三、力在有限路径上的功 方法:用积分描述受力质点在有限路径上的功。 讨论:力F自而沿曲线至做的功: r “细分”:位移看作由许多元位移△r(i=1,2,m)组成 力的元功:△;A=F…△;F 0 “做和:总功:A≈∑△A=∑F△F i=1 求极限”:元位移的数目n无限增多,而>0,则上式和的极 限给出功的精确值。 n A=lim∑F1△ △:F n→>00 和热
11 三、力在有限路径上的功 方法：用积分描述受力质点在有限路径上的功。 讨论：力 F 自 沿曲线至 做的功： 0 r 1 r “细分”：位移看作由许多元位移 i r(i , , n) 组成， =1 2 力的元功： A F r i i i ˆ = “做和”：总功： = = = n i i i n i i A A F r 1 1 ˆ “求极限”：元位移的数目n无限增多，而 ，则上式和的极 限给出功的精确值。 i r → 0 = → → = n i i i n r A F r i 1 0 ˆ lim
A=lim>F△,F △;F→0 n→0 该和式的极限称作力F沿曲线自r至的线积分,记作: A F·dh 8) 上式表明:变力的功等于元功之和。 注:(8)式的线积分除与力F有关外,还与积分路径有关。例: 和热
12 = → → = n i i i n r A F r i 1 0 ˆ lim 该和式的极限称作力 F 沿曲线自 至 的线积分，记作： 0 r 1 r = 1 0 r r A F dr （8） 上式表明：变力的功等于元功之和。 注：(8)式的线积分除与力 F 有关外，还与积分路径有关。例：
在直角坐标系中: dA= F dr= F dx+ Fdy (x1,y1) r(x1,y1) d4= (F dc+F, dy) xo,yo) 在自然坐标系中: da=fds. A= dA f ds 在平面极坐标系中: ( b, 6b) d=f dr+ Fd0, A=dA F dr+ Fede) ra, Ba F(r,6),F(r,6),6=6(r), r(6) 和热 13
13 在直角坐标系中： = = + = = + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) 1 1 0 0 1 1 0 0 x y x y x y x y x y x y A dA F dx F dy dA F dr F dx F dy 在自然坐标系中： = = = B A s s s dA F ds A dA F ds , 在平面极坐标系中： ( , ), ( , ), ( ), ( ) , ( ) ( , ) ( , ) F r F r r r r dA F dr F d A dA F dr F d r r r r r b b a a = = = + = = +
例题 如图,一轻细线系一小 球,小球在光滑水平桌面上 沿螺旋线运动,绳穿过桌中 心光滑圆孔,用力F向下拉 绳。证明力F对线作的功等 于线作用于小球的拉力所作 的功,线不可伸长。 和热 14
14 如图，一轻细线系一小 球，小球在光滑水平桌面上 沿螺旋线运动，绳穿过桌中 心光滑圆孔，用力F向下拉 绳。证明力F对线作的功等 于线作用于小球的拉力所作 的功，线不可伸长。 例题
证明:设了为绳作用在小球上的拉力 d 力T对小球所作的功为: T ardrey 皇 r·dr dri 将dr沿方向和垂直于r方向分解为二个分量,分别用 (d)1和(d),袤示,如(1)图所示,则 T·d=T.((ar):十{dr))=T.(4r),+T.(dr) (ar)atdr ∴4=」J T·dr 又∵绳子不可伸长;圆孔光缯 F= dr=di dl是力F的受力点的位移 T·dy=1E·dz 而力F对线所作的功为A=F.ar=「Pd A=4 15
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