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《路面设计原理与方法》课程教学资源（第二版，教案讲义）第五章沥青路面应力分析

一．古典设计方法 1．麻省公式１９０１年，美国麻省道路委员会第八次年会上发表了世界上第一个路面设计的公式。它假定汽车是一个集中荷载 P，荷载以４５角通过碎石基层分布于边长为碎石层厚 2 倍的正方形面积的土基上，

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路面设计原理与方法第 36页第五章沥青路面应力分析一．古典设计方法 1．麻省公式１９０１年，美国麻省道路委员会第八次年会上发表了世界上第一个路面设计的公式。它假定汽车是一个集中荷载 P，荷载以４５角通过碎石基层分布于边长为碎石层厚 2 倍的正方形面积的土基上，所以： q P h P h q 2 1 2 2 ＝＝（）（5-1）集中荷载式中：土基承载强度 P q 2．Ｄｏｗｎｓ公式１９３３年，Ｄｏｗｎｓ对麻省公式进行修正，认为荷载在路面层内的传布与垂直方向成某一分布角的圆锥上，所以传到路面的顶面时，压力分布于一个圆形的面积上而不是正方形，但他仍假定汽车荷载为集中荷载。据此： P h t g q h t g P q ＝＝    2 2 0 .5 6 4 （5-2）集中荷载式中：土基承载强度 P q 3．Ｇｒａｙ公式 1934 年、Ｇｒａｙ认为由于汽车荷载轮胎接触路面由一个面积，所以不应当假定汽车荷载为集中荷载，而应当假定汽车荷载为圆形均布荷载，并设轮载接地圆形面积的半径为 a，即： P htg a q h tg P q a ＝（）＝（）      2 1 0.564 （5-3）集中荷载式中：土基承载强度 P q 4．评述古典理论公式是假定路面只要起分布荷载的作用，采用简单的分布角的概念，这个朴素思想的路面力学理论应予解决的问题；从各公式得知，路面厚度主要取决于土基承载力得大小，这就是土基强度得问题。但初期没有提出土基参数的测定问题；古典公式以轮载作为交通荷载，它不能反映交通量的因素，这在当时轻交通时代可能矛盾不突出，但随着交通得发展，不考虑交通量是无法使用的解决的办法就是在土基承载力取值上应根据交通量的大小采取不同的安全系数。二．弹性半空间体１．解答过程１８８７～１８８５布辛尼斯克得到完整的解答，方法是采用半逆解法。１９２５年Ａ．Ｅ．Ｌｏｖｅ势能法得到了解答。采用路面力学中的方法，同样可以得到解答。２．Ａ．Ｅ．Ｌｏｖｅ解图 5-1 古典公式示意图图 5-2 古典公式改进

