可以得到scat2Escat,n-1Escat,n2AHAA△tAyAz6011scatn+scat.n22AEscat,nAEscat,HH11X△tAxAzuo△x << 2下面就可以编程计算了，但是要求：(△x)At <</3c可以看到：整个过程几乎没有任何公式推导，将麻烦交给算法和计算机。原则上，可以解决任何maxwell框架内的问题。自前已有几款商用及自由软件可选择：XFDTD,Solution,Comsol(FEM),EastFDTD自由软件：Meep6Finitedifferencetime domain methodforelctromagneticsKarlS.KunzandRaymondJ.Luebbers,1993CRCpress
6 Finite difference time domain method for elctromagnetics, Karl S. Kunz and Raymond J. Luebbers,1993 CRC press. 可以得到 1 1 , , , ,1 2 2 0 1 1 , , 2 2 , , 0 1 1 scat n scat n scat n scat n x x z y scat n scat n scat n scat n y y z x E E H H t yz H H E E t xz ε µ − − − + − − ∆ ∆ = − ∆ ∆∆ − ∆ ∆ = − ∆ ∆∆ 下面就可以编程计算了，但是要求： ( ) 3 x x t c ∆ << λ ∆ ∆ << 可以看到：整个过程几乎没有任何公式推导，将麻烦交给算法 和计算机。原则上，可以解决任何maxwell框架内的问题。 目前已有几款商用及自由软件可选择: XFDTD, Solution, Comsol(FEM), EastFDTD 自由软件：Meep
CDA (Coupled dipoleapproximation)偶极耦合近似概述：将组成单元考虑成偶极子，组成单元之间的耦合也只考虑偶极作用。适用范围：可以看成偶极子的纳米小颗粒或由其组成的阵列。颗粒的尺度要比波长小得多，以使小球的多级共振不会造成大的影响。颗粒之间距离也比较大（一般大于半个波长即可）。组成单元多是球形或椭球形，也可以是其它形状。IneidentwaevectorElechiefieldpolariced
7 CDA (Coupled dipole approximation) 适用范围：可以看成偶极子的纳米小颗粒或由其组成的阵 列。颗粒的尺度要比波长小得多，以使小球的多级共振不 会造成大的影响。颗粒之间距离也比较大（一般大于半个 波长即可）。组成单元多是球形或椭球形，也可以是其它 形状。 概述：将组成单元考虑成偶极子，组成单元之间的耦合也 只考虑偶极作用。 偶极耦合近似
考虑一散射体系，包含多个组成单元，其位置和偶极极化率由r和α表示，则极化强度可以表示为P, = α,Eloc,i注意这里的Eloci是包括入射光场和其他小球散射场的影响。所以，对于一给定的波长。NEloc,i = Einc,i + Edipole,i = Eo exp(ikr)- Z A,Pjj=1,ji根据电动力学的知识，两个偶极子的耦合可以写成r,2P, -3r,(rP,)A,P, = k2eikg ×(y ×P,))ikrj(te353rij8Theoretical studies ofplasmon resonances in one-dimensional nanoparticle chains:narrowlineshapeswithtunablewidths,ShengliZouetal,Nanotechnology(2oo6)
8 根据电动力学的知识，两个偶极子的耦合可以写成 考虑一散射体系，包含多个组成单元，其位置和偶极极化率 由 和 表示，则极化强度可以表示为 注意这里的 是包括入射光场和其他小球散射场的影响。 所以，对于一给定的波长。 Theoretical studies of plasmon resonances in one-dimensional nanoparticle chains: narrow lineshapes with tunable widths, Shengli Zou et al, Nanotechnology (2006) ri αi P E i i loc i =α , Eloc i, , , ,0 1, exp( ) N loc i inc i dipole i i ij j j ji E E E E ik r A P = ≠ =+ = − ∑ 2 2 , 3 5 ( ) 3( ) (1 ) ij ij ikr ij ij j ikr i j j ij ij j ij j ij ij ij r r P r P r rP A P k e e ikr r r × × − = + −
如果散射体系有N个组成颗粒，那么就有N个类似上面的线性方程。我们通过解一个自洽的N阶线性方程组A'P=E就可以得到每个颗粒的极化强度P，接着就可以计算散射体系的消光，吸收截面等物理量N4元kZ Im(E)LPext2Eoj=1V4元k2/mP,(aj) p,-2kpabs2Eo9Theoreticalstudies ofplasmonresonancesin one-dimensional nanoparticle chains:narrowlineshapeswithtunablewidths,ShengliZouetal,Nanotechnology(2oo6)
9 就可以得到每个颗粒的极化强度 ，接着就可以计算散射 体系的消光，吸收截面等物理量 如果散射体系有N个组成颗粒，那么就有N个类似上面的线性 方程。我们通过解一个自洽的N阶线性方程组 AP E ′ = Pi * 2 , 1 0 4 Im( ) N ext inc j j j k C π = = ∑ E P E ( ) * 2 1* 3 2 1 0 4 2 Im 3 N abs j j j j j k C k π α− = = − ∑ PP P E Theoretical studies of plasmon resonances in one-dimensional nanoparticle chains: narrow lineshapes with tunable widths, Shengli Zou et al, Nanotechnology (2006)
利用CDA方法，并不要求组成颗粒一定是球形只要考虑偶极和偶极耦合反应体系的主要物理性质时，都可以使用。最简单的是小球，其偶极极化率可以由Mie理论中的展开系数直接求出来：3aadipole2h3而对于其他形状的偶极极化率，则需要建立近似模型甚至数值方法求出了10Theoreticalstudies ofplasmonresonancesin one-dimensional nanoparticlechains:narrowlineshapeswithtunablewidths,ShengliZouetal,Nanotechnology(2oo6)
10 而对于其他形状的偶极极化率，则需要建立近似模型甚至数 值方法求出了 利用CDA方法，并不要求组成颗粒一定是球形，只要考虑偶极 和偶极耦合反应体系的主要物理性质时，都可以使用。 最简单的是小球，其偶极极化率可以由Mie理论中的展开系数 直接求出来： 1 3 3 2 dipole a k α = Theoretical studies of plasmon resonances in one-dimensional nanoparticle chains: narrow lineshapes with tunable widths, Shengli Zou et al, Nanotechnology (2006)