《工程热力学》课程教学资源（习题解答）第六章 实际气体的性质和热力学一般关系

第六章实际气体的性质和热力学一般关系 第六章实际气体的性质和热力学一般关系 6一1试推导范德瓦尔气体在定温膨胀时所作功的计算式。 提示和答案： 将范德瓦尔气体状态方程可写成p= RT a -b,所以 6-2NH,气体的压力p=10.13MPa,温度T=633K。试根据通用压缩因子图求其密度， 并和由理想气体状态方程计算的密度加以比较。 提示和答案：由附录表1查得NH3临界参数，算得p,=0.893,T=1.561,查通 ZR.T 用压缩因子图得Z=0.94。得v= =0.02866m3kg、p=-=34.9kgm3,若按理想气 1 体计算pa=32.8kg/m3,p1Pa=1.064。 6-3一容积为3m3的容器中储有状态为p=4MPa,1=-113℃的氧气，试求容器内氧 气的质量，(1)用理想气体状态方程：(2)用压缩因子图。 提示和答案：同题6-2，查N-0图（低压区）得Z=0,71,算得v=ZI =0.00738m3/kg, m-'=4065kg·。按理想气体状态方程m=28,4kg。 6-4容积为0.425m3的容器内充满氮气，压力为16.21MPa,温度为189K,计算容器 中氮气的质量。利用(1)理想气体状态方程：(2)范德瓦尔方程：(3)通用压缩因子图： (4)R-K方程。 提示和答案：(1)利用理想气体状态方程m=122.80kg:(2)范德瓦尔方程中氮气的范 德瓦尔常数可查查表6-1，将a,b值代入范德瓦尔方程，可解得m=147.0kg:(3)查通用 压缩因子图Z=084,上-Z=814x10m/mol,m=二M=1462kg:（4)用临界 D 51

第六章 实际气体的性质和热力学一般关系 51 第六章 实际气体的性质和热力学一般关系 6-1 试推导范德瓦尔气体在定温膨胀时所作功的计算式。 提示和答案： 将范德瓦尔气体状态方程可写成 2 m m RT a p V b V    ，所以 m ,2 m ,1 2 2 1 m m d d V V RT a W p V V V b V             等温过程 T = 常数，即得 m,2 m,1 m,2 m,1 1 1 ln V b W RT a V b V V            。 6-2 NH3 气体的压力 p = 10.13 MPa，温度 T = 633 K。试根据通用压缩因子图求其密度， 并和由理想气体状态方程计算的密度加以比较。 提示和答案： 由附录表 1 查得 NH3 临界参数，算得 r r p T   0.893 1.561 ， ，查通 用压缩因子图得 Z = 0.94。得 g 3 0.02866m /kg ZR T v p   、 1 3 34.9kg/m v    ，若按理想气 体计算 3 id   32.8kg/m ， id  / 1.064  。 6-3 一容积为 3m3 的容器中储有状态为 p t     4MPa 113 C ， 的氧气，试求容器内氧 气的质量，（1）用理想气体状态方程；（2）用压缩因子图。 提示和答案：同题 6-2，查 N-O 图(低压区)得 Z = 0.71，算得 g 3 0.00738m /kg ZR T v p   ， 406.5kg V m v   。按理想气体状态方程 m  288.4kg 。 6-4 容积为 0.425m3的容器内充满氮气，压力为 16.21 MPa，温度为 189 K，计算容器 中氮气的质量。利用（1）理想气体状态方程；（2）范德瓦尔方程；（3）通用压缩因子图； （4）R-K 方程。 提示和答案：（1）利用理想气体状态方程 m  122.80kg ；（2）范德瓦尔方程中氮气的范 德瓦尔常数可查查表 6-1，将 a，b 值代入范德瓦尔方程，可解得 m  147.0kg ；（3）查通用 压缩因子图 Z = 0.84， 5 3 m 8.14 10 m /mol ZRT V p     ， m 146.2kg V m M V   ；（4）用临界

