父 当针与平行线相交时，Z与B应满足关系Z≤号sm,B,即 为图11-1(b)中的阴影部分，将此区域记为R. a/2 [sinB/2 G R π B 7/52 图11-1 Buffon投针图 故针与平行线相交的概率为： L(R) IsinBdB 21 p= L(G) ira πa GoBack FullScreen Close Quit
7/52 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ܲ1ÇÉûßZÜβA˜v'XZ ≤ l 2 sinβß= è„11-1(b)•“K‹©ßÚd´çPèR. „11-1 Buffon›„ ܲ1ÇÉV«èµ p = L(R) L(G) = 1 2 R π 0 lsinβdβ 1 2 πa = 2l πa
利用此例的答案来估算π的值，其方法是投针N次，记 录针与线相交的次数，再以频率值朵作为概率p的值，于 是可得 2l N ≈ πa 即得 2IN π≈ an 8/52 以下我们将使用R软件来实现Buf fon投针实验，其中两个 关键的步骤为： (1)产生随机数：Z在[0，引内随机取值，B在[0，π]内随 机取值，也即首先需要生成服从[0，引上均匀分布的随机数， 以及服从0，π]上均匀分布的随机数。 GoBack FullScreen Close Quit
8/52 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit |^d~âY5éπäߟê{¥›NgßP ¹ÜÇÉgÍnß2±™«än NäèV«p äßu ¥å n N ≈ 2l πa = π ≈ 2lN an ±e·ÇÚ¶^R^á5¢yBuf f on›¢ßŸ•¸á 'Ö⁄½èµ £1§)ëÅ͵Z3[0, a 2 ]SëÅäßβ3[0, π]Së Åäßè=ƒkIá)§—l[0, a 2 ] ˛˛!©ŸëÅÍß ±9—l[0, π]˛˛!©ŸëÅÍ"
女 (2)模拟投针实验：考察次投针试验，若针与平行 线相交，则表示试验成功，假设共成功次，则π的估计值 为心，其中线之间的距离a及针的长度l(l<a)均预先给 an 定。 使用R软件来进行模拟，例如选取试验次数为N 50000,线之间的距离a=1,针的长度1=0.75，代码如 下： 9/52 GoBack FullScreen Close Quit
9/52 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit £2§ [›¢µ ng›£ßeܲ1 ÇÉßKL´£§ıßb§ıngßKπOä è2lN an ߟ•ÇÉmÂla9›l(l < a)˛˝kâ ½" ¶^R^á5?1 [ß~X¿£gÍèN = 50000ßÇÉmÂla = 1ß›l = 0.75ßìËX eµ
液 touzhen <-function(N,I=0.75,a =1) +{ +n<-0;beta <-runif(N,0,pi);z<-runif(N,O,a/2) +for(iin1:N) +{ 10/52 +if(z[i]<=l sin(beta[i])/2) +m<-n+1 +} +2*l*N/(n*a) +} touzhen(50000) GoBack FullScreen Close Quit
10/52 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit > touzhen < −function(N, l = 0.75, a = 1) +{ +n < −0; beta < −runif(N, 0, pi); z < −runif(N, 0, a/2) +f or(iin1 : N) +{ +if(z[i] <= l ∗ sin(beta[i])/2) +n < −n + 1 +} +2 ∗ l ∗ N/(n ∗ a) +} > touzhen(50000)
。 例11.1.2 (随机投点法)计算任一定义域为0,1]的 函数g(c)在区间[0,1]上的积分g(x)dxc. 解假设随机变量X和Y均服从[O,1上的均匀分布，且相 互独立，则二维随机向量(X,Y)服从矩形区域[0,1]*[0,1]上 的二维均匀分布，联合概率密度为： f(x,y）= 1,0<x<1,0<y<1 0, 11/52 其他 现用B表示事件{w:Y≤g(X)}(g为任-定义域为[0,1oe), 也即我们向矩形区域[0,1]*[0,1随机投点，其中点落在 以[0,1为底，以函数g(x)为曲边的曲边梯形内。 可计算事件B发生的概率为 P=PY≤9(X}-a f(x,y)dxdy GoBack FullScreen Close Quit
11/52 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 11.1.2 £ëÅ›:{§Oé?ò½¬çè[0, 1] ºÍg(x)3´m[0, 1]˛»© R 1 0 g(x)dx. ) bëÅC˛X⁄Y ˛—l[0, 1]˛˛!©ŸßÖÉ p’·ßKëëÅï˛(X, Y )—l›/´ç [0, 1]∗[0, 1]˛ ë˛!©ŸßÈ‹V«ó›èµ f(x, y) = ( 1, 0 < x < 1, 0 < y < 1 0, Ÿ¶ y^BL´Øá{w : Y ≤ g(X)}£gè?ò½¬çè[0, 1]œ§ß è=·Çï›/´ç[0, 1] ∗ [0, 1]ëÅ›:ߟ•:·3 ±[0, 1]è.ß±ºÍg(x)è>>F/S" åOéØáBu)V«è P(B) = P{Y ≤ g(X)} = Z Y ≤g(X) f(x, y)dxdy