数学 必修第四册 配人教B版 解析由余弦定理知，原式=+c-a2 a2+c2-b2 18.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 2 a2+b2-c2_a2+b2+c2_61 1)若sim(A+）=2osA,求A: 2 2 2 答案 (2若msA=号6=3c,求mC 15.已知在△ABC中，AC=4,BC=27,∠BAC=60°， 解（)由题设知sin Acos石十cos Asin石=2cosA. AD⊥BC于点D,则BD CD的值为 从而5smA-）=0, 解析在△ABC中，AC=4,BC=27,∠BAC=60°，由 因为0KA<,-<A-晋<行 余弦定理得c0s60°=AB+4-（2)2-】 2AB·4 Γ2 所以A-=0，即A=子 解得AB=6或AB=一2（负值舍去）. 因为Rt△ABD与Rt△ACD有公共边AD, (2)由cosA=3,b=3c及a2=b2+c2-2 hecosA, 所以62-BD2=42-(27-BD)2, 解得D-2乎所以CD=9器=6 得a2=b2-c2,故△MBC是直角三角形，且B= 7 所以血C=msA=子 答案6 19.(12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a, 16.如图，为测量山高MN,选择 b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2, A和另一座山的山顶C为测量 a-2). 观测点，从点A测得点M的仰 (1)若mm,求证：△ABC为等腰三角形： 角∠MAN=60°，点C的仰角 ∠CAB=45以及∠MAC=75°： (2)若m1P,c=2,C=号，求△ABC的面积 从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高 (1)证明，mm, MN= m. 答案150 asin A=smB,即a·录=b:0其中R是 b 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文 △ABC外接圆半径，.a=b, 字说明、证明过程或演算步骤) ∴，△ABC为等腰三角形 17.(10分)在△ABC中，已知A=45,cosB= 4 (2)解由题意，可知m·p=0,即a(b-2)十b(a-2)= 0..a十b=ab. (1)求cosC的值： 由余弦定理，可知4=a2十b2-ab=(a十b)2-3ab. (2)若BC=10,D为AB的中点，求CD的长 即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去ab=-1). 解(1)，A=45, 1 1 2.sinA cosA= s=2 binC=2×4Xsm子=5. 2 20.(12分)如图所示，已知在四边形ABCD D 又mB=号mB= 中，AD⊥CD,AD=10,AB=14, 51 ∠BDA=60°，∠BCD=135°，求BC .'.cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B= 的长 解在△ADB中，∠BDA=60°，AB=14,AD=10, 由余弦定理得AB2=AD2十BD2-2AD·BD· (2)由(1)知cosC= 10,得sinC=72 10' c0s0BD-2X10XBDX 由正弦定理，得AB=BC x2 BD2-10BD-96=0,解得BD=16或BD=-6 10 sin C-sin A'AB-- =14, (舍去). 在△DCB中，∠BDC=90°-∠BDA=90°-60°= 2 则BD=7. 30°，∠BCD=135,由正弦定理得BD。=BC sin 135 sin 30 在△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2 2BC.BDeos B-=10+49-2X10X7×号=37. 16×2 所以BC= =82 故CD=√37. 2 26
数 学 必修 第四册 配人教B版 解析 由余弦定理知,原式= b2+c2-a2 2 + a2+c2-b2 2 + a2+b2-c2 2 = a2+b2+c2 2 = 61 2 . 答案 61 2 15.已知在 △ABC 中,AC=4,BC=2 7,∠BAC=60°, AD⊥BC 于点D,则 BD CD 的值为 . 解析 在△ABC 中,AC=4,BC=2 7,∠BAC=60°,由 余弦定理得cos60°= AB2+42-(27)2 2AB·4 = 1 2 , 解得AB=6或AB=-2(负值舍去). 因为Rt△ABD 与Rt△ACD 有公共边AD, 所以62-BD2=42-(27-BD)2, 解得BD= 127 7 ,所以CD= 27 7 .故 BD CD =6. 答案 6 16.