1188-3边值关系与唯一性定理在求解包含不同磁介质的体系时，需要知道磁介质界面上磁场的边值关系。8.3.1磁感应强度B(8-3-1)n-(B,-B)=0,即B的法向分量连续（证明见附件3-1）。磁化强度矢量M8.3.2(8-3-2)i=nx(M,-M)（证明见附件3-2）。磁场强度H8.3.3类似于M边值关系的推导，由安培环路定理可得(8-3-3)i,=nx(H-H,)。除了理想导体和超导体外，通常io-0，所以(8-3-4)nx(H-H)=0
11 8-3 边值关系与唯一性定理 在求解包含不同磁介质的体系时 需要知道磁介质界面上磁场的边值关系 8.3.1 磁感应强度 Ｂ ( ) 0 ″ Ｂ2 ˉ Ｂ1 = 8-3-1 即 Ｂ 的法向分量连续 证明见附件 3-1 8.3.2 磁化强度矢量 镤 ( ) ″ 镤2 镤1 ｉc = u ˉ 8-3-2 证明见附件 3-2 8.3.3 磁场强度 Ｈ 类似于 镤 边值关系的推导 由安培环路定理可得 ( ) 0 ″ Ｈ1 Ｈ2 ｉ = u ˉ 8-3-3 除了理想导体和超导体外 通常 ｉ 0=0 所以 ″ u (Ｈ1ˉＨ2 ) = 0 8-3-4
12即H的切向分量连续。（注意：H的切向分量有两个分量，边值关系要求各分量在边界上都要相等，也即H的切向分量不但大小相同，方向也相同。8.3.4静磁场的唯一性定理阐述1，表述：当磁场中有磁介质时，事先难以确知磁化电流分布，因而不便直接由毕-萨-拉定律计算磁场。唯一性定理保证，由高斯定理、安培环路定理及B~H关系，加上必要的附加条件，就可以唯一确定静磁场。该定理能确保猜解的正确性。（详见本节后续内容及$8-7。）2．简单情形下的附加条件：（I）设磁场空间为一封闭曲面S包围。若S有限，则给定Bsn，且满足BsrdS=0；若S无限，则要求Bs趋于0。(2）磁介质各向同性，μ已知，但可以出现非均匀性和界面。(3）导体中的传导电流分布确知。3.证明：若解不唯一，不妨设为BI、H和B2、H2。令B=Bi-B2，H=H-H2，则B和H对应传导电流为0，而S面上Bsn=0或Bs-0。对有限S，由于B和H线不可能起、正于，而只能在S内闭合，所以S内必有传导电流，与标下划线一句矛盾。对S无限情形，B和H也不可能在S内闭合，因而必起、止于无穷远，则仍有S内传导电流非O的矛盾结果。可见，必须B=0，H=0，也即B=B2，H=H2。8.3.5分区均匀各向同性介质中的静磁场1.介质界面与磁感应线重合由唯一性定理可证
12 即 Ｈ 的切向分量连续 注意 Ｈ 的切向分量有两个分量 边值关系要求各分量在边界上都要相等 也即 Ｈ 的切向分 量不但大小相同 方向也相同 8.3.4 静磁场的唯一性定理阐述 1 表述 当磁场中有磁介质时 事先难以确知磁化电流分布 因而不便直接由毕-萨-拉定律计算磁场 唯一性定理保证 由高斯定理 安培环路定理及 Ｂ~Ｈ 关系 加上必要的附加条件 就可以唯一确定静磁场 该定理能确保猜解的正确性 详见本节后续内容及§8-7 2 简单情形下的附加条件 (1) 设磁场空间为一封闭曲面 s 包围 若 s 有限 则给定 Ｂs″ 且满足³³ = s s″ Ｂ ｄs 0 若 s 无限 则要求 Ｂs 趋于 0 (2) 磁介质各向同性 P已知 但可以出现非均匀性和界面 (3) 导体中的传导电流分布确知 3 证明 若解不唯一 不妨设为 Ｂ1 Ｈ1 和 Ｂ2 Ｈ2 令 Ｂ = Ｂ1–Ｂ2 Ｈ = Ｈ1–Ｈ2 则 Ｂ 和 Ｈ 对应传导电流为 0 而 s 面上 Ｂs″=0 或 Ｂs=0 对有限 s 由于 Ｂ 和 Ｈ 线不可能起 止于 而只能在 s 内闭合 所以 s 内必有传导电流 与标下划线 一句矛盾 对 s 无限情形 Ｂ 和 Ｈ 也不可能在 s 内闭合 因而必起 止于无穷远 则仍有 s 内传导电流非 0 的矛盾结 果 可见 必须 Ｂ = 0 Ｈ=0 也即 Ｂ1=Ｂ2 Ｈ1=Ｈ2 8.3.5 分区均匀各向同性介质中的静磁场 1. 介质界面与磁感应线重合 由唯一性定理可证
