东北林业大学：《刚性路面》课程教学讲义（水泥混凝土路面）第二章 水泥混凝土路面应力分析

第二章水泥混凝土路面应力分析 空间问题的讨论 空间问题共有15个未知函数: 6个应力分量:x0:、t==x=x、=rx 6个应变分量:E、E、E 3个位移分量:l以、w 15个函数应该满足15个基本方程 ∑F=0 +X=0 3个平衡微分方程:1F=0=+2τ+Y=0 ∑F Z=0 6个几何方程: az ax ax e+E 1+ E 八(G+a) e+a 1 1-2 E (a2+0) E u e+a 6个物理方程 1+1-2 [o:-(a1+σ,) 2(1+4) 2(1+) E 2(1+) E 2(1+) e=(8+8+8 2) (o,+o,+o:) E 第1页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 1 页 共 18 页 空间问题的讨论 空间问题共有 15 个未知函数： 6 个应力分量：          x y z yz zy zx xz xy yx 、 、 、 = = = 、 、 6 个应变分量： x y z yz zx xy       、 、 、 、 、 3 个位移分量： u v w 、 、 15 个函数应该满足 15 个基本方程： 3 个平衡微分方程： 0 0 0 0 0 0 x zx yz x y zy xy y Z xz yz z F X x y z F Y y z x F Z z x y             =  + + + =       =  + + + =       =  + + + =     6 个几何方程： , , , , x y z yz zx xy u v w x y z w v u w v u y z z x x y          = = =          = + = + = +       6 个物理方程： ( ) 1 1 2 ( ) 1 1 2 ( ) 1 1 2 , 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 1 2 ( ) ( ) x x y y z z yz yz zx zx xy xy x y z x y z E e E e E e E E E e E                                = + + − = + + − = + + − = = + + = + − = + + = + + 或 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) x x y z y y z x z z x y yz yz zx z x xy xy E E E E E E                         = − +     = − +     = − +     + = + = + = z

第二章水泥混凝土路面应力分析 第二章水泥混凝土路面应力分析 §2.1概述 应力分析的目的 弹性材料的疲劳方程:=2=a-BlgN a和B由材料性质决定,N是作用次数,G是材料的强度(抗拉?), 是试验应力,由结构,作用力决定(刚体) 已知:a和B、可r、N和作用力(Bz-100,可以求得p 2.结构设计法——荷载影响和环境影响效应对拟定结构所引致疲劳使结构能在达到正常使 用极限状态或承载能力极限状态时的作用次数达到或超过N次 、关键点 求得σn的过程一一结构应力分析的过程 三、水泥混凝土路面板的应力分析方法 解析法 有限单元法 §2.2水泥混凝土路面的力学模型和弹性曲面方程 、力学模型和假设 1.力学模型:弹性地基上的小挠度弹性薄板 2.假设: 地基假设一弹性地基( Winkler地基或 Boussinesq地基) 板的假设一薄板,h<<最小尺寸b,不计自重 小挠度,挠度w<<h 弹性假设,(1)垂直于中面方向的形变分量εx极其微小,可忽略不计(板无 压缩) (2)应力分量Txx、tx、o2远小于其余三个应力分量,因而是 次要的,由它们引起的应变不计。(无畸变) (3)薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移。(无剪切滑移) 、模型几何方程、物理方程、平衡方程的推导 (一)、几何方程 由假设(1):=g=0即=x, (2-1) +f(x, y) az ax 由假设(2):yx=yx=0 Ow av (2-2) +x=0-o_O f(, y) 第2页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 2 页 共 18 页 第二章 水泥混凝土路面应力分析 §2.1 概述 一、应力分析的目的 1．弹性材料的疲劳方程： lg p f N     = −  和  由材料性质决定， N 是作用次数，  f 是材料的强度(抗拉？)，  p 是试验应力，由结构，作用力决定（刚体） 已知：  和  、 f 、 N 和作用力（BZZ—100），可以求得  p 2．结构设计法——荷载影响和环境影响效应对拟定结构所引致疲劳使结构能在达到正常使 用极限状态或承载能力极限状态时的作用次数达到或超过 N 次。 二、关键点 求得  p 的过程——结构应力分析的过程 三、水泥混凝土路面板的应力分析方法 解析法 有限单元法 §2.2 水泥混凝土路面的力学模型和弹性曲面方程 一、力学模型和假设 1． 力学模型：弹性地基上的小挠度弹性薄板 2． 假设： 地基假设—弹性地基（Winkler 地基或 Boussinesq 地基） 板的假设—薄板，h<<最小尺寸 b，不计自重。 小挠度，挠度 w<<h 弹性假设，(1) 垂直于中面方向的形变分量εz 极其微小，可忽略不计（板无 压缩） (2) 应力分量τzx 、τzy 、σz 远小于其余三个应力分量，因而是 次要的，由它们引起的应变不计。（无畸变） （3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移。（无剪切滑移） 二、模型几何方程、物理方程、平衡方程的推导 (一)、几何方程 由假设（1）： 0, ( , ) z w w w x y z   = = =  即 (2-1) 由假设（2）： 0 zx zx   = = 1 2 0 ( , ) 0 ( , ) zx zy u w u w w u z f x y z x z x x w v v w w v z f x y y z z y y        + =  = −  = − +           = + =  = −  = − +      ＝ (2-2)

