定理7.2.2 设x∈S,f(x)和8，(x)(i∈D在x可微，g,x) (i∈)在x连续如果x是问题(7.2.3)的局部最优解，则 F,∩G,=中 定理7.2.3(Fritz John条件) 设x∈S,I={il8,(x)=0为 f,8(i∈I)在x处可微，8，(i主)在x处连续，如果x是(7.2.3) 的局部最优解，则存在不全为零的非负数w,,w,(亿∈I),使得 wf(x)-∑w,Vg,(x)=0
定理7.2.2 设 , 和 在 可微, 在 连续.如果 是问题(7.2.3)的局部最优解,则 x S f (x) gi (x)(i I) x g (x) i (i I) x x F0 G0 = 定理7.2.3 (Fritz John条件) 设 , , , 在 处可微, 在 处连续,如果 是 (7.2.3) 的局部最优解,则存在不全为零的非负数 , ,使得 x S I = {i | gi (x) = 0} f x g (i I) i g (i I) i x x w0 w (i I) i 0 ( ) − ( ) = 0 iI i i w f x w g x
证明：由定理7.2.2知，在x点，F∩G。=, 即不等式组 Vf(x)"d<o -Vg,(x)'d<0,ie1 无解， 令矩阵 w f()' 其中(-Vg,()) 是以-Vg()I为行的矩 阵，于是Ax<0无解
证明： 其中 是以 为行的矩 无解， 令矩阵 即不等式组 由定理7.2.2知， ( ) ( ) ( ) i i I f x g x = − A ( ) 0 ( ) 0 , i f x d g x d i I − Ax 0 ( ) i g x ( i ( ) ) − i I g x − 0 0 在x F G 点， =, 阵，于是 无解