第六章实际气体的性质和热力学一般关系 参数求取R-K方程中常数a和b,代入R-K方程，迭代后解得V=0.080238m3/mol, m=- M=148.84kg。(本例中，因范氏方程常数采用实验数据拟合值，故计算O2质量误 差较小。) 6-5试用下述方法求压力为5MPa,温度为450℃的水蒸气的比体积。(1)理想气体状 态方程；(2)压缩因子图。己知此状态时水蒸气的比体积是0.063291mkg,以此比较上述 计算结果的误差。 提示和答案：(1)利用理想气体状态方程，=0.06733mkg,P-x100%=544%: (2)p=卫=0226T=T=111,利用通用压缩因子图，查得Z=095,故 V-ZRT-0.063340mhb=1x10%=01%P-x100%=011%. p 1 *6-6体积为7.81×10-3m3,压力为10.1325MPa的1kg丙烷，实测温度为253.2℃， 试用压缩因子图确定丙烷的温度。 提示和答案：丙烷临界参数：T=369.8K,P。=425MPa,故p,=卫=2384， V=0.478,查N-0图（中 y。= M=0344×I0mm0l,理想对比体积三RT.1pa 压区)，得T=1.45。所以T=TT=263.35C,误差4.0%。 6-729℃、15atm的某种理想气体从1m3等温可逆膨胀到10m3,求过程能得到的 最大功。 提示和答案：气体的摩尔数n=此=0,605km0l。据F=U-TS,等温过程 RT dF=dU-TdS,据第一定律，可逆过程，dU=TdS-pdV,所以dF=-pdV。可逆等温 过程中，其自由能的减少量等于所得到的最大功，于是 Wm=F-5=∫par=mRT1n上=349692J。 52

第六章 实际气体的性质和热力学一般关系 52 参数求取 R-K 方程中常数 a 和 b,代入 R-K 方程，迭代后解得 3 m V  0.080238 m / mol ， m 148.84 kg V m M V   。（本例中，因范氏方程常数采用实验数据拟合值，故计算 O2 质量误 差较小。） 6-5 试用下述方法求压力为 5 MPa，温度为 450 ℃的水蒸气的比体积。（1）理想气体状 态方程；（2）压缩因子图。已知此状态时水蒸气的比体积是 0.063 291 m 3 /kg，以此比较上述 计算结果的误差。 提示和答案：（1）利用理想气体状态方程 3 id v  0.066733m /kg ， id 100% 5.44% v v v    ； （2） r r cr cr 0.226 1.11 p T p T p T     ， ，利用通用压缩因子图，查得 Z = 0.95，故 g 3 0.063340m /kg ZR T v p    ， 100% 0.11% v v v     id 100% 0.11% v v v    。 * 6-6 体积为 7.81×10 - 3 m 3，压力为 10.132 5 MPa 的 1kg 丙烷，实测温度为 253.2℃， 试用压缩因子图确定丙烷的温度。 提示和答案：丙烷临界参数： cr T = 369.8 K， cr p = 4.25 MPa，故 r cr 2.384 p p p   ， 3 3 m V vM 0.344 10 m /mol     ，理想对比体积 m m m m,i,cr cr cr 0.478 / V V V V RT p     ，查 N-O 图（中 压区），得 r T 1.45 。所以 r cr T TT   263.35 C，误差 4.0%。 6-7 29 ℃、15 atm 的某种理想气体从 1 m3 等温可逆膨胀到 10 m3，求过程能得到的 最大功。 提 示 和 答 案 ： 气 体 的 摩 尔 数 1 1 0.605 kmol pV n RT   。 据 F U TS   ， 等 温 过 程 d d d F U T S   ，据第一定律，可逆过程， d d d U T S p V   ，所以 d d F p V   。可逆等温 过 程 中 ， 其 自 由 能 的 减 少 量 等 于 所 得 到 的 最 大 功 ， 于 是 2 2 max 1 2 1 1 d ln 3 499 692 J V W F F p V nRT V      

第六章实际气体的性质和热力学一般关系 6-8试证明理想气体的体积膨胀系数C,= T 提示：对理想气体的状态方程pm=RT求导得 代入体积膨胀系数定义 即可证。 ah 1 6-9试证在h一s图上定温线的斜率 =T- 8s 提示：dh=Tds+vdp =T+y =T+v 利用麦克斯韦关系， (aslop), 用(a/aT),置换(as/p),即可得 =T- 6-10固体和液体体积膨胀系数和等温压缩率都很小，金属固体的等温压缩率K,大小量 级约为10~Pa,液体的K,约比固体大一个数量级，K,与温度有微弱的关系而与压力无关。 体积膨胀系数α，与压力近似无关，在一般温度下固体的体积膨胀系数的数量级约是 10~10K，而液体的%，约比固体大一个数量级。(1)试证明工程和科研实践中改变温 度但维持固体或液体系统体积不变是很困难的：(2)刚性容器中充满0.1MPa的饱和水，温 度为99.634℃。将其加热到120℃，求其压力。已知：在100℃到120℃内，水的平均体 积膨胀系数a,=80.8×103K:0.1MPa,120℃时水的等温压缩率K=4.93×10MPa, 假设其不随压力而变。 提示和答案：对于各向同性的固体和液体，同样有v=重p1,故 d,据热系数定义可导得dv=va,dT-vK,dp。(1)若dv=0,则 ≈10°Pa·K,所以维持固体或液体系统体积不变，温度改变较小的值会招致 Kt 压力很大的变化。(2)因d=a,dr-vK,p,因刚性容器n上-广g,dr-了广x,p=0, V 积分区间内a和K,都是常数，所以a(T-T)=K,（P-P)，P,=33.4MPa。虽然水的 53

