§4.3质点和质点系动能定理 、质点的动能定狸 F=m如→F.=mh,b=m dt dt dA md(v=d=my 令:-m=E 动能 则有:dA=lEk 1)式表明:合外力所做的元功等于动能的微分 和热
16 §4.3 质点和质点系动能定理 一、质点的动能定理 dr mv v dt dv F dr m dt dv F m 合 = 合 = = ( ) ( ) = = = 2 2 2 1 2 1 2 1 dA md v v md v d mv 令： mv = Ek 2 2 1 动能 （1） 则有： dA = dEk (1)式表明：合外力所做的元功等于动能的微分
例:在自然坐标系中, F=mn+ dt F,在=m("分+出1=m出=m如 p dt dt dt y dE k 即:质点动能的微分等于作用于质点的合力所做的元功。 质点的动能定理的积分形式 4号m0) m=E+E kO (2) (2)式表明:质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功,对应于非无限小的过程。 注:功描述的是:力对空间积累的效果,是一过程量;而动能与质点运动的速 度有关,是一状态量
17 例：在自然坐标系中， = + ˆ ˆ dt dv n v F m 2 k mv dv d mv d mv dE v dt dt dv ds m dt dv ds m dt dv n v F dr m = = = = = = = + 2 2 2 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ 即：质点动能的微分等于作用于质点的合力所做的元功。 质点的动能定理的积分形式： (2)式表明：质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功, 对应于非无限小的过程。 0 2 0 2 2 2 1 2 1 2 1 0 0 k k v v s s dA d mv mv − mv = E + E = （2） 注：功描述的是：力对空间积累的效果，是一过程量；而动能与质点运动的速 度有关，是一状态量
、质点条内力的功 如图示:两质点沿虚线轨迹运动,相对于爹考A2 F21 d 点O的位置矢量各为r和F2,F,表示质点1对2的作 dr 用力,F2表示质点对的作用力,F21=F2这对0 2 作用力元功之和为: dA=F21:t+F122=F12(l2-) dr 令:产=F-F,是质点2相对于质点1的位矢,则: dr dr= dr-dr 0 设:的单位矢量是n,则: d 1240 F 1210 dr=Fodr+ rdo (3) →d=F120·(nt+rl0)=F12tr+F2r·=F12tr 即:二质点间相互作用力所做的元功的代数和等于作用于其中一质点的力与该质点相对于 另一质点元位移的标积 也即:二质点间作用力和反作用力所做功的代数和决定于力和质点间相对距离的改变
18 二、质点系内力的功 如图示：两质点沿虚线轨迹运动，相对于参考 点O的位置矢量各为 和 ， 表示质点1对2的作 用力， 表示质点2对1的作用力， ，这对 作用力元功之和为： 1 r 2 r F12 F21 F21 F12 = 令： r r2 r1 ，是质点2相对于质点1的位矢，则： = − 2 1 dr dr dr = − 设： r 的单位矢量是 ，则： 0 r ˆ 即：二质点间相互作用力所做的元功的代数和等于作用于其中一质点的力与该质点相对于 另一质点元位移的标积。 也即：二质点间作用力和反作用力所做功的代数和决定于力和质点间相对距离的改变。 ( ) 21 1 12 2 12 2 1 dA F dr F dr F dr dr = + = − dA F r r dr rdr F dr F rr dr F dr dr r dr rdr r rr F F r F F r 1 2 0 0 0 1 2 1 2 0 0 1 2 0 0 0 1 2 1 2 0 2 1 1 2 0 = + = + = = + = = = − ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ , ˆ （3）
、质点糸的动能定理 设:质点系有几个质点,作用于各质点合力的功等于A,A2,…A1,…A4, 各质点的初始动能和末动能分别是: Ek10,E20,…E60,…E6m和Ek1,Ek2,…Eh,…Ehn 由质点的动能定理得: A=E ki E kio (i=1,2…) 对于一切质点取和: ∑4=∑E-∑E60 (4) ∑A=∑Ek-∑ kO 和热 19
19 三、 质点系的动能定理 设：质点系有几个质点，作用于各质点合力的功等于 各质点的初始动能和末动能分别是： , , , , A A Ai An 1 2 Ek10 Ek 20 Eki0 Ekn0 , , , 和 Ek Ek Eki Ekn , , , 1 2 由质点的动能定理得： ( 1,2) Ai = Eki − Eki0 i = 对于一切质点取和： = − = − 0 0 k k i ki i ki i i A E E A E E （4）