《路面设计原理与方法》课程教学资源（第二版，教案讲义）第四讲 水泥混凝土路面应力（一）

路面设计原理与方 第四讲水泥混凝土路面应力(一) 早期荷载应力计算( C. Older1920年) 1.计算公式 假定地基脱空,板是悬臂变截面 梁,由此推导出计算公式 图6-1路面板与地基脱开 M= Pa VIol 地基假定 1.温克勒地基 2.弹性半空间地基 三. Wester aa rd计算公式 1.基本假定 形变分量E极其微小,可以不计,E2=0 0;Vx=0=0 2.理论分析 从板上割取长和宽各为d,和d高为H得单元,根据单元的平衡条件(∑Z Mx=0;∑M,=0),可导出当板表面作用竖向荷载p,地基对板的作用反力q,板中面 的挠曲微分方程为 DV2V2w+g=p 由温克勒地基假定,q(x,y)=kw(x,y)得 DVVw+ kw=p WESTERGAARD经过假定,提出了应力分析的理论公式 3.荷载位置 4.应力计算 【1】荷载作用于板中(荷位1) 板底最大应力 a=1(1+)1+02673)21= eh 12-) 【2】荷载作用于板边(荷位2) 第54页

路面设计原理与方法 第54页 第四讲 水泥混凝土路面应力（一） 一．早期荷载应力计算（C.Older 1920 年） １．计算公式 假定地基脱空，板是悬臂变截面 梁，由此推导出计算公式。   M Pa I y ah h ah P h h P ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝      2 12 2 3 3 3 2 2 2 二．地基假定 １．温克勒地基 ２．弹性半空间地基 三．Ｗｅｓｔｅｒｇａａｒｄ计算公式 １．基本假定 形变分量z 极其微小，可以不计，z＝０ ｚｘ＝ｚｙ＝０ ｕｚ＝０＝０；ｖｚ＝０＝０ 2．理论分析 从板上割取长和宽各为ｄｘ和ｄｙ高为Ｈ得单元，根据单元的平衡条件（Ｚ＝０； Ｍｘ＝０；Ｍｙ＝０），可导出当板表面作用竖向荷载ｐ，地基对板的作用反力ｑ，板中面 的挠曲微分方程为： Ｄ 2 2w＋ｑ＝ｐ 由温克勒地基假定，ｑ（ｘ，ｙ）＝ｋw（ｘ，ｙ）得： Ｄ 2 2w＋ｋw＝ｐ ＷＥＳＴＥＲＧＡＡＲＤ经过假定，提出了应力分析的理论公式。 3．荷载位置 4．应力计算 【１】荷载作用于板中（荷位１） 板底最大应力 ( ) ( )    i c c c l b P h l E h K ＝11 1 0 2673 12 1 2 3 2 . + lg + . , 4       = − 【２】荷载作用于板边（荷位２） 图 6-1 路面板与地基脱开

路面设计原理与方法 =2116054)1g+00905 【3】荷载作用于板角(荷位3) 2R 5.半径R的修正 在弹性薄板假定中,忽略了竖向应力σ2的影响 并假定任何垂直于中面的直线在弯曲以后仍然为直 线。如果作用在面板上的力不出现集中现象,荷载半 径R与厚度h相差并不大,则以上的假定是符合实际 的.假如出现集中现象,R同h相比,小于某一限度 则以上的假定不再符合实际。应按照厚板理论进行计 算。由此采用当量半径b取代实际半径R。b和R的 关系按下式确定 当R(724h时,b=√16R2+h2-0675 0.20.50.7h 当R).724h时,b=R (6-18) 图6-4半径修正 6.阿灵顿试验路 1930年美国在阿灵顿( ArIi ng ton)进行了混凝土路面足尺试验,通过 试验,对应力计算公式进行了修正 【1】荷载作用于板中(荷位1) 认为实测应力小于计算值,Ke11y和 Br a d bu y提出了应力修正公式。 当L=1.757,μ=0.15时,Ke11y板底最大应力修正公式: L a=03164lg+0.178 (6-19) 当L=51,μ=0.15时, Br a d bu ry板底最大应力修正公式 =0316419b1063A (620) 由计算结果可知,修正结果比没有修正的结果小9-28% 【2】荷载作用于板边(荷位2) 在没有翘曲的情况下,对于常用的轮印,实测应力与理论计算结果很一致:假如a值 较大,则实测应力大于理论计算结果:假如a较小,则实测应力小于理论计算结果,但差 异很小。在白天有翘曲的情况下,对于常用的轮印,实测应力略大于理论计算结果;在夜 晚有翘曲的情况下,对于常用的轮印,实测应力明显大于理论计算结果。 Ke II y提出了修正。当L=5时 =0.5724g+1g (621) b 由计算结果可知,凯利结果比没有修正的结果大6-17% 【3】荷载作用于板角(荷位3) Br a d bury提出的修正公式相当于将地基的反应模量减少为原有的四分之 第55页

