读材料 丢番图的墓志铭与方程 古希腊数学家丢番图( Diophantus),是以研究一类方程(不定方程)著称于 世的数学家.在他的墓碑上,刻着这样一段墓志铭 坟中安葬着丢番图, 多么令人惊讶, 它忠实地记录了所经历的道路 上帝给予的童年占六分之 又过十二分之一,两颊长胡, 再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛. 五年之后天赐贵子, 可怜迟到的宁馨儿, 享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓 悲伤只有用数论的研究去弥补, 又过四年,他也走完了人生的旅途 请你列出方程,算一算丢番图去世时的年龄 你知道吗?现存世界上最古老的方程出现在英国考古学家兰德1858年找到 的一份古埃及人的“纸草书”上,经破译,上面都是一些方程,共85个问题.如“啊 哈,它的全部,它的,是19”;“一堆,它的 3’2’7 居然是33”.译得更明白 点就是:x+1x=19;x+2x+1x+1x= 在我国,“方程”一词最早出现于东汉初年的数学经典著作《九章算术》的第八 章“方程”到唐、宋时期,对方程的研究达到我国古代的鼎盛阶段.那时所创立的 用“天元术”解题,从设未知数到列方程都和现代数学十分相似.也就是在那段时 期,方程的知识从中国传入日本 第6章一元一次方程·15
63/实践与探索 向题 用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形 (1)如果长方形的宽是长的2,求这个长方形的 长和宽; (2)如果长方形的宽比长少4厘米,求这个长方形 的面积 (3)比较(1)、(2)所得的两个长方形面积的大小 还能围出面积更大的长方形吗? 讨论 每小题中如何设未知数?在小题(2)中,能不能 直接设长方形的面积为x平方厘米?若不能,该怎 么办? 探索 将小题(2)中的宽比长少4厘米改为少3厘米、2厘 米、1厘米、0厘米(即长与宽相等),长方形的面积分别 有什么变化? 练习 1.一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底 面半径为1.5厘米的圆柱,则圆柱的高是多少?(精确到0.1厘米,π取3.14) 16·第6章一元一次方程
2.在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水,再将瓶内的水倒入一个 底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中,能否完全装下?若装不下,那么 瓶内水面还有多高?若未能装满,求杯内水面离杯口的距离. 读∈读 本节问题1中,通过探索我们发现,在周长一定的情况下,长 方形的长和宽越接近,面积就越大.实际上,当长和宽相等,即成 为正方形时,面积最大.通过以后的学习,我们就会知道其中的 道理 有趣的是:若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形(包括随意七 凹八凸的不规则图形),面积最大的是圆.这里面的道理涉及进一步 的数学知识,将来你有兴趣去认识它们吗? 向题2 新学年开始,某校三个年级为地震灾区捐款经统 计,七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的2,八年级 捐款数是全校三个年级捐款数的平均数,已知九年级捐 款1964元,求其他两个年级的捐款数 讨论 在解决本题时,你是怎样设元的?还有没有其他的 设元方法?比较一下,哪种设元方法比较容易列出方程? 说说你的道理 第6章一元一次方程·17
练习 1.填空: (1)学校图书馆原有图书a册,最近增加了20%,现在有图书 册; (2)某煤矿预计今年比去年增产15%,达到年产煤60万吨,设去年产煤x万吨, 则可列方程 (3)某商品按定价的八折出售,售价为14.80元,则原定价是 2.自“政府补贴,家电下乡”活动开展以来,农村家电市 场销量明显增加.某县的一个家电门市部统计了在 家电下乡活动启动前后,销售给农户的A、B两种型 号电视机的情况:启动前一个月,A型电视机和B型 电视机共售出960台;启动后第一个月销售A型电视 机和B型电视机的数量分别比活动启动前一个月增 长20%和30%,两种型号的电视机共售出1192台 (第2题) 已知A型电视机每台价格是2198元,B型电视机每台价格是1898元.根据 “家电下乡”的有关政策,政府按每台电视机价格的13%给予农户补贴.求活动启 动后的第一个月,该门市部销售给农户的1192台电视机,政府共补贴了多少 (精确到0.1万元) 习题6.3.1 1.一个角的余角比这个角的补角的一半小40°,求这个角的度数 2.某市去年年底人均居住面积为11平方米,计划在今年年底增加到人均13.5平 方米.求今年的住房年增长率.(精确到0.1%) 3.某银行设立大学生助学贷款,分3~4年期与5~7年期两种贷款年利率分别为 6.03%和6.21%,贷款利息的50%由国家财政贴补.某大学生预计6年后能 次性偿还1.8万元,问他现在大约可以贷款多少?(精确到0.1万元) 4.解答下列问题 (1)师徒两人检修一条长180米的自来水管道,师傅每小时检修15米,徒弟每 小时检修10米.现两人合作,多少时间可以完成整条管道的检修? (2)师徒两人检修一条煤气管道,师傅单独完成要10小时,徒弟单独完成要15 小时.现两人合作,需多少小时完成? 18·第6章一元一次方程
5.学校准备添置一批课桌椅,原订购60套,每套100元.店方表示:如果多购,可以 优惠结果校方购了72套,每套减价3元,但商店获得同样多的利润.求每套课 桌椅的成本 向题3 课外活动时李老师来教室布置作业,有一道题只写 了“学校校办厂需制作一块广告牌,请来两名工人已知 师傅单独完成需4天,徒弟单独完成需6天”就停住了 珍僧用水 片刻后,同学们带着疑问的目光,窃窃私语:“这个题目 没有完呀!”“要求什么呢?”… 李老师开口了:“同学们的疑问是有道理的.今天我 就是要请同学们自己来提出问题请发挥你的想象力,把 这个问题补充完整.” 调皮的小刘说:“让我试一试”于是,上去添了:两 人合作需几天完成? 有同学反对:“这太简单了!”但也引起了大家的兴 趣,于是各自试了起来:有考虑一人先做几天再让另一人 做的,有考虑两人先合作再一人离开的,也有考虑两人合 你还能提 出其他问题吗? 作完成后的报酬问题的 试一试,并解答 李老师选了两位同学的问题,综合起来,在黑板上写 这些问题 出:现由徒弟先做1天,再两人合作,完成后共得到报酬450 元.如果按各人完成的工作量计算报酬,那么该如何分配? 试解答这一问题,并与同学们一起交流各自的做法 习题6.3.2 1.试将下列问题改为与我们日常生活、学习有关的问题,使所列得的方程相同或相 似:食堂存煤若干吨,原来每天烧煤3吨,用去15吨后,改进设备,每天的耗煤量 降低为原来的一半,结果多烧了10天,求原存煤量 2.中国民航规定:乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运20千克行李,超过 部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票.一名乘坐经济舱的旅客托运了35 千克行李,机票连同行李费共付1323元,求该旅客的机票价 第6章一元一次方程