●自相关函数主要性质: ●R(0)=E2(t)}=S-2(t)的平均功率 R()=R(-)-/函数 ●R(τ)≤R(0)-上界 R(∞)=E2[2(t)]--2(t)的直流功率 R(O)-R(∞)=2--2(t)的交流功率。 ξ()的任一样本函数的功率谱密度为 T→ T 式中,F1(o)是f(t的频谱函数;f(t)是f(的 短截函数;f(t)是ξ(t)的任一实现
自相关函数主要性质： ⚫ R(0)=E[ξ2(t)]=S--ξ(t)的平均功率 ⚫ R(τ)= R(-τ) --偶函数 ⚫ |R(τ)|≤ R(0) --上界 ⚫ R(∞)=E2 [ξ(t)] ---ξ(t)的直流功率 ⚫ R(0)-R(∞)=σ2 ---ξ(t)的交流功率。 ξ(t)的任一样本函数的功率谱密度为 式中，FT (ω)是fT (t)的频谱函数；fT (t)是f(t )的 短截函数；f(t)是ξ(t)的任一实现。 T F P T T s 2 ( ) ( ) lim → =
由于ξ()是无穷多个实现的集合,因此, 某一实现的功率谱密度不能作为过程的 功率谱密度。过程的功率谱密度应看做 是任一实现的功率谱的统计平均,即 EF(O PE(O=ELP(O]=lim T ξ(t)的平均功率S可表示成 EF(o Pe(odo 2丌 2丌r-T
由于ξ(t)是无穷多个实现的集合，因此， 某一实现的功率谱密度不能作为过程的 功率谱密度。过程的功率谱密度应看做 是任一实现的功率谱的统计平均，即 ξ(t)的平均功率S可表示成 T E F P E P T T s 2 ( ) ( ) [ ( )] lim → = = − → − = = d T E F S p d T T 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 lim
由ξ(t)功率谱密度的定义,很难直接计算 功率谱。确知信号的自相关函数与其功 率谱密度是傅氏变换对。对于平稳随机 过程,也有类似的关系,即 P(@)=R(r)e yo dr E(E7(o)2 1cr/2 E T/25T (t )e o dtl T/2 T/2 25r()e/mr}= /2cT/2 E T/2J7/2105 R(t-t )e Jo((ditdt
由ξ(t)功率谱密度的定义，很难直接计算 功率谱。确知信号的自相关函数与其功 率谱密度是傅氏变换对。对于平稳随机 过程，也有类似的关系，即 − − = P R e d j r ( ) ( ) = T E FT 2 () = − − − / 2 / 2 2 ' / / 2 ( ) ( ') ' 1 T T j t T T T j t T t e dt t e dt T E − − − / 2 − − / 2 / 2 / 2 ( ') ( ') ' 1 T T T T j t t R t t e dtdt T E
利用二重积分换元法,则上式可化简成: EI上r () atdt T T r(o)e 于是 P(o=lim EF(o o r(t)e Jot T→> T 简记为R()P(o)e ●上称为维纳-辛钦关系,在平稳随机过程的 理论和应用中是一个非常重要的工具。它 是联系频域和时域的基本关系式
利用二重积分换元法，则上式可化简成： 于是 简记为 R(τ) Pξ (ω)。 上称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的 理论和应用中是一个非常重要的工具。它 是联系频域和时域的基本关系式。 − − = − ' ' 2 1 ( ) ( ) T T T j R e d T T E F = = → T E F p T T 2 ( ) ( ) lim − − R e d j ( )
例2-1随机相位余弦波ξ )=Acos(Ot+1),其中 A和o均为常数,θ是在(0,2π)内均匀分布的随 机变量。求ξ(t)的自相关函数与功率谱密度。 解:(1)先考察ξ(t)是否广义平稳。ξ()的数学 期望为 a(t)=E[()=6Acos(o2t+0)-d0 2丌 2z Jo(cos o tcos6-sin @tsin 0)d0 2丌 cosl"(co- sino o sin l0]=0(常数)
例2-1随机相位余弦波ξ(t)=Acos(ωc t+θ)，其中 A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随 机变量。求ξ(t)的自相关函数与功率谱密度。 解：(1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。ξ(t)的数学 期望为 a t E t A c t d 2 1 ( ) [ ( )] cos( ) 2 0 = = + t t d A c c (cos cos sin sin ) 2 2 0 = − [cos (cos sin sin ] 0(常数） 2 2 0 2 0 = − = t d t d A c c