高阶系统 对于高于二阶系统不能或很难用相轨迹法 来描述系统的稳定性若一个系统可以描述为 X=f(, t) (1) 其中X为n维状态向量t是观测的时间Φ(t,X0,tb) 表示初始条件为=t0,X=X0时方程的解即 (tX0,t)=X(t0)=X0 A∠AAA 平衡状态:所有时间皆能满足下列关系 f(X2,t)=0 (2) 时,则称X为系统的平衡状态。 平衡点:凡满足(2)式的一切Y值都系统的平衡点
f( , ) 0 (2) : t (t, X ,t ) (t ) t t ,X . X n ,t . (t, X ,t ) ( , ) (1) . : . 0 0 0 0 0 0 0 0 = = = = = = X t X X X X f X t e 平衡状态 所有时间 皆能满足下列关系 表示初始条件为 时方程的解 即 其 中 为 维状态向量 是观测的时间 来描述系统的稳定性若一个系统可以描述为 对于高于二阶系统不可能或很难用相轨迹法 二 高阶系统 平衡点 凡满足 式的一切 值都系统的平衡点。 时 则 称 为系统的平衡状态。 X Xe : (2) , 二、高阶系统
由上式可以看出平衡点只能从2)式得来不能从1)式 的一般解中求出。对线定常系统 X=f(,,t=AX 当A为非奇异时只有X=0一个解满足(2)式的关系。 因此,系统只有一个平衡状态当A为奇异时(2)式有 无穷多解系统有无穷多个平衡港.但对于非线 性系统可能有一个或者多个增状态 前面已经谈到任何彼邮呱立的平衡点可以通 过坐标的转换将其移锉标原点因此(2)式可以 写成: f(0,t)=0 63) (3)式即为常用的连续系统的平衡状态表达式
当 为非奇异时只 有 一个解满足 式的关系。 的一般解中求出。对线性定常系统 由上式可以看出平衡点只能从 式得来 不能从 式 A , X 0 (2) X f(X,t) AX , (2) , (1) = = = (3) . f(0,t) 0 (3) : , ,(2) , . , . , ; A (2) 式即为常用的连续系统的平衡状态表达式 写 成 过坐标的转换将其移至坐标原点因 此 式可以 前面已经谈到任何彼此孤立的平衡点可以通 性系统 可能有一个或者多个平衡状态 无穷多解 系统有无穷多个平衡状态 但对于非线 因 此 系统只有一个平衡状态当 为奇异时 式 有 =
$3李雅普诺夫意义下的稳定 当李雅普诺夫谈到其稳理论时,对于稳 定性的含义有其自己的解释,不象lm△x()≤E 所示的那么简单,而且其概念来说,与调节 原理中所讲的也有所祠 ,李雅普诺夫意义稳定性的含义 当 f(XY2,t)=0时 则X被称为系统的平衡状态
$3 李雅普诺夫意义下的稳定 则 被称为系统的平衡状态。 当 时 一，李雅普诺夫意义下的稳定性的含义 原理中所讲的也有所不同 。 所示的那么简单，而且就其概念来说，与调节 定性的含义有其自己的解释，不象 当李雅普诺夫谈到其稳定理论时，对于稳 Xe f( , ) 0 lim ( ) = → X t x t e t
应用范数表示以平衡X为圆心半径 为R的球域时可写成X-X。≤R其中X-X 被称为欧几里德范数。它等于: X-x.|=√V(x1-xa)2+(x2-xa2)2+…+(Xn-Xm 它代表矢量的长度 当X。=0,n=2时 x-x。|=√x+x2=c表示一个圆状态平面 当X。=0,n=3时 X=x2+x2+x3=c表示一个球状态空间
当Xe = 0,n = 3时 表示一个圆状态平面 当 时 它代表矢量的长度 被称为欧几里德范数。它等于： 为 的球域时 可写成 其 中 应用范数表示以平衡状态 为圆心 半 径 X , X 0, 2 X ( X ) ( X ) ( X ) , X X X , 2 2 2 e 1 e 2 en 2 2 e2 2 e 1 e1 e e e X x x c n X x X X R X R X n − = + = = = − = − + − + + − − − X = x1 2 + x2 2 + x3 2 = c表示一个球,状态空间
设对应于系统的初始条件可以画出一个球域 S(δ)它的范数为 X-x.|≤8 S(E)是含有方程X=f(x,解Φ(,xa,t0) 的所有各点的球域其范数为: (,x0,t)-X。|≤ (t≥to) 其中E,δ为给定的常数
, . (t, x ,t ) - X (t t ) , ( ) ( , ) (t, x ,t ) X - X ( ) : 0 0 e 0 0 0 e 其 中 为给定的常数 的所有各点的球域其范数为： 是含有方程 的 解 它的范数为 设对应于系统的初始条件可以画出一个球域 = S X f x t S