路面设计原理与方法第 37页轮隙弯沉的计算及应用采用以上公式          2 1 2 0 2 1 0 0 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1/ 2 2 E pa r a z w E pa r z w a z z a za E p w （）当＝，＝时＝（）当＝，＝时＝＋（＋）（）＝２／                                                       2 4 6 2 1 0.125 0.047 0.024 1 2 1 0 r a r a r a r r a F r a F E pa r a z ２＝当＞，＝时ｗ＝  三．多层体系１．解答过程 1945 年，Ｄ．Ｍ．Ｂｕｒｍｉｓｔｅｒ得到理论解． 1945－1955 研究层状体系的工程应用 1955，Ｒ．Ｌ．希夫曼得到非轴对称的解２．计算方法采用查诺模图法采用程序计算法四．计算程序沥青路面通常是多层体系。自从本世纪四十年代以来无论在理论分析，还是在数值计算方面，都取得很大进展，特别是计算机科学的发展及其在工程技术中广泛应用，使层状体系理论的研究的日趋完善，其中有波米斯特(D.M.Burmister)(1945 年)及英因福克斯(L.Fox)、阿堪姆(W.E.Acum)、苏联科岗(Korah)及英国琼斯(A.Jones)等所作的贡献。在荷载形式方面，包括轴对称均布荷载与非轴对称单向水平荷载，都可直接进行数值计算，在层次结构方面，由双层体系、三层体系发展到多层体系。在计算机程序方面，有壳牌公司编制的 Bisar 程序，雪弗隆公司编制的 Chevron 程序，美国地沥青学会所采用的 DAMA 程序。１．基本图式与基本假定多层体系在圆形均布垂直荷载作用下的计算图式如图 1 所示。层状体系基本假定： (1)各层都是由均质、各向同性的弹性材料组成，这种材料的力学性能服从虎克定律； (2)假定土基在水平方向和向下的深度方向均为无限，其上的各层厚度均为有限，但水平方向仍为无限； (3)上层表示作用着轴对称圆形均布垂直荷载，同时在上层无限深度处及水平无限远处应力和应变都是零； (4)层间接触面假定完全连续。 Z1 , E1 , 1 , h1 Z2 , E2, 2 , h2 Z3, E3 , 3 , h3 Zn-1, En-1 , n-1 , hn-1 En , n-1 R P R 图 1 计算图式２．基本原理

路面设计原理与方法第 38页根据弹性理论，对于轴对称空间体，其几何方程为：               r  z zr u r u r w z u z w r ＝；＝；＝；＝＋ 1 其物理方程为：     r  r    z E ＝－＋ 1     ＝ －  ＋ 1 E r z     z  z     r E ＝－＋ 1        zr zr E ＝ 2 1 2  式中：G 为剪数模量，   G E ＝ 2 1   μ为弹性体的泊桑比轴对称空间课题微分单元的平衡微分方程为：                r zr r  z zr zr r z r z r r ＋＋－＝＋＝ 0  0 3 从式 1～式 3 看出，三式中共有十个变量，并且已有十个方程式，结合边界条件即可解出未知量值。但这种解法相当困难，甚至不可能得到应力分量。因此一般采用应力函数求解。研究物体的变形一般是针对物体内部割出的一块微分单元体，显然各相邻单元体的变形应是谐调的。所以物体在变形前是一个连续体，在变形后也应是一个连续体。消去位移分量，可得变形连续方程为：      2 2 2 2 2 1 1    0 4    r r  r r －－＋＋＝  Θ——第一应力不变量，＝ r＋ ＋ z 变形连续方程又称相容条件，是由圣维南(B.desaint-Venant)于 1864 年提出的。实际上式 4 应有四个相容条件，但确是等效的。采用应力函数法求解轴对称课题主要有 Love 函数法及 Southwell 函数法，这里介绍 Love 函数法。设应力函数φ＝φ(r,z)并给定         r z r ＝  －       2 2 2        ＝－１ z r r        2         z z z ＝（2－） 2 － 2  2                 zr r z ＝（1－）－ 5 2 2  2       将式 5 代入平衡微分方程式 3 和变形连续方程式 4，除平衡微分方程中第一个恒等于零外，其余全部转化为重调和方程，即     2 2 ＝ 0 6 这就是说，如果应力函数φ是重调和方程的解，则能满足平衡微分方程的变形连续方程。并可由式 5 求得应力分量，再由物理方程求得应变分量。位移分量可由下式求得

