函数极限与连续 第九讲 )等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
第九讲 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
第九讲 初等函数的连续性
第九讲 初等函数的连续性
函数极限与连续 一初等函数的连续性 1.一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。 例如： (1)lim 2x= X→1 (2)lim log= X→2 (3)lim sinx X→2 (4)lim cosx X→1 直接代入法
一.初等函数的连续性 1.一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。 例如： （1）lim 𝑥→1 2 𝑥 = （2）lim 𝑥→2 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = （3）lim 𝑥→2 𝑠𝑖𝑛𝑥 = （4）lim 𝑥→1 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 直接代入法
函数极限与连续 1.初等函数的连续性定理 定理1：设函数f(x)和g(x)在点x处连续，则函 数f(x)±g(x),f(x)·g(x), 离(g(0)≠0 在xo处连续。 定理2：设函数u=p(x)在点xo处连续，u=p(x), 函数y=f(u)在点uo处连续，则复合函数y=f[p(x)] 在xo处连续。 2.一切初等函数在其有定义区间内都是连续的。 反例y=V1-cosx (x=2kπ，k∈Z)
定理2：设函数𝒖 = 𝝋(𝒙)在点𝒙0处连续，𝒖𝟎 = 𝝋 𝒙𝟎 , 函数𝒚 = 𝒇 𝒖 在点𝒖0处连续,则复合函数𝒚 = 𝒇 𝝋 𝒙 在𝒙0处连续。 定理1：设函数𝒇(𝒙)和𝒈(𝒙) 在点𝒙0处连续，则函 数𝒇 𝒙 ± 𝒈 𝒙 ，𝒇 𝒙 · 𝒈 𝒙 , 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 (𝒈(𝒙𝟎) ≠ 𝟎) 在𝒙0处连续。 1.初等函数的连续性定理 2.一切初等函数在其有定义区间内都是连续的。 反例 y x x k k Z = − = 1 cos ( 2 , )
函数极限与连续 例1：求下列函数的极限。 2x log 22+l1og3 (1) lim- 4+log x→2SinX+2c0SX, sin2 2cos2 sin2 2cos2 3x +Insinx 31+Insin1 (2)lim- xisin2x cos(x+1)sin2 cos(1+1) 3 lnsin1 sin2 cos 2
例1：求下列函数的极限。 (1) lim 𝑥→2 2 𝑥 + log3 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = (2) lim 𝑥→1 3 𝑥 + 𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + cos(𝑥 + 1) = 2 2 + log3 2 𝑠𝑖𝑛2 + 2𝑐𝑜𝑠2 3 1 + 𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛1 𝑠𝑖𝑛2 + cos(1 + 1) = 3 + 𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛1 𝑠𝑖𝑛2 + cos 2 = 4 + log3 2 𝑠𝑖𝑛2 + 2𝑐𝑜𝑠2