导数与微分 47 31 2 D E -1 2 y=sinx
导数与微分 平面曲线上切线的概念 曲线L在点P处点切线为 点Q沿曲线L趋向点P时 割线PQ的极限位置PT 割线PQ T 切点 D 切线PT
平面曲线上切线的概念 L P • Q • • • • • T 切线PT 切点 • PQ PT Q L P L P 割线 的极限位置 点 沿曲线 趋向点 时 曲线 在点 处点切线为
导数与微分 例2：设曲线上一点P的坐标为(xo,f(xo),动点Q的 坐标为(xo+△x,f(xo+△x),求过点P的切线斜率。 解：<1>割线斜率 匀 tang △y △X <2>△x很小，在[xoxo+△x]上， y可看作均匀变化的。 精 <3>取极限，imy=tana=k △x-0△X
例2：设曲线上一点P的坐标为(𝒙0 ,𝒇(𝒙0 )),动点𝑸的 坐标为(𝒙0+△𝒙,𝒇(𝒙0+△𝒙)), 求过点𝑷的切线斜率。 解： <1>割线斜率 <2>|△𝒙|很小，在[𝒙0 ,𝒙0+△𝒙]上， 精 <3>取极限， tan𝜶 = 𝒌 匀 𝒚可看作均匀变化的。 lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝜑 = Δ𝑦 Δ𝑥
导数与微分 导数定义： 定义1： (1)设函数y=f(x)在xo点及其近旁有定义； (2)当x由xo一→xo+△x;而y由f(xo)一f(xo+△x)时， 函数增量为△y=f(xo+△x)-f(xo); (3)若 存在，则称函数y=f(x)在x点可导。 记： f'(x), y'lx=xo dy df(x) dx dx x=xo
(1)设函数𝒚 = 𝒇(𝒙) 在𝒙0点及其近旁有定义； 则称函数𝒚 = 𝒇(𝒙) 在𝒙0点可导。 定义1： (2)当𝒙由𝒙0→𝒙0+△𝒙；而𝒚由𝒇(𝒙0 )→𝒇(𝒙0+△𝒙)时， (3)若 存在， 记： 𝒇 ′(𝒙𝟎 ), lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 函数增量为△𝒚=𝒇(𝒙𝟎 +△ 𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎 )； 导数定义: 𝑦 ′ |𝑥=𝑥0 ቤ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥=𝑥0 ቤ 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑥=𝑥0