同,即 C(s)= 这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t),因为g(1)=L[G(),其表达式为 (3-5) 3.2.3一阶系统的单位斜坡响应 Unit-ramp Response of first-order Systems 当R(s) 11 TT C(S=OS)R(s) TS+1 s--s 1 对上式求拉氏反变换,得: ()=t-T(1-e)=t-T+Te (3-6) 因为e()=r(1)-c(t)=T(1-e (3-7) rt)c(t) clt 图3-5一阶系统的斜坡响应 所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为en=lme()=T 上式表明:①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时,输入和输出信号的变化率完全相 同r(1)=1,c(t) →①
54 同，即 1 1 ( ) + = TS C s 这时相同的输出称为脉冲响应记作 g(t)，因为 ( ) [ ( )] 1 g t L G s − = ,其表达式为 0 1 ( ) = − e t T c t T t （3-5） 3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应 Unit-ramp Response of first-order Systems 当 2 S 1 R(s) = TS T S T TS S S C s s R s + = − + + = = 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 对上式求拉氏反变换，得： t T t T c t t T e t T Te 1 1 ( ) (1 ) − − = − − = − + （3-6） 因为 ( ) ( ) ( ) (1 ) 1 t T e t r t c t T e − = − = − （3-7） r(t) c(t) r(t) c(t) t 0 图 3-5 一 阶 系 统 的 斜 坡 响 应 所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为 e e t T t ss = = → lim ( ) 上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相 同 ( ) = 1 , ( ) = 1 → t r t c t
②由于系统存在惯性,c(l)从0上升到1时,对应的输出信号在数值上要滞 后于输入信号一个常量T,这就是稳态误差产生的原因。 ③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度,还可减少系统跟踪斜坡信 号的稳态误差。 3.2.4一阶系统的单位加速度响应 (1) R(S) S+- 11 AB C D C()=p(s)R(s)=( S 1 S c(1)=t2-7+T2(1-e)(t≥0) e()=r()-c(1)=7-72(1-e7) 上式表明,跟踪误差随时间推移而增大,直至无限大。因此,一阶系统不能实现对加速 度输入函数的跟踪。 表3-1一阶系统对典型输入信号的响应式 输入信号 输出响应 传递函数 (t≥0) 微 微 分 1(t) S t≥0 S 0 TS+I 2 t2-T1+72(1-e7)t≥0 等价关系:系统对输入信号导数的响应,就等于系统对该输入信号响应的导数 系统对输入信号积分的响应,就等于系统对该输入信号响应的积分;积分常 数由零初始条件确定。 线性定常系统的一个重要特性,适用于任何阶线性定常系统,但不适用于线性时变系统
55 ②由于系统存在惯性， c(t) 从 0 上升到 1 时，对应的输出信号在数值上要滞 后于输入信号一个常量 T，这就是稳态误差产生的原因。 ③减少时间常数 T 不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信 号的稳态误差。 3.2.4 一阶系统的单位加速度响应 2 2 1 r(t) = t 3 1 ( ) S R s = T S T 1 1 + T S T S T S T S T S D S C S B S A TS S C s s R s 1 1 1 1 ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 2 2 3 3 2 3 2 + = − + − + = + + + + = = (1 ) ( 0) (3 8) 2 1 ( ) 1 2 2 = − + − − − c t t Tt T e t t T ( ) ( ) ( ) (1 ) (3 8) 1 2 = − = − − − − t T e t r t c t Tt T e 上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速 度输入函数的跟踪。 表 3-1 一阶系统对典型输入信号的响应式 输入信号 输出响应 传递函数 微 分 (t) 1 ( 0) 1 − e t T T t 微 分 1 1 TS + 1(t) S 1 1− 0 − e t T t t 2 1 S − + 0 − t T Te t T t 2 2 1 t 3 1 S (1 ) 0 2 1 2 2 − + − − t Tt T e t T t 等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常 数由零初始条件确定。 线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统
