第二章有理数及其运算 有理数 Q基础·自生梳理 1.为了表示具有相反意义的量，我们 (2)有理数的分类： 可把其中一个量规定为正的，用正数来表 〔正整数：如1,2,3，… 示，而把与这个量意义相反的量规定为负的， 整数零 用负数来表示. 有 负整数：如一1，一2，一3，… 2.(1)整数与分数统称为有理数， 正分基：如吗号17… 分数 直分表如子 2-075,-3号， … 核心·重难探究 知识点一 用正、负数表示具有相反意 【名师点津】 义的量 正数和负数可以用来表示日常生活中具有 【例1】(1)若一个乒乓球超出标准质量 相反意义的量，零是正数与负数的分界，是“基 5mg记作+5mg,则恰好为标准质量应记作 准”，具有“初始位置”的含义，注意0的意义不仅 0mg,低于标准质量3mg应记作-3mg; 仅是表示没有.在用正数和负数表示具有相反意 (2)某中学举行了一次知识竞赛，规定答 义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，我 对一道题加10分，记+10分，不答记0分，答 们习惯上把“前进、上升、收入”等规定为正，而把 错一道题扣10分，则一10分表示答错一 “后退、下降、支出”等规定为负。 道题 思路点拨我们常用怎样的数来表示具 知识点二有理数的概念与分类 有相反意义的量？它们的分界又是什么？ 【例2】把下列各数填入相应的集合内： 听课笔记： -2.5,10,0.5,0,-1 12 ,-20,+9.78, 十68,0.2，+号元 正数集合：〈 …》 14
第二章有理数及其运算、 整数集合：{ 【名师点津】 负分数集合：{ …》 1.解这类问题的关键在于两点：一是明 正有理数集合：{ …} 确各类数的含义与分类；二是按一定顺序认 思路点拨(1)根据各类数的概念与分类 真查找，做到不重不漏.另外，正数与整数是 标准正确识别各类数的归属. 两个不同的概念，分数与小数并不等同，注意 (2)圆周率π是一个无限不循环小数，它 不要混淆. 能化成分数吗？它大于0吗？ 2.有理数只包括整数和分数，同时结 解正数有：10,0.5，+9.78，+68,022+号，m 合小学对数的认识，可知分数包括有限小 数与无限循环小数，因为无限不循环小数 整数有：10,0，-20，+68； 不能化为分数，所以不是有理数，如圆周率 负分数害25-号 π就不是有理数.特别注意的是，不要误认 正有理数才：10,05，+9.78+68,0.22，+马. 为是分数。 新知·训练现固 1.若海平面以上1045米，记作+1045米，则 3.既是分数又是正有理数的是(D). 海平面以下155米，记作(B). A.+2 B-是 C.0 D.2.015 A.-1200米 B.-155米 C.155米 D.1200米 4.某运动员参加了7次百米竞赛，以10.8s 为基准成绩，比基准成绩高记为正数，比基 2.在，-1,0,2这四个数中，属于负数的 准成绩低记为负数，这7次的成绩简记为 是(B). +0.1,-0.3,+0.5,-0.1,+0.3,-0.2, A B.-1 C.0 D.2 十0.2，则这7次的成绩表示高于基准成绩 的次数是4。 素能·演练提升 1.如果收入100元记作+100元，那么支出 C.一21既是负数，也是整数 100元记作(A). D.一π既是负数，也是有理数 A.-100元 B.+100元 3.大米包装袋上(10士0.1)kg的标识表示此 C.-200元 D.+200元 袋大米重(A). 2.下列说法错误的是(D). A.9.910.1kg B.10.1kg A.一3.14既是负分数，也是有理数 C.9.9 kg D.10 kg B.0是有理数 15
儿家庭作业·数学·七年级·上册·配北师大版 4.下列有关“0”的说法：①0既不是正数，也不 (1)成绩为“0”表示什么意义？ 是负数；②0是最小的整数；③0是非负数； (2)这8名男生中有百分之几达到标准？ ④0是最小的自然数，其中不正确的是 (3)这8名男生一共做了多少个引体向上？ ②.（填序号） 解(1)表示引体向上的个数为标准数7八个) 5.实验中学对初一男生进行了引体向上的测 (2)5÷8×100%=62.5%. 试，以能做7个为标准，超过的用正数表 (3)9+6+7+10+5+4+8+7= 示，不足的用负数表示.其中8名男生的成 56(个). 绩如下：2，-1,0,3，-2，-3,1,0. 2 数轴 基础·自主梳理 1.画一条水平直线，在直线上取一点表 向，用箭头表示)；四统一（单位长度应统 示0（叫做原点），选取某一长度作为单位 一)；五标数（在对应的点处标出对应 长度，规定直线上向右的方向为正方向， 的数) 就得到一条数轴， 2.