如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶C 为测量 观测点,从点A 测得点M 的仰 角∠MAN=60°,点C 的仰角 ∠CAB=45°以及∠MAC=75°; 从点C 测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高 MN= m. 答案 150 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)在△ABC 中,已知A=45°,cosB= 4 5 . (1)求cosC 的值; (2)若BC=10,D 为AB 的中点,求CD 的长. 解 (1)∵A=45°, ∴cosA= 2 2 ,sinA= 2 2 . 又cosB= 4 5 ,∴sinB= 3 5 . ∴cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB= - 4 5 × 2 2 + 2 2 × 3 5 =- 2 10 . (2)由(1)知cosC=- 2 10 ,得sinC= 72 10 , 由正弦定理,得 AB sinC = BC sinA ,AB= 10× 72 10 2 2 =14, 则BD=7. 在△BCD 中,由余弦定理,得CD2=BC2+BD2- 2BC·BDcosB=100+49-2×10×7× 4 5 =37, 故CD= 37. 18.(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若sin A+ π 6 =2cosA,求A; (2)若cosA= 1 3 ,b=3c,求sinC. 解 (1)由题设知sinAcos π 6 +cosAsin π 6 =2cosA. 从而 3sinA- π 3 =0, 因为0<A<π,- π 3 <A- π 3 < 2π 3 , 所以A- π 3 =0,即A= π 3 . (2)由cosA= 1 3 ,b=3c及a2=b2+c2-2bccosA, 得a2=b2-c2,故△ABC 是直角三角形,且B= π 2 . 所以sinC=cosA= 1 3 . 19.(12分)已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别是a, b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2, a-2). (1)若m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; (2)若m⊥p,c=2,C= π 3 ,求△ABC 的面积. (1)证明 ∵m∥n, ∴asinA=bsinB,即a· a 2R =b· b 2R ,其中R 是 △ABC 外接圆半径,∴a=b, ∴△ABC 为等腰三角形. (2)解 由题意,可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)= 0.∴a+b=ab. 由余弦定理,可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab. 即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去ab=-1). ∴S= 1 2 absinC= 1 2 ×4×sin π 3 = 3. 20.(12分)如图所示,已知在四边形ABCD 中,AD ⊥CD,AD =10,AB=14, ∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC 的长. 解 在△ADB 中,∠BDA=60°,AB=14,AD=10, 由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2AD·BD· cos60°,即142=100+BD2-2×10×BD× 1 2 . BD2-10BD-96=0,解得BD=16或BD=-6 (舍去). 在△DCB 中,∠BDC=90°-∠BDA=90°-60°= 30°,∠BCD=135°,由正弦定理得 BD sin135° = BC sin30° , 所以BC= 16× 1 2 2 2 =82. 26