第二章水泥混凝土路面应力分析 由假设(3)al=0=v=0=0,(22)式=》 (2-3) f(x,y)=0 az 由假设和(2-3)式,可以推出板的几何方程为 ay a-w av y (二)、物理方程 由(29)可见,按照假设,薄板弯曲时的主要应变分量为x面内的应变分量E1、E,和yy 且仅用一个挠度函数w即可表示,即板内任意一点均处于平行与中面的平面应力状态。 由假设(1)中E.=0,且假设(2)中由应力分量σ.引起得形变不计得薄板物理方程为: E,=[o1-(,+o)]=[1-o,] 6,=Loy-(G:+a,)=o,-0 E n2(n+E,) E:=B[0:-以(,+,)=0 E 2(1+) 将其改写为σ,=,2(En+uE,) E 2(1+) 2(1+4) 2(1+) E 第3页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 3 页 共 18 页 由假设（3） 0 0 | | 0 z z u v = = = = ，（2-2）式 ＝》 1 2 ( , ) 0 ( , ) 0 w f x y u z x w f x y v z y  =  = −   =  = −  (2-3) 由假设和(2-3)式，可以推出板的几何方程为： 2 2 2 2 2 0 0 0 2 z yz zx x y xy w z w v y z u w z x u w z x x v w z y y v u w x y x y        = =    = + =     = + =     = = −     = = −      = + = −     (2-9) （二）、物理方程 由(2-9)可见，按照假设，薄板弯曲时的主要应变分量为 xy 面内的应变分量 x  、 y  和 xy  ， 且仅用一个挠度函数 w 即可表示，即板内任意一点均处于平行与中面的平面应力状态。 由假设（1）中 z  ＝0，且假设（2）中由应力分量  z 引起得形变不计得薄板物理方程为： 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 0 2(1 ) 0 2(1 ) 0 2(1 ) x x y z x y y y z x y x z z x y yz yz zx z x xy xy E E E E E E E E                             = − + = −         = − + = −         = − + =     + = + = + = ＝ ＝ 将其改写为 2 2 ( ) 1 ( ) 1 2(1 ) x x y y y x xy xy E E E            = + − = + − = +

第二章水泥混凝土路面应力分析 e a2. 将几何方程(29)带入上式σ 5(E,+HE) tu ar2)2)(2-10) e aw 1+4 Oxy (三)平衡方程 薄板弯曲时,各应力分量的量级虽然有所不同(τx、τxy、o-甚小,故在物理方 程中略去),但他们的微商(沿坐标之变化率)之间的关系仍然满足三维微元体的平衡方程 =0→ +X=0,(1) Y=0,(2) ∑F=0→-++ 02+2=0(3) (1)、(2)中因不存在平行与中面的荷载,所以X=Y=0,(3)式中2≠0 上面已经考察了主要应力分量σ、σn、tm,下面用平衡微分方程考察次要应力分量o Tzx、τxy(目的把σ2、tx、tx也仅仅用w表示) 1.Tx、τ,用w表示 将(2-10)代入(2-)中的(1)和(2),并注意到ry=rx,得到: E=3a3 e: a 0= 1-42 ax' axdy2 1-H2 其中:V 一拉普拉斯算子 Er an a u- ay 注意到假设1,w=w(x,y),w不随z而变,将上式对z积分: E (1-y2) F(, y) E20 F2(x,y) 利用薄板上下表面的边界条件::22x=rn=0,求出F(xy)、F(x,y),代会上 第4页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 4 页 共 18 页 将几何方程(2-9)带入上式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ,(1) 1 1 ( ) ,(2) 1 1 ,(3) 2(1 ) 1 x x y y y x xy xy E E w w x y E E w w y x E E w x y                     = + = − +   − −         = + = − +   − −      = = − + +   （2-10） （三）平衡方程 薄板弯曲时，各应力分量的量级虽然有所不同（τzx 、τzy 、σz 甚小，故在物理方 程中略去），但他们的微商（沿坐标之变化率）之间的关系仍然满足三维微元体的平衡方程。 0 0,(1) 0 0,(2) 0 0,(3) x zx yz x x y y zy y xz yz Z z F X x y z F Y y y z F Z x y z             =  + + + =       =  + + + =       =  + + + =       (2-11) （1）、（2）中因不存在平行与中面的荷载，所以 X ＝Y ＝0，（3）式中 Z ≠0 上面已经考察了主要应力分量  x 、 y 、 xy  ，下面用平衡微分方程考察次要应力分量σz、 τzx 、τzy （目的把σz、τzx 、τzy 也仅仅用 w 表示） 1． τz x 、τzy 用 w 表示 将（2－10）代入(2-11)中的（1）和（2），并注意到 xy yx   = ，得到： 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 ( ) 1 1 ( ) 1 1 zx zy Ez w w Ez w z x x y x Ez w w Ez w z y y x y           = + =   −    −      = + =   −    −  其中： 2 2 2 2 2 x y    = +   ——拉普拉斯算子 注意到假设 1， w w x y = ( , ) ,w 不随 z 而变，将上式对 z 积分： 2 2 2 1 2 2 2 2 ( , ) 2(1 ) ( , ) 2(1 ) zx zy Ez w F x y x Ez w F x y y      =  + −   =  + −  利用薄板上下表面的边界条件： 0 2 zx zy h z =  = = 时  ，求出 1 F x y ( , ) 、 2 F x y ( , ) ，代会上