路面设计原理与方法 第55页  (  ) e c l b P h ＝2116 1 054 0 08975 2 . + . lg + .       【３】荷载作用于板角（荷位３） c R l P h = −               3 1 2 0 6 2 . 5．半径Ｒ的修正 在弹性薄板假定中，忽略了竖向应力ｚ的影响， 并假定任何垂直于中面的直线在弯曲以后仍然为直 线。如果作用在面板上的力不出现集中现象，荷载半 径Ｒ与厚度ｈ相差并不大，则以上的假定是符合实际 的．假如出现集中现象，Ｒ同ｈ相比，小于某一限度， 则以上的假定不再符合实际。应按照厚板理论进行计 算。由此采用当量半径ｂ取代实际半径Ｒ。ｂ和Ｒ的 关系按下式确定∶ 当 时， ＝ 当 时， R h b R h h R h b R  + −  = 1724 16 0 675 1724 2 2 . . . . （6-18） 6．阿灵顿试验路 １９３０年美国在阿灵顿（Ａｒｌｉｎｇｔｏｎ）进行了混凝土路面足尺试验，通过 试验，对应力计算公式进行了修正。 【１】荷载作用于板中（荷位１） 认为实测应力小于计算值，Ｋｅｌｌｙ和Ｂｒａｄｂｕｒｙ提出了应力修正公式。 当Ｌ＝１．７５ l ，＝０．１５时，Ｋｅｌｌｙ板底最大应力修正公式： i L b P h ＝0 316 4 0178 2 . lg + .       （6-19） 当 L=5 l ，＝０．１５时，Ｂｒａｄｂｕｒｙ板底最大应力修正公式。 i L b P h ＝0 316 4 0 633 2 . lg + .       （6-20） 由计算结果可知，修正结果比没有修正的结果小 9－28％ 【２】荷载作用于板边（荷位２） 在没有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力与理论计算结果很一致；假如ａ值 较大，则实测应力大于理论计算结果；假如ａ较小，则实测应力小于理论计算结果，但差 异很小。在白天有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力略大于理论计算结果；在夜 晚有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力明显大于理论计算结果。 Ｋｅｌｌｙ提出了修正。当Ｌ＝５ l 时 2 0.572 4lg lg h P b b L e       ＝  ＋ （6-21） 由计算结果可知，凯利结果比没有修正的结果大６－１７％ 【３】荷载作用于板角（荷位３） Ｂｒａｄｂｕｒｙ提出的修正公式相当于将地基的反应模量减少为原有的四分之一。 图 6-4 半径修正

路面设计原理与方 R (6-22) Ke II y通过观测,在白天有翘曲的情况下,对于常用的轮印,板与地基保持接 触,实测应力与理论计算结果一致;在夜晚有向上翘曲的情况下,对于常用的轮印,实测 应力明显大于理论计算结果,且大于 Br a d bury公式的计算结果,Kel1y提出 了修正公式。 √2R P (6-23) h 四.弹性半空间地基刚性路面应力分析 1.基本假定 形变分量c2极其微小,可以不计,E2=0 2.弹性曲面微分方程 DVVW+g=p eh 2 3.公式推导 利用亨格尔变换方法,可以推导理论解 亨格尔变换 f(r)=f(so( r)sds V'p(ro( r)rdr=-g2p(s fviplMo(s r)rdr=5 po() 对弹性曲面微分方程求亨格尔变换,得 DW(5)+q()=p(5) 而地基的垂直位移公式为: ()=20)v(5k5=C((k E 2k() DEWIa, EsW=p(E) 2- 第56页

路面设计原理与方法 第56页 c R l P ＝ h 3 1 0 6 − 2             . （6-22） Ｋｅｌｌｙ通过观测，在白天有翘曲的情况下，对于常用的轮印，板与地基保持接 触，实测应力与理论计算结果一致；在夜晚有向上翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测 应力明显大于理论计算结果，且大于Ｂｒａｄｂｕｒｙ公式的计算结果，Ｋｅｌｌｙ提出 了修正公式。 c R l P h ＝3 1 2 1 2 − 2               . （6-23） 四．弹性半空间地基刚性路面应力分析 １．基本假定 形变分量z 极其微小，可以不计，z＝０ ｚｘ＝ｚｙ＝０ ｕｚ＝０＝０；ｖｚ＝０＝０ ２．弹性曲面微分方程 Ｄ 2 2Ｗ＋ｑ＝ｐ ( ) D Ec h c = − 3 2 12 1  ３．公式推导 利用亨格尔变换方法，可以推导理论解。 亨格尔变换∶ ( ) ( )    ()            0 0 0 4 0 2 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ４ ２  =  = − = =         r J r rdr r J r rdr f r f J r d f f r J r rdr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                      p W D W E q W q J r d W J r d E W r D W q p + = = = − = +     ２ ４ ２ ２ ４ － Ｅ － 而地基的垂直位移公式为： （ ） ＝ 对弹性曲面微分方程求亨格尔变换，得 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 ( ) 2(1 ) ( ) ( )