第九章解三角形 21.(12分)如图所示，缉私艇在A处发现一走私船在方位角 (1)求cosA的值： 45且距离为12 n mile的B处，正以10 n mile/h的速度 (2)若a=42,b=5,求B在B武方向上的投影， 向方位角105的方向逃窜，缉私艇立即以14 n mile/h的 速度追击，求缉私艇追上走私船所需要的时间. 解(1)由2os2A二号0sB-sm(A-B)·nB十 2 北 coA+C)=-号，得[os(A-B)+1]cosB-CA B5105 B)sin B-cos B=-3 即osA-BasB-mA-B)nB=-是 解设缉私艇追上走私船所需 北 剥osA-B+B)=-号，即c0sA=一3 时间为th,且年私艇在C处追 B105 上走私船，如图，则BC=10t, 2)由asA=-号0KA<得如A=号 45 因为 b AC=14t. 在△ABC中，∠ABC= sin A-sin B 45°+180°-105°=120°，AB=12,根据余弦定理得 所以sinB=bsin A=巨 a 2 (14t)2=(10t)2+122-2×12×10tcos120°， 解得：=2(：=-是合去 由题设知a>b,则A>B,故B=于 所以辑私艇追上走私船所需要的时间为2h 根据余弦定理，有(4V2)2=52十c2-2X5cX 22.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2ae4msB-A-B·mB十mA十C)= (-）,解得c=1或c=-7合去). 故向量BA在B方向上的投影为BA|cOsB= 27
第九章 解三角形 21.(12分)如图所示,缉私艇在A 处发现一走私船在方位角 45°且距离为12nmile的B 处,正以10nmile/h的速度 向方位角105°的方向逃窜,缉私艇立即以14nmile/h的 速度追击,求缉私艇追上走私船所需要的时间. 解 设缉私艇追上走私船所需 时间为th,且缉私艇在C 处追 上走私船,如图,则 BC=10t, AC=14t. 在 △ABC 中,∠ABC = 45°+180°-105°=120°,AB=12,根 据 余 弦 定 理 得 (14t)2=(10t)2+122-2×12×10tcos120°, 解得t=2 t=- 3 4 舍去 . 所以缉私艇追上走私船所需要的时间为2h. 22.(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 2cos2A-B 2 cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)= - 3 5 . (1)求cosA 的值; (2)若a=42,b=5,求B→A 在B→C 方向上的投影. 解 (1)由2cos2 A-B 2 cosB-sin(A-B)·sinB+ cos(A+C)=- 3 5 ,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(AB)sinB-cosB=- 3 5 , 即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=- 3 5 . 则cos(A-B+B)=- 3 5 ,即cosA=- 3 5 . (2)由cosA=- 3 5 ,0<A<π,得sinA= 4 5 , 因为 a sinA = b sinB , 所以sinB= bsinA a = 2 2 . 由题设知a>b,则A>B,故B= π 4 . 根据余弦定理,有 (4 2)2 =52 +c2 -2×5c× - 3 5 ,解得c=1或c=-7(舍去). 故向量B→A 在B→C 方向上的投影为|B→A|cosB= 2 2 . 27
第十章复数 10.1复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 1.了解数的扩充过程 课标定位 2.能说出复数的有关概念及两复数相等的充要条件. 素养阐释 3.加强数学抽象、逻辑推理、数学运算能力的培养 课前·基础认知 一、 数的扩充和复数的概念 是纯虚数的有 【问题思考】 答案2i-3,0,-3i,20,22i-3,-3i-3i 1在实数范围内，是否存在平方后为负数的数？ 三、两个复数相等 提示不存在 【问题思考】 2.关于x的方程2x2-x十3=0(x∈R)有解吗？ 1.复数-1十5i与+5i的实部、虚部分别是什么？ 提示无解。 提示实部都是一1，虚部都是5. 3.填空： 2.填空： (1)规定i的平方等于一1，即2=一1，称为虚数单位. (1)两个复数1与2，如果实部与虚部都对应相等，我 (2)当a与b都是实数时，称a十bi为复数，复数一般用 们就说这两个复数相等，记作1=之2 小写字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为：的实 (2)如果a,b,c,d都是实数，那么a十bi=c十di白a三 部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)=a,Im(z)=b. c,且b=d,a+bi=0(a,b∈R)台a=b=0. (3)所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大 (3)两个复数，如果不全是实数，一般不规定它们之间 写字母C表示，因此C={zlz=a十bi,a,b∈R}. 的大小，只能说它们相等或不相等.特别地，不能将虚数与0 4.做一做：复数3一2的实部是 ,虚部是 比较大小，因此也就不能说虚数是正数还是负数， :复数i的实部是 ,虚部是 3.