例如由(2,(3)式所描述的系统可以 在平衡点附近作出其枢应轨迹便能形象 地表示出该类奇点周围的稳定性情况。 将(2),(3式在坐标原点附近展级数,即: AAAAAAAAAAAA X dt a1x+bx,+auX1+a12X,x2+a22x2+ aX =a2x1+b2x2+b1x2+b,1x1x2+b2x2+… dt
地表示出该类奇点周围的稳定性情况。 在平衡点附近作出其相应轨迹 便能形象 例 如由 式所描述的系统可 以 , , (2),(3) , = + + + + + = + + + + + 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 dt dx a x b x a x a x x a x dt dx (2),(3) , : a x b x b x b x x b x 将 式在坐标原点附近展开为级数 即
忽略高次项有: a1x1+b1x2(4) dt 2=a1x1+b1x2(5) dt 即 x1「a1b1TX1 a b,‖ 2 2 2 2 或写成:X=AX
: X AX X X a b a b X X : (5) dt dx (4) dt dx , : 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 = = = + = + 或写成 即 忽略高次项有 a x b x a x b x
考察奇点特性时可将(4)25式中的变 量消去一个后再对剩下的变量进行分析。 对此,对(4)和(5)式取拉氏变换: sx1(S)-X1(0)=a1X1(S)+b1x2(S) Sx2(S)-X2(0)=a2X1(s)+b2X2(S) AAAAAAAAAAAAAAAAA 上式中初始状态已知因此变量x1(s)的解主 要决定于其特征方程r根的分布情况: x1(S)= (S-b2)x1(0)+b1x2(0) s2-(a1+b2)s+(a1b2-a2b1)
( ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) : , , , x ( ) s x (s) x (0) a x (s) b x (s) s x (s) x (0) a x (s) b x (s) , (4) (5) : , , (4),(5) 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 s a b s a b a b s b x b x x s s − + + − − + = − = + − = + 要决定于其特征方程式的根的分布情况 上式中 初始状态已知因 此 变 量 的解主 对 此 对 和 式取拉氏变换 量消去一个后再对剩下的变量进行分析 。 考察奇点特性时可 将 式中的变
令 a=-(a1+b2) b=a,b2-a2b 则 x1(s)的特征多项式为 22+a+b=0 设 a,b皆为常数且b≠0 -a±√a2-4b 见, 1,2 2 则根41,2在复平面上的位置就凝了奇点的特性 众所周知二阶系统的奇点共有种情况: (1)41,2为共轭复数位于左半平面上稳定焦点 (2)41,12.共轭复数位于右半平面上不稳定焦点
为共轭复数 位于右半平面上不稳定焦点 为共轭复数 位于左半平面上稳定焦点 众所周知二阶系统的奇点共有六种情况 则 根 在复平面上的位置就决定了奇点的特性 设 皆为常数 且 则 的特征多项式为 (2) , , , (1) , , , . , : , . 2 4 a,b , b 0 0 x ( ) : 1 2 1 2 1 2 2 1,2 2 1 a a b a b s − − = + + = 1 2 2 1 1 2 b a b - a b a -(a b ) = 令 = +
(3)41,2为实数位于左半平面上稳定节点 (4)A1,2为实数位于右半平面上不稳定节点 (5)41,42为共轭复数位于轴上,中心节点 (6)41,42为实数位于h轴的左边鞍点
(6) , , , . (5) , , , . (4) , , , . (3) , , , . 1 2 1 2 1 2 1 2 为实数 位 于 轴的左边 鞍 点 为共轭复数 位 于 轴 上 中心节点 为实数 位于右半平面上不稳定节点 为实数 位于左半平面上稳定节点 jw jw