13H=Bo/μo,(8-3-5)其中Bo是去掉介质时传导电流在真空中产生的磁感应强度（证明见附件3-3）。当传导电流对称分布时，由B。dl=μoZI。可直接计算Bo，而各介质中的磁场(8-3-6)B=μoH=μ,Boo2.介质界面与磁感应线垂直与B线处处正交的曲面称“等磁势面”，以其为分界，填入不同的均匀各向同性介质。由唯一性定理，只要在填入的过程中总电流分布形式不变，B线的几何位形必也保持不变，即B=αBo，其中Bo是无介质时的磁感应强度（证明见附件3-4)。求解步骤：由B.dl=Eloαz(8-3-7)μ,o定出α，从而得到B。特别地，对一维对称情形，可直接由B-dl=μoZlo(8-3-8)得到B，而B。(8-3-9)H.μ,Ho
13 Ｈ=Ｂ0/P0 8-3-5 其中 Ｂ0 是去掉介质时传导电流在真空中产生的磁感应强度 证明见附件 3-3 当传导电流对称分布时 由³ 0 = 0 ¦ 0 Ｂ ｄ＇ P ＇ 可直接计算 Ｂ0 而各介质中的磁场 Ｂi=PP0Ｈ = PiＢ0 8-3-6 2. 介质界面与磁感应线垂直 与 Ｂ 线处处正交的曲面称 等磁势面 以其为分界 填入不同的均匀各向同性介质 由唯一性定理 只要在填入的过 程中总电流分布形式不变 Ｂ 线的几何位形必也保持不变 即 Ｂ=DＢ0 其中 Ｂ0 是无介质时的磁感应强度 证明见附件 3-4 求解步骤 由 0 0 0 ｄ ＇ Ｌi i i ¦ = ¦ ³ ＇ ＢP P D 8-3-7 定出D 从而得到 Ｂ 特别地 对一维对称情形 可直接由 0 0 ｄ ＇ Ｌ i = ¦ ³ P P ＇ Ｂ 8-3-8 得到 Ｂ 而 Ｈ Ｂ 0 1 P iP i = 8-3-9
14.8.3.6例子例8-3-1一圆环状磁介质与一无穷长直导线共轴（图8-3-1）。设磁介质磁导率为μ，直导线电流强度为1，求介质内外空间的磁感应强度的分布和介质表面的磁化面电流。的情形。撤去磁介质时的磁场B。=[解]本题属于介质界面与磁感应线重合2元图8-3-1直线电流和磁介质圆环B =4ol由式（8-3-6）求得介质内外空间B,=42元2元由式（8-3-2），结合式（8-2-3）和（8-3-4），求得界面磁化电流(B, - B,)= (μ-1)Ii'=M,-M.2元Ho例8-3-2在一同轴电缆（内、外导体半径分别为r1、r2）中填满磁导率为和u2的两种磁介质，各占一半空间，且介质平面为通过电缆轴的平面（图8-3-2）。设通过电缆的电流强度为1，求介质中的磁场分布和介质一导体毗连面上的电流分布。2直的情况。[解]本题属于介质界面与磁感应线垂图8-3-2.同轴电缆中的分区均匀介质