做一做：若(x十1)十(2一3y)i=5十7i,则实数x= 答案3-201 y= 二、复数的分类 答案4-号 【问题思考】 【思考辨析】 1.复数1十i,1,i的实部、虚部各是什么？ 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里画 提示实部分别为1,1,0：虚部分别为1,0,1. “/”,错误的画“X” 2.填空： (1)mi(m∈R)是一个复数. (/) 根据复数a十bi中实数a,b的取值不同，复数可以有 (2)√2i是一个无理数 (×) 以下的分类： (3)若(m-1)十(n十1)i=3,则实数m,n分别为4， 复数z=a十实数(b=0) -1 (√) bi(a,b∈R)虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数） (4)纯虚数也是虚数」 (√) 3.做一做：对于2i-3,0,一3i,,其中，是复数的有 ；是实数的有■ ；是虚数的有 28
第十章 复数 10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 课标定位 素养阐释 1.了解数的扩充过程. 2.能说出复数的有关概念及两复数相等的充要条件. 3.加强数学抽象、逻辑推理、数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、数的扩充和复数的概念 【问题思考】 1.在实数范围内,是否存在平方后为负数的数? 提示 不存在. 2.关于x 的方程2x2-x+3=0(x∈R)有解吗? 提示 无解. 3.填空: (1)规定i的平方等于-1,即i2=-1,称i为虚数单位. (2)当a与b都是实数时,称a+bi为复数,复数一般用 小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为z的实 部,b称为z的虚部,分别记作Re(z)=a,Im(z)=b. (3)所有复数组成的集合称为复数集,复数集通常用大 写字母C表示,因此C={z|z=a+bi,a,b∈R}. 4.做一做:复数3-2i的实部是 ,虚部是 ;复数i的实部是 ,虚部是 . 答案 3 -2 0 1 二、复数的分类 【问题思考】 1.复数1+i,1,i的实部、虚部各是什么? 提示 实部分别为1,1,0;虚部分别为1,0,1. 2.填空: 根据复数a+bi中实数a,b 的取值不同,复数可以有 以下的分类: 复数z=a+ bi(a,b∈R) 实数(b=0) 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数) 3.做一做:对于2i-3,0,-3i,i2,其中,是复数的有 ;是 实 数 的 有 ;是 虚 数 的 有 ;是纯虚数的有 . 答案 2i-3,0,-3i,i2 0,i2 2i-3,-3i -3i 三、两个复数相等 【问题思考】 1.复数-1+5i与i2+5i的实部、虚部分别是什么? 提示 实部都是-1,虚部都是5. 2.填空: (1)两个复数z1 与z2,如果实部与虚部都对应相等,我 们就说这两个复数相等,记作z1=z2. (2)如果a,b,c,d 都是实数,那么a+bi=c+di⇔a= c,且b=d,a+bi=0(a,b∈R)⇔a=b=0. (3)两个复数,如果不全是实数,一般不规定它们之间 的大小,只能说它们相等或不相等.特别地,不能将虚数与0 比较大小,因此也就不能说虚数是正数还是负数. 3.做一做:若(x+1)+(2-3y)i=5+7i,则实数x= ,y= . 答案 4 - 5 3 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)mi(m∈R)是一个复数. (√) (2)2i是一个无理数. (×) (3)若(m-1)+(n+1)i=3,则实数 m,n 分别为4, -1. (√) (4)纯虚数也是虚数. (√) 28
第十章复数 课堂·重难突破 探究一 复数的实部和虚部 探究三复数相等 【例1】指出下列复数的实部和虚部： 【例3】已知(2xr-1)+i=y-(3-y)i,其中xy∈R,i (1)12-8i:(2)5:(3)4i. 为虚数单位.求x,y的值 解(1)实部是12，虚部是-8： 分析先利用复数相等的充要条件列出关于x,y的方 (2)实部是5，虚部是0； 程组，再解出x,y的值 (3)实部是0，虚部是4. 解根据复数相等的充要条件， 延伸探究 由(2x-1)+i=y-(3-y)i, 复数？的实部是 ,虚部是 15 答案-10 得2-1=y、解得=2 1=-(3-y), v=4. 飞反思感悟 5 在求解复数z的实部和虚部时，先将？化为a十bi 所以x=2y=4. (a,b∈R)的形式，再确定x的实部和虚部」 延伸探究 【变式训练1】(1)若复数z的实部为8，虚部为-3， 已知复数z1=(2x-1)十mi,22=y一(3-n)i(x,y, 则x= m,n∈R),若x1>z2,求x,y,m,n满足的条件. (2)复数isin17°的实部为 ,虚部为 m=0, m=0. 