复习 第四章控制系统的稳定性分析 第四节 Nyquist稳定性判据 基本思想:利用系统的开环频率特性判别闭 环系统的稳定性
1 第四节 Nyquist 稳定性判据 基本思想：利用系统的开环频率特性判别闭 环系统的稳定性。 第四章 控制系统的稳定性分析 复习
预备知识幅角定理 幅角定理: F(s)是s的单值有理函数,在平面上任一闭合路 径包围了F)的Z个零点和P个极点,并且不经过F(s) 的任一零点和极点,则当s沿闭合路径方向旋 转一圈时,映射到F(s)平面内的F(s)曲线 绕原 点(Z-P)圈。即 N=Z-P (或逆时针绕原点N=P-Z圈) 其中:N为圈数 逆时针为正, 顺时针为负
2 一、预备知识——幅角定理 幅角定理： F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭合路 径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s) 的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋 转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原 点（Z – P）圈。即 N=Z-P （或逆时针绕原点N= P - Z圈） 其中：N为圈数 逆时针为正， 顺时针为负
二、奈魁斯特稳定性判据 1、线性系统的特征方程 运动方程一般形式:r()输入c(t)输出 d c(t dn- c(t) dc(t) d r(t) (t) +a ∴+a +.c(t)=b t b +bor(t) dt 特征方程 as"+asn-1+……a,s+a=0 系统传递函数C(s)_bnsm+bn-s+…bs+b R(S n-1 anS十a,_1S a, s+a 系统结构为 R(s)+E(S) C(s) G(s) G(S) (s) )1+G(s)H(s) 比较得到闭环系统的特征方程(闭环传递函数的分母=0) F(s)=1+G(s)H(s)=a,sn+a_s a, s+a=0
3 二、奈魁斯特稳定性判据 1、线性系统的特征方程 运动方程一般形式： r(t)——输入 c(t)——输出 特征方程 系统传递函数 系统结构为： 比较得到闭环系统的特征方程（闭环传递函数的分母＝0） a c(t) dt dc(t) a dt d c(t) a dt d c(t) a n-1 1 0 n-1 n-1 n n-1 n n n + ++ + b r(t) dt dr(t) b dt d r(t) b dt d r(t) b m-1 1 0 m-1 m-1 m m-1 m m = m + ++ + + _ R s( ) C s( ) H s( ) B s( ) E s( ) G s( ) 1 G(s)H(s) G(s) R(s) C(s) + = 1 0 n 1 n 1 n n 1 0 m 1 m 1 m m a s a s a s a b s b s b s b R(s) C(s) + + + + + + = − − − − a s a s a1 s a 0 0 n 1 n 1 n n + − − + + ＝ F(s) 1 G(s)H(s) a s a s a1 s a 0 0 n 1 n 1 n ＝ + ＝ n + − − + + ＝
2.奈氏路径 令:一→-1→+1→+→-闷顺时针方向包围整个s 右半平面。当F(s) ▲ 有若干个极点处 Jo 于s平面虚轴(包 s平面 括原点)上时, 则以这些点为圆 R 心,作半径为无 +j0 穷小的半圆,按的极点 逆时针方向从右 侧绕过这些点
4 2．奈氏路径 令： 顺时针方向包围整个s 右半平面。当F(s) 有若干个极点处 于s平面虚轴（包 括原点）上时， 则以这些点为圆 心，作半径为无 穷小的半圆，按 逆时针方向从右 侧绕过这些点。 j j 1 j 1 − j F s( )的极点 R − j − j0 + j0 s平面 s = − j → − j0 → + j0 → + j → − j
3.奈氏判据 设:F)=1+6/——闭环系统特征多项式 显然:F(s)的零点就是闭环系统的极点 (1)1+G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈,根据幅角定理,F(s)平 面上绘制的FS)曲线F逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差: N=P-Z 当Z=0即(N=P)时,说明系统闭环传递函数无极 点在s右半开平面,系统是稳定的;反之,系统则是不 稳定的
5 3. 奈氏判据 设： ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF 逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0 即（N= P ）时，说明系统闭环传递函数无极 点在 s 右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不 稳定的。 F(S) =1+G(s)H(s)