和非线性系统。因此,研究线性定常系统的时间响应,不必对每种输入信号形式进行测 定和计算,往往只取其中一种典型形式进行研究。 3.3二阶系统的时域分析 二阶系统:凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统,称为二阶系统 3.3.1二阶系统的数学模型 随动系统(位置控制系统)如图3-6所示。 输入电位计 输出电位计 反馈信号 ec 发送 输入装置 RI KAe 负载 误差测量装置 放大器电动机齿轮传动 图3-6随动系统原理图 (1)该系统的任务:控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。 (2)工作原理:用一对电位计作系统的误差测量装置,它们可以将输入和输出位置信号, 转换为与位置成正比的电信号。 输入电位计电刷臂的角位置b,由控制输入信号确定,角位置b就是系统的参考输入量, 而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比,输出电位计电刷臂的角位置O,由输出轴 的位置确定。 电位差e=K,(en-e)就是误差信号。K,桥式电位器的传递函数 该信号被增益常数为K,的放大器放大,(K,应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗) 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上 电动机激磁绕组上加有固定电压 如果出现误差信号,电动机就产生力矩以转动输出负载,并使误差信号减少到零。 (3)当激磁电流固定时,电动机产生的力矩(电磁转距)为 M=C M(s=CLI,(s) (3-10) Cn:电动机的转矩系数 i:为电枢电流
56 和非线性系统。因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测 定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。 3.3 二阶系统的时域分析 二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。 3.3.1 二阶系统的数学模型 随动系统（位置控制系统）如图 3-6 所示。 + 图 3-6 随 动 系 统 原 理 图 输 入 电 位 计 输 出 电 位 计 θr θc 发 送 反 馈 信 号 SM θc ia 输 入 装 置 e1 KA KAe La R1 R1 R2 θ i 放 大 器 电 动 机 齿 轮 传 动 负 载 误 差 测 量 装 置 Ra ⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。 ⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号， 转换为与位置成正比的电信号。 输入电位计电刷臂的角位置 r ，由控制输入信号确定，角位置 r 就是系统的参考输入量， 而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置 c ，由输出轴 的位置确定。 电位差 ( ) s r c e = K e − e 就是误差信号。 : Ks 桥式电位器的传递函数 该信号被增益常数为 KA 的放大器放大，（ KA 应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗） 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。 电动机激磁绕组上加有固定电压。 如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。 (3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为： m a M = C i M(s) C I (s) = m a （3-10） : Cm 电动机的转矩系数 : a i 为电枢电流
对于电枢电路 La a+Ri+kb=kk e (3-11) d t (LS+RI,(S)=KKsE(s)-kbSe(s) LR.:电动机电枢绕组的电感和电阻 Kb:电动机的反电势常数,O:电动机的轴的角位移。 电动机的力矩平衡方程为: d-e +f==M=Cm(3-12) (S2+AS)(s)=M(s) J:为电动机负载和齿轮传动装置,折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置,折合到电动机轴上的粘性摩擦系数, 62(s)=-6(s) (3-13) 3-11 3-10 3-12 M JS+S KbS(s) KbS 图37随动系统方块图 根据图3-7,可以求出系统的开环传递函数(即前向通路传递函数)因为反馈回路传递 函数为1 62(s)H(s) E(S) C K.K,L2S+Rn"A2+/.1= KsK,Cm/ Cn·K,S i(LoS+R,JS2+fS)+CK,S (3-14) LoS+ROS+fs 如果略去电枢电感L
57 对于电枢电路 K K e dt d R i K dt di L a a b A s a a + + = （3-11） (L S R )I (s) K K E(s) K S (s) a + a a = A S − b : : La Ra 电动机电枢绕组的电感和电阻。 : Kb 电动机的反电势常数， : 电动机的轴的角位移。 电动机的力矩平衡方程为： m a M C i dt d f dt d J + = = 2 2 （3-12） ( ) ( ) ( ) 2 JS + fS s = M s J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。 i c 1 = ( ) 1 ( ) s i s c = （3-13） Ks KA Cm i 1 KbS θr(s) E(s) E1(s) Ia(s) M(s) θ(s) θc(s) 3-11 3-10 3-12 KbSθ(s) 图 3-7 随 动 系 统 方 块 图 根据图 3-7，可以求出系统的开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递 函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) E s s H s G s c = L S R JS f S C K S K K C i i L S R JS f S C K S JS f S C L S R K K a a m b S A m a a m b m a a S A + + + = + + + + + = ( )( ) 1 ( )( ) 1 1 1 2 2 2 （3-14） 如果略去电枢电感 La