第三章材料非线性 有限元分析 1非线性弹性问题的有限单元法 2強塑性回的有限单法 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 1 第三章 材料非线性 有限元分析 1 非线性弹性问题的有限单元法 2 弹塑性问题的有限单元法
1非线性弹性问题的有限单元法 前提:材料处子弹性状态,但是应力应变关 系是非线性的。位移和应变是微小的。因此 几何方程En=(u1,y+u1}) 2 物理方程an=DkE或don=Dmd 象线性间题一样,设位移和应变分别为 u=Ns 8=B6 则全量形式的应力为 o=D(8B8 增量形式的应力为 da=Dn()Bdδ 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作 2
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 2 1 非线性弹性问题的有限单元法 前提：材料处于弹性状态，但是应力-应变关 系是非线性的。位移和应变是微小的。因此 ( , , ) 2 1 i j = ui j +uj i 几何方程 kl t kl i j ijkl s 物理方程 i j = Dijkl 或 d = D d 象线性问题一样，设位移和应变分别为 u N e B e = = 则全量形式的应力为 Ds B e = ( ) 增量形式的应力为 DT B e d = ( ) d
同线性问题分析样,可得单元刚度方程为 Bodv=F+F=BD(E)Bdv8,=k(8)8 进行先处理(定位向量)集成,可得 集成」∑∫Bov=k、OU=P+P=R 与线性问题不同,上式是非线性的方程组,因 此要用第一章介绍的方法来求解。 1)切线刚度法 额法 线性方程y=∑B牛顿法时解时 切线刚度矩阵为(认为 =a() kg=y s=[B o, E,a dv=B D(e)Bdv 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作 3
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 3 同线性问题分析一样，可得单元刚度方程为 B V F F B Ds B V e ks e e d ( ) d ( ) T E T = + = = 进行先处理（定位向量）集成，可得 B V = Ks U U = Pd + PE = R T d ( ) 与线性问题不同，上式是非线性的方程组，因 此要用第一章介绍的方法来求解。 1）切线刚度法——牛顿法 k = = B V = B DT B V e T e , , , d ( ) d T T e 集成 = d − = 0 T 非线性方程 B 用牛顿法求解时， V R 切线刚度矩阵为(这里认为 ) = d − = 0 T B V R = ( )
经整体集成后,可得整体切线刚度矩阵,由 此可建立(自修正的)牛顿法选代公式为 AU=(KT(R-R") Ut=U+AU 式中R"是应力引起的结点力,因此 R=∑Bod-表示集成 其中为第m步位移对应的线性单元应力。 讲义上列出切线刚度法分析的计算步骤,这 里不再赘述。(P22) 因为R-R物理含义是不平衡力,所以牛顿法 也可理解为按不平衡力修正位移,使不平衡力 足够小。 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 4 经整体集成后，可得整体切线刚度矩阵，由 此可建立（自修正的）牛顿法迭代公式为 n n n n n T n U = K R − R U = U + U −1 +1 ( ) ( ) 式中Rn是应力σn引起的结点力，因此 其中σn为第n步位移对应的非线性单元应力。 讲义上列出切线刚度法分析的计算步骤，这 里不再赘述。(P.22) 因为R-Rn物理含义是不平衡力，所以牛顿法 也可理解为按不平衡力修正位移，使不平衡力 足够小。 R = B V n n d T 表示集成
从此可得切线刚度法的计算步骤为 1)设U=0,求线弹性解U; 2)由U求各单元的应变、应力; 3)从BD(E")BdV计算单元切线 刚度矩阵k并集装K; 4)计算BodV并集装R"; 5)由式(3.6)进行选代,直到 满足精度要求。 2000.4 哈尔滨建筑大学王焕定教授制作 5
2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 5 5) 由式 （3．6）进行迭代，直到 满足精度要求。 从此可得切线刚度法的计算步骤为： 0 U 0 1 1）设 = ，求线弹性解 U ； 1 2）由 U 求各单元的应变、应力； T ( ) dV T B D B n e T k n KT 3）从 计算单元切线 刚度矩阵 并集装 ； dV T n B n 4）计算 并集装 R ；