-1+51 n-1 5(, n n-1 n-1 5(-5ln2+5ln2)=(-5)en (n=0,1,2. 误差扩散。 算法2:从Ik计算/k-1,应有 k-1 5k=> 数值稳定,在运算过程中,舍 入误差不增大。 §3误差的基本概念 3.1(绝对)误差与(绝对)误差限 x是精确值,x是它的一个近似
则 有 * * * 1 1 1 1 1 * 2 2 2 2 5 5 5 5( ) 5( 5 5 ) ( 5) ... n n n n n n n n n n n e I I I I e I I I I e − − − − − − − − = − = − + = − = − − = − − + = − = (n=0，1，2……) ＝ ＞ 0 e ( 5) e n n = − 误差扩散。 算 法 2 ： 从 k I 计 算 k−1 I ， 应 有 k k e e 5 1 −1 = − ＝＞ n n e ) e 5 1 ( 0 = − 。 数值稳定，在运算过程中，舍 入误差不增大。 §3 误差的基本概念 3.1（绝对）误差与（绝对）误差限 x 是精确值, * x 是它的一个近似
值,称e=x-x是近似值x的绝对误 差。简称误差。 误差是有量纲的,可正可负。 误差是无法计算的,但可以估计 出它的一个上界。即x-x1≤6,称E是 近似值x的误差限,即 x-E≤X≤X+E 3.2相对误差与相对误差限 x-x 称 为近似值x”的相 对误差,记作C,。相对误差是个相对 数,是无量纲的,也可正可负。 相对误差的估计l≤,称为 x-x 相对误差限,即xx 实际中,x是未知的,可用x来
值,称 * e = x − x 是近似值 * x 的绝对误 差。简称误差。 误差是有量纲的,可正可负。 误差是无法计算的,但可以估计 出它的一个上界。即 − * x x ,称 是 近 似 值 * x 的 误 差 限 , 即 − + * * x x x 。 3.2 相对误差与相对误差限 称 * e x x x x − = 为近似值 * x 的相 对误差,记作 er 。相对误差是个相对 数,是无量纲的,也可正可负。 相对误差的估计 r r e ,称 r 为 相对误差限,即 * r x x x x − = 。 实际中, x 是未知的,可用 * x 来