第六章 实际气体的性质和热力学一般关系 53 6-8 试证明理想气体的体积膨胀系数 1 V T   。 提示：对理想气体的状态方程 g pv R T  求导得 g p v R T p          ，代入体积膨胀系数定义 1 V p v v T           ，即可证。 6-9 试证在 h—s 图上定温线的斜率 1 T V h T s            提示： d d d h T s v p   ，   1 / T T T h p T v T v s s s p                       ，利用麦克斯韦关系， 用  /  p   v T 置换  / T   s p 即可得 1 T V h T s            。 6-10 固体和液体体积膨胀系数和等温压缩率都很小，金属固体的等温压缩率 T  大小量 级约为 11 1 10 Pa   ，液体的 T  约比固体大一个数量级， T  与温度有微弱的关系而与压力无关。 体积膨胀系数 V 与压力近似无关，在一般温度下固体的体积膨胀系数的数量级约是 5 4 1 10 ~10 K    ，而液体的 V 约比固体大一个数量级。（1）试证明工程和科研实践中改变温 度但维持固体或液体系统体积不变是很困难的；（2）刚性容器中充满 0.1MPa 的饱和水，温 度为 99.634℃。将其加热到 120 ℃，求其压力。已知：在 100 ℃到 120 ℃内，水的平均体 积膨胀系数 5 1 V 80.8 10 K     ；0.1MPa，120 ℃时水的等温压缩率 4 1 4.93 10 MPa  T     ， 假设其不随压力而变。 提 示 和 答 案 ： 对 于 各 向 同 性 的 固体和液体，同样有 v v p T  ( , ) ， 故 d d d p T v v v T p T p                   ，据热系数定义可导得 d d d V T v v T v p     。（1）若 d 0 v  ，则 6 1 10 Pa K V v T p T               ，所以维持固体或液体系统体积不变，温度改变较小的值会招致 压力很大的变化。（2）因 d d d V T v v T v p     ，因刚性容器 2 2 2 1 1 1 ln d d 0 V T v T p v        ， 积分区间内 V 和 T  都是常数，所以     V T 2 1 2 1   T T p p    ， 2 p  33.4MPa 。虽然水的

第六章实际气体的性质和热力学一般关系 温度仅升高20℃，但容器内的压力是初态压力的334倍，因此进行定容过程相对于定压过 程困难得多。 6-11试证状态方程为p(v-b)=RT(其中b为常数)的气体(1)热力学能du=c,dT: (2)焓dh℃即：(3)c。-c,为常数：(4)可逆绝热过程的过程方程p(v-b)=常数。 提示：对(v-b)=RT求导，分别代入热力学能的一般关系式和焓的一般关系式 加=6dr--p小r、h=cn- d ，即得du=c,dT、 h=cdr+:代入c,=r(: 可得c。-C,=R:将p(v-b)=RT及 du=c,dT代入Tds=du+pdv,有据ds= dr+Rdr,因过程可逆绝热，ds=0,对 T v-b P0-创=R7对数后求号，有电部钙，代入d山=6兰+，三。 P v-b T dr+dr=0,移项整 理得迎。-Kdr-)。取K为定值，积分得p-b)=常数。 v-b 6-12证明下列等式 0's (1) (2) &u=T aTap oTop 提示：(1)ds ,对照第-山方程式山=子4r+(哥)， 即得 o's =T- 6-13试证范德瓦尔气体 1)d=c,dr+ad:(2)c,-G R 1-2a-b) RTyi 54