第二章水泥混凝土路面应力分析 式得: (2-12) Vw,(2) (2-12)式表明r和沿厚度成抛物线分布,与与直梁的剪应力解相似 2.o,用w表示 把薄板美单位面积内的体力归并为面力(如表面均布压力),由圣维南定理 (q=(2)+(z)+2k)消去(21)的(3)中的乙.(这样处理只会对次要应力分 量σ,引起误差,对其他应力分量毫无影响), 得(2-1)的(3)式为,8r1升+2+0=0(Z已经归并为面力,Z=0) 再将(2-12)中的x和代入上式得: Ec =2)V2 02(1- E 上式对z积分并注意到w不随z而变得:a.= )Vw+F(x, y) 2(1-2)43 利用薄板下面边界条件σ:|=0,求出F3(x,y),再代回O表达式得: E h E 四、薄板挠曲面微分方程 板的上表面边界条件:(G:)b=-q,q为由圣维南定理计算的面力或者表面均布荷载, 代回公式(2-13)得 Eh Vw=q,12(1-A)D Eh 板得弯曲刚度 12(1-4) 则上式写成:Vy=9,展开成 q 上两式即为板的挠曲面微分方程(相当于材料力学中直梁的 求解时,可按照边 d I E 界条件由此式求得w,在由w求各应力分量。 第5页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 5 页 共 18 页 式得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ,(1) 2(1 ) 4 ( ) ,(2) 2(1 ) 4 zx zy Ez h z w x Ez h z w y      = −  −   = −  −  （2－12） （2－12）式表明 zx  和 zy  沿厚度成抛物线分布，与与直梁的剪应力解相似。 2．σz 用 w 表示 把 薄 板 美 单 位 面 积 内 的 体 力 归 并 为 面 力 （ 如 表 面 均 布 压 力 ）， 由 圣 维 南 定 理 （ 2 2 2 2 ( ) ( ) h h h h z z q Z Z Zdz =− = − = + +  ）消去(2-11)的（3）中的 Z。（这样处理只会对次要应力分 量σz 引起误差，对其他应力分量毫无影响）， 得(2-11)的（3）式为： 0 0 xz yz Z x y z    + + + =    (Z 已经归并为面力，Z＝0) 再将（2－12）中的 zx  和 zy  代入上式得： 2 2 2 2 ( ) 2(1 ) 4 z E h z w z    = −   − 上式对 z 积分,并注意到 w 不随 z 而变得： 2 3 2 2 3 ( ) ( , ) 2(1 ) 4 3 z E h z  z w F x y  = −  + − 利用薄板下面边界条件 2 | 0 z h z  = = ，求出 3 F x y ( , ) ，再代回  z 表达式得： 2 3 3 4 2 4 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) (1 ) 2(1 ) 4 2 3 8 6(1 ) 2 z E h h h E z z z z w w h h      = − − −  = − +    − −   （2－13） 四、薄板挠曲面微分方程 板的上表面边界条件： 2 ( )z h z  q =− = − ，q 为由圣维南定理计算的面力或者表面均布荷载， 代回公式（2－13）得： 3 4 2 12(1 ) Eh w q   = − ，令 3 2 12(1 ) Eh D  = − ，叫做板得弯曲刚度， 则上式写成： 4 q w D  = ，展开成： 4 4 4 4 2 2 4 w w w q x x y y D    + + =     上两式即为板的挠曲面微分方程（相当于材料力学中直梁的 4 4 d w q dl EJ = ,求解时，可按照边 界条件由此式求得 w，在由 w 求各应力分量