任何一个有理数都可以用数轴上的一 名师指导 个点来表示 1.数轴的定义包含三层含义：(1)数轴 3.(1)数轴上两个点表示的数，右边的总 是一条直线，可以向两端无限延伸；(2)数 比左边的大· 轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者 (2)正数大于0，负数小于0，正数大 缺一不可；(3)原点位置的选定，单位长度 于负数. 的确定，正方向的取向，都是根据实际需要 名师指导 “规定”的.同一数轴的单位长度要一致 利用数轴比较两个有理数的大小是 2.画数轴的一般步骤可简记为：一画 基本的方式，也是数形结合思想的重要 (画直线)；二定（定原点）；三选（选取正方 体现 核心·重难探究 知识点一用数轴上的点表示有理数 与2月14号 A B C 【例1】如图所示： (1)数轴上的点A,B,C,D分别表示什么数？ 16
第二章有理数及其运算、 (2)在上面的数轴上表示下列各数：1.5， 点)，今后学习中随着数的扩充，我们还要进 2,-5,3. 步研究. 思路点拨根据给出的数轴，找准标注的 知识点二用数轴比较有理数的大小 各点所表示的数，同时要能在数轴上找到指 【例2】在数轴上把下列各数表示出来， 明的数的相应点并加以表示，注意，要表示的 并比较它们的大小： 数一般写在数轴的上面便于区别 -4,-21,-23.52 20 解(1)点A表示-2.5，点B表示-1，点C 思路点拨数轴上面的点在数轴上从左至右 表示0，点D表示5. 是如何排列的？由此可以如何比较它们的大小？ (2)如图所示. 解如图所示： -4 -2-之01253.5 43士0234 【名师点津】 -4K-2-2<01K2235, 1.引入数轴以后，用数轴上的点表示有理 【方法归纳】 数是数形结合思想的重要体现，可以借助图形直 观地说明很多与有理数相关的问题，应用广泛. 利用数轴比较有理数大小的步骤 2.任何一个有理数都可以用数轴上的一 (1)画数轴：画出数轴： 个点来表示.但是，数轴上的点表示的数不完 (2)表示点：在数轴上标出相应各点，确 全是有理数，如圆周率π也可以在数轴上找 定各点在数轴上的左右顺序； 到相应的点表示（把直径为1个单位长度的 (3)定大小：根据“数轴上两个点表示的 圆从原点开始向右滚动一周所到位置处的 数，右边的总比左边的大”确定大小关系， 新知·训练巩固 1.下列数轴画得正确的是(C). 2.下列四个数中，最小的数是(A). -2-1012一 -101 A B A.-1 B.0 c D.3 2012一2012 3.比较大小：一2.3>一3.2.（填“>”“=” 或“<”) 素能·演练提升 1.如图，数轴上一动点A向左移动2个单位 长度到达点B,再向右移动5个单位长度到 达点C.若点C表示的数为1，则点A表示 的数为(B). 17
1家庭作业·数学·七年级·上册·配北师大版 A.-3B.-2 C.3 D.7 3,则点B表示的数为一1 2.数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的 5.点A为数轴上表示-2的点，将点A沿数 单位长度为1厘米，若在这个数轴上任意 轴移动4个单位长度到点B,点B所表示 画一条100厘米长的线段AB,则线段AB 的数为2或-6 所覆盖的整点个数为(B), 6.有几滴墨水滴在数轴上，根据图中标出的 A.101或102 B.100或101 数值，写出墨迹盖住的整数， C.99或100 D.98或99 0g 3.比较大小：-2<0；18>-5： 号>（填>-或< 分析从题图中可见墨迹盖住两段，一段是 在-8~-3之间，另一段在49之间. 4.如图，A,B两点在数轴BA 解-8~-3之间的整数有-4，-5，-6， 上，点A表示的数为2.若线段AB的长为 -7;4~9之间的整数有5,6,7,8. 3 绝对值 基础·自主梳理 1.如果两个数只有符号不同，那么称 2.(1)在数轴上，一个数所对应的点与原 其中一个数为另一个数的相反数，也称这两 点的距离叫做这个数的绝对值.α的绝对值 个数互为相反数.特别地，0的相反数是0 记作a. 名师指导 (2)正数的绝对值是它本身；负数的绝 相反数是成对出现的，是相互的.例 对值是它的相反数：0的绝对值是0。 如不能说一3是相反数，只能说一3是3的 3.两个负数比较大小，稳对值大的反 相反数，或者说一3与3互为相反数.任何 而小. 一个数都只有一个相反数. 核心·重难探究 知识点一相反数的概念与求法 【例1】如图，数轴上有A,B,C,D四个 A.点A与点D B.点A与点C 点，其中表示互为相反数的点是(A). C.点B与点D D.点B与点C 18