路面设计原理与方法第 39页   u E r z W E z ＝＝＋（－）－          1 1 2 1 7 2 2 2 2            重调和方程的求解可采用分离变量法。对于多层体系中某一层 j，可以给定应力函数为： j＝GjzJ0r 8 代入重调和方程可以得出：     d dz G z 2 2 2 2  0 9        ＝令 H z H r ＝；＝，解以上方程式，可得应力函数为：           [ ](10 ) 1 1 2 0 3 j j  j j  j j j C j D j A e B e H J                  －－－－－－－－＝－＋ｅ－ｅ式中：ξ——参数； J０(ξρ)——第一类零阶贝塞尔函数；  j j z H  ——无量纲系数； Aｊ,Bｊ,Cｊ,Dｊ为积分常数，可由每一层的边界条件和层间结合条件等确定。下标 j 从 1 到 n，表示同该层次相应的计算参数。将应力函数式（10）代入洛夫应力函数与应力关系式。 ( )  {[ ( )] [ ( )] } ( ) ( )              z j j j j j j j J A C e B D e j j                0 1 2 1 2 1 (11) 以上表达的各项分量并非因荷载ｐ(ρ)所引起，而是由σｚ＝-ξJ０(ξr)所引起。通过 Hankel 变换等推演过程，可以求得： p    p  J  d   ( ) ( ) 0 0 （12）假设： p   J 0 () p    p  p  d    ( ) ( ) 0 （13）假设式（11）的各项分量为 Y *，而由实际荷载 p(ρ)产生的各项应力、位移分量为 Y，这两者有以下关系： Y   Y p d    ( )  0 （14）将式（11）代入： ( )    {[ (1 2 )] [ (1 2 )] } (15) ( ) ( ) 0 0 1                p J A C e B D e d j j z j j j j j j j                由σｚ=q(ρ)这个实际荷载引起的各项分量。３．积分常数计算对 n 层体系具有 4n 个积分常数。由以上算式可以看出，多层体系的应力应变计算的关键是要确定对应于各个层次的积分常数，然后通过贝塞尔函数的无穷积分计算，便可完成全部计算分析工作。确定积分常数，可以根据相应的边界条件与层间结合条件来进行。在多层体系顶面(j=1,λ=0)具有以下边界条件： (σｚ）１=-ξJ０(ξρ) (τｚｒ)１=0 （１6）在第 j 层与第 j+1 层之间的结合面上(λ=λj)，若这两层是完全连续的，则具有以下连续条件：

路面设计原理与方法第 40页（σｚ）ｊ＝(σｚ)ｊ＋１（τｚｒ）ｊ=(τｚｒ)ｊ＋１ (u ）ｊ=(u )ｊ＋１ (w )ｊ=(w )ｊ＋１（１7）此外，在地基的无限深处，应力与位移皆满足 (σｚ，σ，τｚｒ,u,w)r→∞=0 （１8）则要求应力函数φｎ｜=0，因 e ｜=∞，即： Aｎ=Ｃｎ=0（１9）则对于 n 层体系，还有 4n-2 个待定积分系数，而根据边界条件可以建立 4n-2 个方程式，因此全部积分系数均可以求解。确定待定积分系数，用矩阵法非常简单，便于使用计算机分析计算。为此可将应力和位移中包含有 Aｊ, Bｊ,Cｊ,Dｊ的系数写成矩阵形式：                 z j zr j j j j j j j j j j j u W M E h A B C D                         ＝，，， 20 式中 hｊ=λｊ－λｊ－１ ; M——4×4 的矩阵根据连续条件，可以写成： M E h      A B C D M E h A B C D j j j j j j j j j j j j j j j j ，，，＝  ，， ，                             1 1 1 1 1 1 1 1 21 由式 21 可以看出，第 j 层积分常数可由第 j+1 层的积分常数求得。通过逐层计算，可以将第一层的积分常数与第 n 层的积分常数联系起来。并利用下式可得：     A B C d N B D C B C jn j n n n n 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 22                                       ＝  ＝由多层体系顶面的边界条件代入（11）得： A e B C e D h h 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1           (  ) (  ) A e B C e D h h 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0         (  ) (  ) 则：                                             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * 1 2 2 1 (1 2 ) (1 2 ) 0 1 1 1 1 1 D C B A F D C B A e e e e h h h h              1 0 0 0 23                  F C B D n n 因此，在计算积分常数时，可按以下步骤进行计算： 1)形成矩阵［Ｃ］

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