路面设计原理与方 式中 Eh 2(1-42)41 00 由此可知,只要知道板的位移表达式,可以得出板中的弯矩 2.矩形薄板单元的位移模式 由于道路与机场的水泥混凝土路面板采用矩形分块,因此在有限元分析中,采用矩形 单元较为合适。此外,采用矩形单元可以较好地反映弹性薄板位移分布的非线性性质 块连续的薄板被离散化,分割为若干个单元之后,单元各结点相互连接。由于相邻单元之 间有法向力和力矩传递,所以结点必然要满足刚性连接的要求。即对于几个单元共有的结 点,它的广义位移,对于每个单元都是相等的,所承受的广义结点力也相等。单元的编号 顺序与结点的编号顺序是任意的,但是必须保证计算分析时,计算机程序结构紧凑,总刚 度矩阵带宽较窄,少占机器内存 由于薄板的位移、形变、应力、内力等都可以单一地用挠度w来表示,因此,薄板单 元中的位移模式问题,就是挠度w取什么样的函数(坐标x和y的函数)的问题。如取弹性地 基板的单元为矩形薄板单元,一个矩形薄板单元在四个角点上各有三个自由度,故挠度w 的表达式含有12个参数,现取如下的位移模式 + 2x+a y+a4x+asxy+a y+ax+asx++,x y 图6-8单元结点力与结点位移 矩形薄板单元节点位移的正向及其相应的节点力,转角的正向以右手螺旋规则决定 由几何关系有b 及b, a,因此在节点,它的位移可以表示为 (6-42) O 如果已知各结点的位移,则可以解出12系数与结点位移的关系式,回代后得 w=[N]{} (643) 将式(6-43)代入式(6-40)得 第59页
路面设计原理与方法 第59页 式中： D Ech c c = c − − 3 2 12 1 1 0 1 0 0 0 1 2 （ ） ｃ 由此可知，只要知道板的位移表达式，可以得出板中的弯矩。 2．矩形薄板单元的位移模式 由于道路与机场的水泥混凝土路面板采用矩形分块，因此在有限元分析中，采用矩形 单元较为合适。此外，采用矩形单元可以较好地反映弹性薄板位移分布的非线性性质。一 块连续的薄板被离散化，分割为若干个单元之后，单元各结点相互连接。由于相邻单元之 间有法向力和力矩传递，所以结点必然要满足刚性连接的要求。即对于几个单元共有的结 点，它的广义位移，对于每个单元都是相等的，所承受的广义结点力也相等。单元的编号 顺序与结点的编号顺序是任意的，但是必须保证计算分析时，计算机程序结构紧凑，总刚 度矩阵带宽较窄，少占机器内存。 由于薄板的位移、形变、应力、内力等都可以单一地用挠度 w 来表示，因此，薄板单 元中的位移模式问题，就是挠度 w 取什么样的函数(坐标 x 和 y 的函数)的问题。如取弹性地 基板的单元为矩形薄板单元，一个矩形薄板单元在四个角点上各有三个自由度，故挠度 w 的表达式含有 12 个参数，现取如下的位移模式： Ｗ＝ａ１＋ａ２ｘ＋ａ３ｙ＋ａ４ｘ ２＋ａ５ｘｙ＋ａ６ｙ ２＋ａ７ｘ ３＋ａ８ｘ ２ｙ＋ａ９ｘ ｙ ２＋ａ１０ｙ ３＋ａ１１ｘ ３ｙ＋ａ１２ｘｙ ３ 矩形薄板单元节点位移的正向及其相应的节点力，转角的正向以右手螺旋规则决定。 由几何关系有 x w y = − 及 x w y = ，因此在节点 i，它的位移可以表示为 = − = i i i yi xi i x w y w w w i （6-42） 如果已知各结点的位移，则可以解出１２系数与结点位移的关系式，回代后得： w N ＝ e （6-43） 将式（6-43）代入式（6-40）得： 图 6-8 单元结点力与结点位移
路面设计原理与方 (x)=-ow (6-44) =[B]{G6}° 将式(6-44)代入式(6-39)得: M}=[DB]{a} (6-45) 3.单元刚度矩阵(虚功原理) 根据虚位移原理,如果在一组外荷载作用下,弹性体是处于平衡状态的,当其受到 附加微小的与约束条件相适应的虚位移(即经过虚位移后,结构仍为一连续体),同时力系在 虚位移过程中始终保持平衡,则外荷载在虚位移上的虚功,就等于整个弹性体内应力在虚 应变上的虚功。 }'{F}=∫/;}{oah (6-46) 将虚位移原理应用于矩形薄板单元,其虚功方程为: (6-47) 因{x}=[Bl (M=DIBI8 则:{F=[B[ DIB]dxdy18 (6-48) F K]=IB]IDIBldxdy (6-49) 式(6-49)为单元刚度矩阵 4.地基刚度矩阵 矩形薄板刚度矩求得后,还要和矩形薄板地基刚度矩阵相加,才能得到弹性地基矩形 薄板刚度矩阵。刚性路面的力学分析通常采用温克勒地基和弹性半空间地基两种模式,下 面分别推导这两种地基模式的地基刚度矩阵。 (1)温克勒地基 设单元jk角点发生虚位移,则: (y=回v;mv以}(650 图6-9地基反力与相应的虚位移 此时,节点力(F}在虚位移上的虚功为({8})r(F}°,板中某微分面积dxdy 的内力在虚应变上的虚功为({x})TM}dxdy,板底某微分面积上的地基反力在虚 第60页
路面设计原理与方法 第60页 = = － － － ２ 2 2 2 2 2 w x w y w x y B e （6-44） 将式（6-44）代入式（6-39）得： M DB e = （6-45） 3．单元刚度矩阵（虚功原理） 根据虚位移原理，如果在一组外荷载作用下，弹性体是处于平衡状态的，当其受到一 附加微小的与约束条件相适应的虚位移(即经过虚位移后，结构仍为一连续体)，同时力系在 虚位移过程中始终保持平衡，则外荷载在虚位移上的虚功，就等于整个弹性体内应力在虚 应变上的虚功。 = T T F dxdydz （6-46） 将虚位移原理应用于矩形薄板单元，其虚功方程为： ( ) = ｅ T e T F M dxdy （6-47） 因 = = B M D B e e 则 ： F B D B dxdy F K e T e e e = = （6-48） K B D Bdxdy T = （6-49） 式（6-49）为单元刚度矩阵 4．地基刚度矩阵 矩形薄板刚度矩求得后，还要和矩形薄板地基刚度矩阵相加，才能得到弹性地基矩形 薄板刚度矩阵。刚性路面的力学分析通常采用温克勒地基和弹性半空间地基两种模式，下 面分别推导这两种地基模式的地基刚度矩阵。 （1）温克勒地基 设单元 ijlk 角点发生虚位移，则： ( ) * yk * xk * * yl * xl * * yj * xj * * yi * xi * * i j l k T = w w w w (6-50) 此时，节点力｛Ｆ｝e在虚位移上的虚功为（｛δ*｝）T｛Ｆ｝e，板中某微分面积 dxdy 的内力在虚应变上的虚功为（｛χ｝*）T｛Ｍ｝edxdy，板底某微分面积上的地基反力在虚 图 6-9 地基反力与相应的虚位移