第六章 实际气体的性质和热力学一般关系 54 温度仅升高 20℃，但容器内的压力是初态压力的 334 倍，因此进行定容过程相对于定压过 程困难得多。 6-11 试证状态方程为 g p v b R T ( )   （其中 b 为常数）的气体（1）热力学能 d dV u c T  ； （2）焓 d d bd p h c T p   ；（3） p V c c  为常数；（4）可逆绝热过程的过程方程 p v b ( )   常数 。 提示：对 g p v b R T ( )   求导，分别代入热力学能的一般关系式和焓的一般关系式 d d d V v p u c T T p v T                  、 d d d p p v h c T v T p T                  ， 即 得 d dV u c T  、 d d d p h c T b p   ；代入 p V p v v p c c T T T                   ，可得 p V g c c R   ；将 g p v b R T ( )   及 d dV u c T  代入 T s u p v d d d   ，有据 d g d d V T R s c v T v b    ，因过程可逆绝热， d 0 s  ，对 g p v b R T ( )   取对数后求导，有 d d d p v T p v b T    ，代入 d g d d 0 V T R s c v T v b     ，移项整 理得 d d( ) p v b p v b      。取  为定值，积分得 p v b ( )   常数。 6-12 证明下列等式 （1） V v s c T T          ； （2） 2 2 u s T T p T p        。 提示：（1） d d d v T s s s T v T v                   ，对照第一 ds 方程式 d d d V v c p s T v T T           ， 即 得 V v s c T T          ；（ 2 ） 由 d d d u T s p v   ， v v u s T T T                  故 2 v u u T v v T                2 2 v s s s T T T v T v T T v                         。 6-13 试证范德瓦尔气体 （1） 2 d d d V a u c T v v   ； （2） g 2 3 g 2 ( ) 1 p V R c c a v b R Tv     ；

第六章实际气体的性质和热力学一般关系 (3)定温过程焓差为(-h),=PV-PY+a 11 (4)定温过程熵差为s,-,=Rn-b v-b 提示：(1)由范氏方程p=Y日求导并整理可得 R v-b v2 v-b )()，代入第 关系式 血=6dr-）-P小，即得加6r号：代入c-6=7)()并 R 利用循环关系式转化 得） v-b OT) =--RT+20 解得c。-Cv= -6+ a-b2(3) 人 RTy 由(1)已得du=c,dT+adr考虑等温过程dT=0,故du=9dr,所以， (4)由第-山方程式d-乡r+() dy,所以，范德瓦尔气体经历等温过程 山=及d,积分低-，=Rn3b v-b -6 6-14利用通用焓图求甲烷(CH4)由65MP0C定压冷却到6℃时放出的热量。 已知甲校在理塑气体软态下的摩尔定压热容为仁）。=189+05。： 提示和答案：查教材表6-1，p,=4.64MPa、T=191.1K,计算得p,=P2=140、 T,=180、不，=140。分别查通用烩图，有日H=0.39,HH山=0.80，即 RT RT 得Hn2-Hn1=RT H。-H⊥_(H。-Hn2 +Cd7=-3363.4Jmol. 6-158MPa、150K的氮节流到0.5MPa后流经一短管，测得温度为125K,利用通用 55

第六章 实际气体的性质和热力学一般关系 55 （3）定温过程焓差为 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 ( )T h h p v p v a v v            ； （4）定温过程熵差为 2 2 1 g 1 ( ) ln T v b s s R v b     提示：（ 1 ） 由 范 氏 方 程 g 2 R T a p v b v    求 导 并 整 理 可 得 g v p R T v b           ， g g 2 2 v p a a R T R T T p T v b v b v v                      ，代入 第 一 du 关 系 式 d d d V v p u c T T p v T                  ，即得 2 d d d V a u c T v v   ；代入 p V p v v p c c T T T                   并 利用循环关系式转化 p v T         得 g g 2 3 2 ( ) p R v v b T R T a v b v               ，解得 g 2 3 g 2 ( ) 1 p V R c c a v b R Tv     ；(3) 由 （ 1 ） 已 得 2 d d d V a u c T v v   考 虑 等 温 过 程 d 0 T  ， 故 2 d d a u v v  ， 所以， 2 1 1 2 1 1 ( )T u u a v v          ， 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 ( ) ( ) T T h h u u p v p v a p v p v v v                ； （4）由第一 ds 方程式 d d d V v c p s T v T T           ，所以，范德瓦尔气体经历等温过程 g d d R s v v b   ，积分 2 2 1 g 1 ( ) ln T v b s s R v b     。 6-14 利用通用焓图求甲烷（CH4）由 6.5 MPa 70 C 、 定压冷却到   6 C 时放出的热量。 已知甲烷在理想气体状态下的摩尔定压热容为    K J/(mol K) * m 18.9 0.055 C T p    。 提示和答案：查教材表 6-1， cr cr p T   4.64 MPa 191.1 K 、 ，计算得 r1 r 2 p p  1.40 、 r1 T  1.80、 r2 T 1.40。分别查通用焓图，有 * m m 1 cr ( ) 0.39 H H RT   ， * m m 2 cr ( ) 0.80 H H RT   ，即 得 * * 2 m m 1 m m 2 * m,2 m1 cr ,m 1 cr cr ( ) ( ) d p H H H H H H RT C T RT RT               3363.4 J/mol。 6-15 8 MPa、15 0K 的氮节流到 0.5 MPa 后流经一短管，测得温度为 125 K，利用通用