解1>2, 3一n=0,即{n=3, 2x-1>y, 2x-y-1>0. 答案(1)8-3i(2)0sin17° 飞反思感悟 探究二复数的分类 复数相等问题的解题技巧： (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实 【例2】当实数k为何值时，复数(k2-3k-4)十(k2- 部相等，虚部与虚部相等列方程组求解。 5k-6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？ (2)根据复数相等的充要条件，将复数问题转化为 实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复 解复数x=(k2-3k-4)十(k2-5k-6)i 数问题实数化的体现 (1)当k2-5k一6=0，即k=6或k=一1时，z是实数. (2)当k2-5k一6≠0，即k≠6，且k≠一1时，z是虚数. 【变式训练3】已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y 的值 (3)当 k2-3k-4=0, k2-5k-6≠0， 即k=4时，z为纯虚数 解x2-y2+2xyi=2i, ①反思感悟 22≤0 解得 =支=-1 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据 2xy=2, ly=1 lv=-1. 分类标准列出实部、虚部应满足的关系式（等式或不等 式（组）)，求解参数时，注意参数本身的取值范围，如分 易错辨析 母不能为0等 因概念不清致误 【变式训练2】设复数z=lg(m2-2m-2)十(m2十 【典例】已知复数：=m+m一6+m:-2m)i为纯虚 m 3m十2)i,当实数m为何值时， 数，求实数m的值. (1)z是实数？ 错解：z为纯虚数，m十m一6=0. (2)z是纯虚数？ m 解(1)要使复数：为实数，需满足m-2m一2>0， ∴m=2或m=-3. m2+3m+2=0, 以上解答过程中出现了哪些错误？出错的原因是什 解得m=一2或m=一1. 么？你如何改正？你如何防范？ 故当m=一2或m=一1时，z是实数， 提示当z为纯虚数时，要保证实部为0，且虚部不为0， m2-2m-2=1, (2)要使复数z为纯虚数，需满足 正解，之为纯虚数， m2+3m+2≠0. |m2+m-6 =0 解得m=3. m 解得m=-3. 故当m=3时，x是纯虚数 m2一2m≠0， 29
第十章 复数 课堂·重难突破 探究一 复数的实部和虚部 【例1】指出下列复数的实部和虚部: (1)12-8i; (2)5; (3)4i. 解 (1)实部是12,虚部是-8; (2)实部是5,虚部是0; (3)实部是0,虚部是4. 复数i2 的实部是 ,虚部是 . 答案 -1 0 在求解复数z的实部和虚部时,先将z化为a+bi (a,b∈R)的形式,再确定z的实部和虚部. 【变式训练1】(1)若复数z 的实部为8,虚部为-3, 则z= . (2)复 数 isin 17°的 实 部 为 ,虚 部 为 . 答案 (1)8-3i (2)0 sin17° 探究二 复数的分类 【例2】当实数k为何值时,复数(k2-3k-4)+(k2- 5k-6)i分别是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数? 解 复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i. (1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,z是实数. (2)当k2-5k-6≠0,即k≠6,且k≠-1时,z是虚数. (3)当 k2-3k-4=0, k2-5k-6≠0, 即k=4时,z为纯虚数. 利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据 分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等 式(组)),求解参数时,注意参数本身的取值范围,如分 母不能为0等. 【变式训练2】设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+ 3m+2)i,当实数m 为何值时, (1)z是实数? (2)z是纯虚数? 解 (1)要使复数z为实数,需满足 m2-2m-2>0, m2+3m+2=0, 解得m=-2或m=-1. 故当m=-2或m=-1时,z是实数. (2)要使复数z为纯虚数,需满足 m2-2m-2=1, m2+3m+2≠0, 解得m=3. 故当m=3时,z是纯虚数. 探究三 复数相等 【例3】已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,i 为虚数单位.