路面设计原理与方 W()= D24+ W(r)=DW((5 ErEs E 6E(1-Ha 均布荷载 p()=ma)=P/(a) 集中荷载 p()= P Pr°小( 5(5)-(5) ,共(()+(k 当r→0时 因 P(1+H。 M -Me 01-3+5 4.贝塞尔函数的计算 计算方法同前 5.弹性半空间地基板路面计算程序(CP03) (2)数据文件cpo3dat 1,4,4,350000,500.,0.15,0.35,15 0.,0.,20.,20. 0.40.0.40 20.,-20.,20.20. 40.,40,-40.40 5000.5000.5000.5000 15.,15.,15.,15 (3)计算结果cp0out 第57页

路面设计原理与方法 第57页 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )              d l p J r E W r W r W J r d E D p W     + = = = 0 3 3 0 0 2 0 0 0 2 0 4 0 1 2 1 2 1 （－ ） （ ） （ ） （ ） － ＋ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )           2 6 1 1 1 1 2 0 2 0 P p a paJ a PJ a p E E l h c c ＝ 集中荷载 ＝ 均布荷载 － － ＝ ３ = ( ) M ( ) ( ) P a J a l J r r J r d r ＝ c  ＋        1 3 3 0 0 1 1 −   −  −      ( ) ( ) ( ) ( ) M P a J a l J r r J r d r Lim J r r  c        ＝   ＋ 当 时 因 ０ ０ 1 ｃ 3 3 1 1 1 0 1 2 −   +  −      → = ( ) ( ) M M P a J a l r ＝ ＝ d ＋ ｃ １  ０ ３      1 2 3 + −   ４．贝塞尔函数的计算 计算方法同前 ５．弹性半空间地基板路面计算程序（ＣＰ０３） （１）程序 （２）数据文件 cp03dat 1,4,4,350000.,500.,0.15,0.35,15. 0.,0.,20.,20. 0.,40.,0.,40. -20.,-20.,20.,20. -40.,40.,-40.,40. 5000.,5000.,5000.,5000. 15.,15.,15.,15. 48. （３）计算结果 cp03out

路面设计原理与方 五.多层地基板及有限尺寸板 多层地基板 了解层状地基与板的分析方法 2.有限尺寸板 刚性指数 R一一板的刚性半径 S<0.5绝对刚性板 0.5<S<10有限刚性板 S>10绝对柔性板 六.混凝土路面荷载应力的有限元分析概述 1.弹性力学问题的解法 理论法 有限差分法 有限元法 变分法 2.有限元法的发展 张佑启和监克维奇1965年首先分析弹性地基板 hudson,W. R a nd ma tOck,H分析了刚性路面出现翘 曲的情况 Hu ang,Y.H分析了刚性路面的温度应力和接缝混凝土路面 姚祖康、邓学钧和王秉纲等都分析了刚性路面的应力 1.基本理论 利用弹性曲面微分方程,可以得出板中弯矩与挠度的关系为: E As 2 (M=[DIx 第58页

路面设计原理与方法 第58页 五．多层地基板及有限尺寸板 １．多层地基板 了解层状地基与板的分析方法 ２．有限尺寸板 刚性指数 S E E R h ＝ － Ｒ－－ 板 的 刚 性 半 径 ２ ０ 3 ２ 1 1 0 3 3 −   Ｓ＜０．５ 绝对刚性板 ０．５＜Ｓ＜１０ 有限刚性板 Ｓ＞１０ 绝对柔性板 六．混凝土路面荷载应力的有限元分析概述 １．弹性力学问题的解法 理论法 有限差分法 有限元法 变分法 ２．有限元法的发展 张佑启和监克维奇１９６５年首先分析弹性地基板 Ｈｕｄｓｏｎ，Ｗ．Ｒ ａｎｄ Ｍａｔｌｏｃｋ，Ｈ 分析了刚性路面出现翘 曲的情况 Ｈｕａｎｇ，Ｙ．Ｈ 分析了刚性路面的温度应力和接缝混凝土路面 姚祖康、邓学钧和王秉纲等都分析了刚性路面的应力 1．基本理论 利用弹性曲面微分方程，可以得出板中弯矩与挠度的关系为：        M E h w x w y w x y M D c c c ＝ （ ） c － － － ＝ ｃ ２ 3 2 2 2 2 2 12 1 1 0 1 0 0 0 1 2 2 − −                                                      =                   － － － ２ 2 2 2 2 2 w x w y w x y