14 8.3.6 例子 例 8-3-1 一圆环状磁介质与一无穷长直导 线共轴 图 8-3-1 设磁介质磁导率为P 直导线电流强度为 ＇ 求介质内外空间的 磁感应强度的分布和介质表面的磁化面 电流 [解] 本题属于介质界面与磁感应线重合 的情形 撤去磁介质时的磁场 ｒ ＇ Ｂ S P 2 0 0 = 由式 8-3-6 求得介质内外空间 ｒ ＇ Ｂ ｒ ＇ Ｂi ｅ S P S PP 2 , 2 0 0 = = 由式 8-3-2 结合式 8-2-3 和 8-3-4 求得界面磁化电流 ｒ ＇ i 轩i 轩 ｅ Ｂi Ｂｅ S P P 2 ( 1) ( ) 1 0 c = = = 例 8-3-2 在一同轴电缆 内 外导体半 径分别为 ｒ1 ｒ2 中填满磁导率为P1 和P2 的两种磁介质 各占一半空间 且介 质平面为通过电缆轴的平面 图 8-3-2 设通过电缆的电流强度为 ＇ 求介质中 的磁场分布和介质-导体毗连面上的电 流分布 [解] 本题属于介质界面与磁感应线垂 直的情况
15BB取半径为r（ri<r<r2）的圆形回路，由一维对称性，r=u.I,Ai112BH,1A,1HoH,,I..B=-..H,H,π(μ, +μ)rπ(μ,+μ)r元(μ,+μ)rAoB (u, -1)I(μ, -1)HM,M,-(μ, +μ)r(μ,+μ)rHo在r<r和r>r2区域，B=H=M=0。μ,(μ, -1)IM.J介质1处，元(u+μ)在处，=μ,(μ2 1)IM.l.介质2处元(μ, +μ)riμ (μ, -1)I介质1处M.元(μ,+μ)r在处，μ,(μ, -1)I介质2处。Mal(μ+μ)r2可见，尽管传导面电流和磁化面电流分布不均，但二者之和仍各向同性，也即与撤去磁介质情形有相同的磁感应强度分布形式。B2*附件3-1证明B的边值关系S如图8-3-3，设二介质界面为S，在S上取4S，n为由介质1指向2的法向单位失量。以4S为截面作一柱形高斯面，其两底分别位于二介质中，柱高趋于0。由高斯定理图8-3-3B的法向分量连续
15 取半径为 ｒ ｒ1<ｒ<ｒ2 的圆形回路 由一维对称性 ｒ ＇ Ｂ ｒ Ｂ 0 1 2 S P P S P = ｒ ＇ 轩 ｒ ＇ Ｈ Ｂ 轩 ｒ ＇ Ｈ ｒ Ｂ ＇ Ｈ ｒ ＇ Ｂ ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 1 2 0 1 1 1 0 1 2 S P P P P S P P P P P S P P P S P P P S P P P P P P P = = = = ? = = ? = 在 ｒ<ｒ1 和 ｒ>ｒ2 区域 Ｂ=Ｈ=轩=0 在 ｒ=ｒ1 处 ｜｜¯ ｜｜® = = c = = = 2 , ( ) ( 1) 1 , ( ) ( 1) 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 介质 处 介质 处 ｒ ＇ 轩 ｒ ＇ 轩 i ｒ ｒ ｒ ｒ S P P P P S P P P P 在 ｒ=ｒ2 处 ｜｜¯ ｜｜® = = c = = = 介质 处 介质 处 2 ( ) ( 1) 1 , ( ) ( 1) 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 ｒ ＇ 轩 ｒ ＇ 轩 i ｒ ｒ ｒ ｒ S P P P P S P P P P 可见 尽管传导面电流和磁化面电流 分布不均 但二者之和仍各向同性 也即与撤 去磁介质情形有相同的磁感应强度分布形式 *附件 3-1 证明 Ｂ 的边值关系 如图 8-3-3 设二介质界面为 s 在 s 上取's ″ 为由介质 1 指向 2 的法向单位矢量 以 's 为截面作一柱形高斯面 其两底分别位于二介 质中 柱高趋于 0 由高斯定理