求x,y的值. 分析 先利用复数相等的充要条件列出关于x,y 的方 程组,再解出x,y的值. 解 根据复数相等的充要条件, 由(2x-1)+i=y-(3-y)i, 得 2x-1=y, 1=-(3-y), 解得 x= 5 2 , y=4. 所以x= 5 2 ,y=4. 已知复数z1=(2x-1)+mi,z2=y-(3-n)i(x,y, m,n∈R),若z1>z2,求x,y,m,n满足的条件. 解 ∵z1>z2,∴ m=0, 3-n=0, 2x-1>y, 即 m=0, n=3, 2x-y-1>0. 复数相等问题的解题技巧: (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实 部相等,虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的充要条件,将复数问题转化为 实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复 数问题实数化的体现. 【变式训练3】已知x2-y 2+2xyi=2i,求实数x,y 的值. 解 ∵x2-y 2+2xyi=2i, ∴ x2-y 2=0, 2xy=2, 解得 x=1, y=1 或 x=-1, y=-1. 易 错 辨 析 因概念不清致误 【典例】已知复数z= m2+m-6 m +(m2-2m)i为纯虚 数,求实数m 的值. 错解 ∵z为纯虚数,∴ m2+m-6 m =0, ∴m=2或m=-3. 以上解答过程中出现了哪些错误? 出错的原因是什 么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 当z为纯虚数时,要保证实部为0,且虚部不为0. 正解 ∵z为纯虚数, ∴ m2+m-6 m =0, m2-2m≠0, 解得m=-3. 29
数学 必修第四册 配人教B版 ①防范措施 牢记复数z=a十bi(a,b∈R)的分类标准是正确 解析由题意仁（2b)=3。岛 解得=土. b=5. 解答此类问题的关键.：为实数台b=0:z为虚数台b≠ 答案C 0:z为纯虚数曰a=0,且b≠0. 2.设a,b∈R,“a=0”是“复数a十bi是纯虚数”的( 【变式训练】当实数m为何值时，复数=m二m一6 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 m+3 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (m2-2m-15)i, 解析因为a,b∈R,当a=0时，复数a十bi不一定是纯 (1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？ 虚数，当复数a十bi是纯虚数时，a=0一定成立，所以a,b∈ 解(1)m十3≠0， m2-2m-15=0, 解得m=5. R,“a=0”是“复数a十bi是纯虚数”的必要不充分条件. 答案B 故当m=5时，之是实数 3.若5-12i=x十yi(x,y∈R),则x= m+3≠0. ,y= (2){ 解得m≠5，且m≠一3. m2-2m-15≠0. 故当m≠5，且m≠一3时，之是虚数 答案5-12 m2-m-6 4.若复数x=(x2-1)十(x-1)i为纯虚数，则实数x= (3) m+3 0 解得m=3或m=-2. m2-2m-15≠0， 解析之为纯虚数， 2-1=0:x=-1 故当m=3或m=一2时，z是纯虚数 x-1≠0. 答案一1 随堂训练。。·。。。· 5.已知(2x-1)十(y十1)i=(x一y)十(-x-y)i,求实数 1.已知复数x=a2-(2一b)i的实部和虚部分别是2和3，则 x,y的值 实数a,b的值分别是( 解xy为实数，(2x-1)十(y十1)i=(x一y)十（一x-yi, A√2,1 B.2,5 2x-1=x一y·解得 x=3, C.±2,5 D.±2,1 y+1=-x-y: y=-2. 课后 ·训练提升 基础·巩固 4.已知复数1=1十3i的实部与复数z2=一1一ai的虚部相 等，则实数a等于( 1.若复数之=(m十2)十(m2-9)i(m∈R)是正实数，则实数 A-3 B.3 C.-1 D.1 m的值为( 解析复数x1的实部为1，z2的虚部为一a,则1=一a,即 A.-2 B.3 C.-3 D.±3 a=-1. m+2>0, 解析由题意可知 解得m=3,故选B. 答案C m2-9=0. 5.下列命题中，正确命题的个数是(). 答案B ①若x,y∈C,则x十yi=1十i的充要条件是x=y=l; 2.若4一3a一a2i=a2+4ai,则实数a的值为(). ②若a,b∈R,且a>b,则a十ib十i: A.1 B.1或-4C.-4 D.0或-4 ③若x2+y2=0,则x=y=0. 4-3a=a2, 解析由题意可知 解得a=一4， A.0 B.1 C.2 D.3 -a2=4a, 解析对于①，由于x,y∈C,故x,y不一定是x十yi的 答案C 实部和虚部，故①是假命题： 3.已知腹数cos0+isn0和sin0十icos0相等，则9的值为( 对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假 A号 B 命题： ③是假命题，如12十i2=0,但1≠0，i≠0. C2+子∈D Dkx+平k∈z 答案A 解析由复数相等的充要条件，知C0s9=si血0 6.设i为虚数单位，若复数x=(m2十2m-3)十(m-1)i是 得0= sin 0=cos 0, 纯虚数，则实数m= kx+于k∈ZD. 解析由已知，得m+2m-3=0. 故m=-3. m一1≠0， 答案D 答案一3 30
数 学 必修 第四册 配人教B版 牢记复数z=a+bi(a,b∈R)的分类标准是正确 解答此类问题的关键.z为实数⇔b=0;z为虚数⇔b≠ 0;z为纯虚数⇔a=0,且b≠0. 【变式训练】当实数m 为何值时,复数z= m2-m-6 m+3 + (m2-2m-15)i, (1)是实数? (2)是虚数? (3)是纯虚数? 解 (1) m+3≠0, m2-2m-15=0, 解得m=5. 故当m=5时,z是实数. (2) m+3≠0, m2-2m-15≠0, 解得m≠5,且m≠-3. 故当m≠5,且m≠-3时,z是虚数. (3) m2-m-6 m+3 =0, m2-2m-15≠0, 解得m=3或m=-2. 故当m=3或m=-2时,z是纯虚数. 随堂训练 1.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则 实数a,b的值分别是( ). A.2,1 B.2,5 C.± 2,5 D.± 2,1 解析 由题意 a2=2, -(2-b)=3, 解得 a=± 2, b=5. 答案 C 2.设a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 因为a,b∈R,当a=0时,复数a+bi不一定是纯 虚数,当复数a+bi是纯虚数时,a=0一定成立,所以a,b∈ R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件. 答案 B 3.若5-12i=x+yi(x,y∈R),则x= ,y= . 答案 5 -12 4.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x= . 解析 ∵z为纯虚数,∴ x2-1=0, x-1≠0, ∴x=-1. 答案 -1 5.已知(2x-1)+(y+1)i=(x-y)+(-x-y)i,求实数 x,y的值. 解 ∵x,y为实数,(2x-1)+(y+1)i=(x-y)+(-x-y)i, ∴ 2x-1=x-y, y+1=-x-y, 解得 x=3, y=-2. 课后·训练提升 基础 巩固 1.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数 m 的值为( ). A.-2 B.3 C.-3 D.±3 解析 由题意可知 m+2>0, m2-9=0, 解得m=3,故选B. 答案 B 2.若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为( ). A.1 B.1或-4 C.-4 D.0或-4 解析 由题意可知 4-3a=a2, -a2=4a, 解得a=-4. 答案 C 3.已知复数cosθ+isinθ和sinθ+icosθ相等,则θ的值为( ). A. π 4 B. π 4 或 5π 4 C.2kπ+ π 4 (k∈Z) D.kπ+ π 4 (k∈Z) 解析 由复数相等的充要条件,知 cosθ=sinθ, sinθ=cosθ, 得θ= kπ+ π 4 (k∈Z). 答案 D 4.已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相 等,则实数a等于( ). A.-3 B.3 C.-1 D.1 解析 复数z1 的实部为1,z2 的虚部为-a,则1=-a,即 a=-1. 答案 C 5.下列命题中,正确命题的个数是( ). ①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1; ②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i; ③若x2+y 2=0,则x=y=0. A.0 B.1 C.2 D.3 解析 对于①,由于x,y∈C,故x,y 不一定是x+yi的 实部和虚部,故①是假命题; 对于②,由于两个虚数不能比较大小,故 ② 是假 命题; ③是假命题,如12+i2=0,但1≠0,i≠0. 答案 A 6.设i为虚数单位,若复数z=(m2+2m-3)+(m-1)i是 纯虚数,则实数m= . 解析 由已知,得 m2+2m-3=0, m-1≠0, 故m=-3. 答案 -3 30